行列式等于 0，就一定有两行或两列相等吗？
不一定。行列式等于 0 并不一定意味着有两行或两列相等。虽然两行或两列相等是行列式为零的一个充分条件（如果两行或两列相等，则行列式一定为零），但它不是必要条件。也就是说，存在行列式为零但没有两行或两列相等的情况。
让我们详细解释一下原因，并探讨行列式为零的真正含义以及其他可能导致行列式为零的情况。
1. 行列式为零的真正含义：线性相关
行列式等于零的最根本和最通用的含义是：构成行列式的行向量（或列向量）是线性相关的。
线性相关：一组向量是线性相关的，意味着其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合。换句话说，这组向量“不独立”，它们中的一个提供了冗余信息。
举个例子：
考虑一个 3x3 的行列式：
$$
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
end{vmatrix}
$$
如果行向量 $R_1$, $R_2$, $R_3$ 是线性相关的，那么存在不全为零的常数 $c_1, c_2, c_3$，使得：
$c_1 R_1 + c_2 R_2 + c_3 R_3 = mathbf{0}$ （零向量）
或者，如果 $c_3 eq 0$，我们就可以写成：
$R_3 = frac{c_1}{c_3} R_1 frac{c_2}{c_3} R_2$
这意味着第三行（$R_3$）是第一行（$R_1$）和第二行（$R_2$）的线性组合。
2. 为什么两行或两列相等会导致行列式为零？
这是线性相关的特殊情况。如果两行（例如第一行和第二行）相等，那么我们可以这样表示它们的关系：
$R_1 R_2 = mathbf{0}$
这是一个线性组合，其中 $c_1 = 1$, $c_2 = 1$, 其他系数为零。根据线性相关的定义，这两行是线性相关的，因此行列式为零。
3. 其他导致行列式为零但没有两行或两列相等的情况
现在我们来看，既然线性相关是根本原因，那么除了“两行/两列相等”这种最显而易见的线性相关形式，还有哪些更微妙的线性相关形式会导致行列式为零？
一行（或一列）是另一行的（或另一列的）倍数：
如果一行是另一行的常数倍，它们也是线性相关的。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
2 & 4 & 6 \
7 & 8 & 9
end{vmatrix}
$$
这里第二行是第一行的 2 倍 ($R_2 = 2R_1$)。行列式为零，但没有两行相等。
一行（或一列）是其他行的（或列的）线性组合：
这是最普遍的情况。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
5 & 7 & 9
end{vmatrix}
$$
我们检查一下行向量：
$R_1 = (1, 2, 3)$
$R_2 = (4, 5, 6)$
$R_3 = (5, 7, 9)$
注意到 $R_3 = R_1 + R_2$ (即 $5 = 1+4$, $7 = 2+5$, $9 = 3+6$)。
因此，第三行是第一行和第二行的线性组合。这三行是线性相关的，行列式必然为零。但是，没有哪两行是完全相等的。
验证：
根据行列式的性质，我们可以将第三行减去第一行和第二行的和，行运算不改变行列式为零这个事实。
$R_3 ightarrow R_3 R_1 R_2$
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
514 & 725 & 936
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
0 & 0 & 0
end{vmatrix}
$$
包含全零行的行列式一定为零。
零向量：
如果行列式中的任何一行或任何一列是零向量，那么这组向量必然是线性相关的（零向量可以表示为任何向量的零倍）。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 0 & 0 \
4 & 5 & 6
end{vmatrix}
$$
第二行是零向量，行列式为零。这里也没有两行相等（除非其他行也是零向量）。
4. 行列式为零的几何意义
行列式为零在几何上也有深刻的含义。对于 $n imes n$ 的矩阵，其行列式代表了以矩阵的列向量（或行向量）为边构成的 $n$ 维平行体的体积（带符号）。
如果行列式为零，意味着这个平行体的体积为零。
在二维空间中，如果矩阵的两个列向量（或行向量）是线性相关的，它们就共线，构成一个退化的平行四边形，面积为零。
在三维空间中，如果矩阵的三个列向量（或行向量）是线性相关的，它们就共面，构成一个退化的平行六面体，体积为零。
总结
充分条件： 如果一个矩阵有两行或两列相等，那么它的行列式一定为零。
必要条件： 如果一个矩阵的行列式为零，那么它的行向量组（或列向量组）一定是线性相关的。
“两行或两列相等”是线性相关的一种 特殊且最容易识别 的情况，但并非唯一的情况。 只要构成行列式的向量组存在线性关系，哪怕这种关系是通过多个向量的复杂组合表现出来，行列式也必然为零。
因此，答案是：不一定。
让我们详细解释一下原因，并探讨行列式为零的真正含义以及其他可能导致行列式为零的情况。
1. 行列式为零的真正含义：线性相关
行列式等于零的最根本和最通用的含义是：构成行列式的行向量（或列向量）是线性相关的。
线性相关：一组向量是线性相关的，意味着其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合。换句话说，这组向量“不独立”，它们中的一个提供了冗余信息。
举个例子：
考虑一个 3x3 的行列式：
$$
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
end{vmatrix}
$$
如果行向量 $R_1$, $R_2$, $R_3$ 是线性相关的，那么存在不全为零的常数 $c_1, c_2, c_3$，使得：
$c_1 R_1 + c_2 R_2 + c_3 R_3 = mathbf{0}$ （零向量）
或者，如果 $c_3 eq 0$，我们就可以写成：
$R_3 = frac{c_1}{c_3} R_1 frac{c_2}{c_3} R_2$
这意味着第三行（$R_3$）是第一行（$R_1$）和第二行（$R_2$）的线性组合。
2. 为什么两行或两列相等会导致行列式为零？
这是线性相关的特殊情况。如果两行（例如第一行和第二行）相等，那么我们可以这样表示它们的关系：
$R_1 R_2 = mathbf{0}$
这是一个线性组合，其中 $c_1 = 1$, $c_2 = 1$, 其他系数为零。根据线性相关的定义，这两行是线性相关的，因此行列式为零。
3. 其他导致行列式为零但没有两行或两列相等的情况
现在我们来看，既然线性相关是根本原因，那么除了“两行/两列相等”这种最显而易见的线性相关形式，还有哪些更微妙的线性相关形式会导致行列式为零？
一行（或一列）是另一行的（或另一列的）倍数：
如果一行是另一行的常数倍，它们也是线性相关的。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
2 & 4 & 6 \
7 & 8 & 9
end{vmatrix}
$$
这里第二行是第一行的 2 倍 ($R_2 = 2R_1$)。行列式为零，但没有两行相等。
一行（或一列）是其他行的（或列的）线性组合：
这是最普遍的情况。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
5 & 7 & 9
end{vmatrix}
$$
我们检查一下行向量：
$R_1 = (1, 2, 3)$
$R_2 = (4, 5, 6)$
$R_3 = (5, 7, 9)$
注意到 $R_3 = R_1 + R_2$ (即 $5 = 1+4$, $7 = 2+5$, $9 = 3+6$)。
因此，第三行是第一行和第二行的线性组合。这三行是线性相关的，行列式必然为零。但是，没有哪两行是完全相等的。
验证：
根据行列式的性质，我们可以将第三行减去第一行和第二行的和，行运算不改变行列式为零这个事实。
$R_3 ightarrow R_3 R_1 R_2$
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
514 & 725 & 936
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
0 & 0 & 0
end{vmatrix}
$$
包含全零行的行列式一定为零。
零向量：
如果行列式中的任何一行或任何一列是零向量，那么这组向量必然是线性相关的（零向量可以表示为任何向量的零倍）。
例如：
$$
egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 0 & 0 \
4 & 5 & 6
end{vmatrix}
$$
第二行是零向量，行列式为零。这里也没有两行相等（除非其他行也是零向量）。
4. 行列式为零的几何意义
行列式为零在几何上也有深刻的含义。对于 $n imes n$ 的矩阵，其行列式代表了以矩阵的列向量（或行向量）为边构成的 $n$ 维平行体的体积（带符号）。
如果行列式为零，意味着这个平行体的体积为零。
在二维空间中，如果矩阵的两个列向量（或行向量）是线性相关的，它们就共线，构成一个退化的平行四边形，面积为零。
在三维空间中，如果矩阵的三个列向量（或行向量）是线性相关的，它们就共面，构成一个退化的平行六面体，体积为零。
总结
充分条件： 如果一个矩阵有两行或两列相等，那么它的行列式一定为零。
必要条件： 如果一个矩阵的行列式为零，那么它的行向量组（或列向量组）一定是线性相关的。
“两行或两列相等”是线性相关的一种 特殊且最容易识别 的情况，但并非唯一的情况。 只要构成行列式的向量组存在线性关系，哪怕这种关系是通过多个向量的复杂组合表现出来，行列式也必然为零。
因此，答案是：不一定。
网友意见
谢邀。
命题：行列式为0，总可以通过初等变换化为某两行、两列相等
证：若行列式有两行（列）相等，则用一行去减另一行，其中一行全部化为0元素
所以这个命题的等价为：行列式为0，总可以通过初等变换化为某行（列）皆为0；
将行列式化为阶梯形式，直到某一行总会元素全部为0；否则，如果化到最后一行，有下面形式：
如果a_nn仍旧不为0，则行列式的值为对角线元素乘积，恒不为0，矛盾。
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