有哪些式子行列式答案等于520？

好的，要找到行列式值为 520 的各式子，我们可以从一些基本的行列式性质入手，然后逐步构建更复杂的例子。理解行列式的计算方法和性质是找到这类问题的关键。

行列式的基本定义与计算

对于一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$，其行列式记作 $det(A)$ 或 $|A|$。

$1 imes 1$ 矩阵: $|[a]| = a$
$2 imes 2$ 矩阵:
$$
egin{vmatrix} a & b \ c & d end{vmatrix} = ad bc
$$
$3 imes 3$ 矩阵 (萨吕法则):
$$
egin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{vmatrix} = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg)
$$

行列式的性质

对角矩阵/三角矩阵: 对角矩阵和三角矩阵（上三角或下三角）的行列式等于其主对角线上元素的乘积。
行/列交换: 交换矩阵的两行或两列，行列式变号。
某一行/列乘以一个数: 将某一行或某一列的每个元素乘以一个数 $k$，则行列式的值也乘以 $k$。
行/列的线性组合: 将某一行（或列）加上另一行（或列）的若干倍，行列式的值不变。这是我们构建例子的重要工具。
行列式的乘法性质: $det(AB) = det(A)det(B)$

寻找行列式值为 520 的各式子

520 是一个合数，$520 = 52 imes 10 = 4 imes 13 imes 2 imes 5 = 2^3 imes 5 imes 13$。我们可以利用行列式的乘法性质，将一个大行列式分解为若干小行列式的乘积，或者利用对角/三角矩阵的性质，直接构造主对角线乘积为 520 的矩阵。

例子一：最简单的 $1 imes 1$ 矩阵

这是最直接的方式：

$$
|520| = 520
$$

这个例子虽然简单，但也是一个符合条件的“式子”。

例子二：$2 imes 2$ 矩阵

我们需要找到 $a, b, c, d$ 使得 $ad bc = 520$。有很多组合可以实现。

简单乘法:
我们可以让 $a$ 和 $d$ 相乘等于 520，而让 $b$ 和 $c$ 等于 0。
例如：
$$
A = egin{pmatrix} 52 & 0 \ 0 & 10 end{pmatrix}
$$
行列式为：$52 imes 10 0 imes 0 = 520$。

或者：
$$
B = egin{pmatrix} 26 & 0 \ 0 & 20 end{pmatrix}
$$
行列式为：$26 imes 20 0 imes 0 = 520$。

非零元素组合:
我们也可以让 $b$ 和 $c$ 不为零。比如，让 $ad = 600$ 且 $bc = 80$。
例如：
$$
C = egin{pmatrix} 30 & 10 \ 8 & 20 end{pmatrix}
$$
行列式为：$30 imes 20 10 imes 8 = 600 80 = 520$。

再来一个稍微复杂点的：让 $ad = 500$ 且 $bc = 20$。
例如：
$$
D = egin{pmatrix} 25 & 5 \ 4 & 20 end{pmatrix}
$$
行列式为：$25 imes 20 5 imes (4) = 500 (20) = 500 + 20 = 520$。

例子三：$3 imes 3$ 矩阵

我们可以利用三角矩阵的性质，或者通过行/列运算来控制行列式的值。

对角矩阵/三角矩阵: 这是最容易构造的。主对角线元素的乘积是 520 即可。
例如，一个对角矩阵：
$$
E = egin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \ 0 & 13 & 0 \ 0 & 0 & 4 end{pmatrix}
$$
行列式为：$10 imes 13 imes 4 = 520$。

再来一个上三角矩阵：
$$
F = egin{pmatrix} 5 & 2 & 7 \ 0 & 8 & 3 \ 0 & 0 & 65 end{pmatrix}
$$
行列式为：$5 imes 8 imes 65 = 40 imes 65 = 2600$ (Oops, 算错了，应该是 $5 imes 8 imes 65 = 520$)。
让我重新计算一遍：$5 imes 8 imes 65 = 40 imes 65 = 2600$。
啊，我漏了一个细节。对角线乘积是 520，所以应该是 $5 imes 8 imes x = 520$，那么 $x = 520 / 40 = 13$。

正确的上三角矩阵例子：
$$
F = egin{pmatrix} 5 & 2 & 7 \ 0 & 8 & 3 \ 0 & 0 & 13 end{pmatrix}
$$
行列式为：$5 imes 8 imes 13 = 40 imes 13 = 520$。

利用行/列操作构造:
我们可以从一个已知的行列式值开始，然后进行行/列操作。例如，我们知道一个矩阵的行列式是 1。
考虑一个简单的 $3 imes 3$ 矩阵，它的行列式是 1：
$$
G = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} quad (det(G)=1)
$$
我们可以对它进行操作，使得最终行列式为 520。
如果我们对第一行乘以 520：
$$
H = egin{pmatrix} 520 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(H) = 520 imes 1 imes 1 = 520$。

再复杂一点，我们可以先构造一个行列式是 52 的矩阵，然后乘以一个 10 的因子。
比如，我们知道：
$$
I = egin{pmatrix} 4 & 0 \ 0 & 13 end{pmatrix} quad (det(I)=52)
$$
现在我们想得到一个 $3 imes 3$ 矩阵，行列式是 520。我们可以把这个 $2 imes 2$ 的矩阵放在一个 $3 imes 3$ 矩阵的左上角，剩下的部分用 0 填充，或者构造一个三角矩阵。
$$
J = egin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 13 & 0 \ 0 & 0 & 10 end{pmatrix}
$$
$det(J) = 4 imes 13 imes 10 = 520$。

或者，我们可以在 $I$ 的基础上进行行操作，让行列式乘以 10。比如，将第一行乘以 10：
$$
K = egin{pmatrix} 40 & 0 \ 0 & 13 end{pmatrix} quad (det(K)=520)
$$
再将其嵌入到 $3 imes 3$ 的三角矩阵中：
$$
L = egin{pmatrix} 40 & 5 & 7 \ 0 & 13 & 9 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(L) = 40 imes 13 imes 1 = 520$。

我们还可以利用行加倍的性质。先构造一个行列式为 52 的矩阵，然后通过行操作乘以 10。
例如：
$$
M = egin{pmatrix} 4 & 1 \ 13 & 1 end{pmatrix} quad (det(M) = 4 imes 1 1 imes 13 = 4 13 = 9)
$$
这个例子不对。我们还是回到构造比较容易的。

我们知道：
$$
N = egin{pmatrix} 10 & 0 \ 0 & 52 end{pmatrix} quad (det(N)=520)
$$
现在想得到一个 $3 imes 3$ 的矩阵，行列式是 520。
我们可以这样构造：
$$
O = egin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \ 0 & 52 & 0 \ 1 & 2 & 1 end{pmatrix}
$$
这是一个下三角矩阵（除去最后一行）。我们可以计算它的行列式。使用萨吕法则：
$10(52 imes 1 0 imes 2) 0(dots) + 0(dots) = 10 imes 52 = 520$。
这实际上是一个下三角矩阵，因为我们只需要关注对角线元素。更准确地说，是将一个对角矩阵嵌入到下三角结构中。

更一般的三角矩阵：
$$
P = egin{pmatrix} 10 & 2 & 3 \ 0 & 52 & 4 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(P) = 10 imes 52 imes 1 = 520$。

或者，我们可以构造一个稍微“乱”一点的矩阵，但通过行/列运算可以简化。
比如，考虑：
$$
Q = egin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \ 0 & 10 & 0 \ 0 & 0 & 13 end{pmatrix}
$$
这个也是三角矩阵，行列式是 $5 imes 10 imes 13 = 650$。
我要得到 520。
我们可以把第一行乘以 $520/650 = 52/65 = 4/5$。
$$
R = egin{pmatrix} 4 & 4/5 & 0 \ 0 & 10 & 0 \ 0 & 0 & 13 end{pmatrix}
$$
$det(R) = 4 imes 10 imes 13 = 520$。

再用行操作来调整。
我们知道 $2 imes 2$ 矩阵 $egin{pmatrix} 52 & 0 \ 0 & 10 end{pmatrix}$ 的行列式是 520。
现在将其扩展到一个 $3 imes 3$ 矩阵，但要确保行列式不变。
我们可以将第一行加上第二行的倍数，或者第三行加上其他行的倍数。
$$
S = egin{pmatrix} 52 & 0 & 0 \ 0 & 10 & 0 \ 5 & 3 & 1 end{pmatrix}
$$
这是一个下三角矩阵。行列式是 $52 imes 10 imes 1 = 520$。

我们也可以这样构造：
从单位矩阵开始，行列式为 1。
$$
T_0 = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
将第一行乘以 520：
$$
T_1 = egin{pmatrix} 520 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(T_1) = 520$。
现在，我们可以在 $T_1$ 的基础上进行行加倍操作，行列式值不变。
例如，将第一行加上第二行的 3 倍：
$$
T_2 = egin{pmatrix} 520 & 3 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(T_2) = 520 imes 1 imes 1 = 520$。
再将第二行加上第三行的 10 倍：
$$
T_3 = egin{pmatrix} 520 & 3 & 0 \ 0 & 1 & 10 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(T_3) = 520 imes 1 imes 1 = 520$。
这个矩阵 $T_3$ 就提供了一个非对角、非三角但行列式为 520 的例子。

例子四：更高阶的矩阵 ($4 imes 4$ 等)

原理是一样的：利用三角矩阵性质或者行/列操作。

三角矩阵:
$$
U = egin{pmatrix} 10 & 2 & 3 & 4 \ 0 & 13 & 5 & 6 \ 0 & 0 & 4 & 7 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
行列式为 $10 imes 13 imes 4 imes 1 = 520$。

通过行操作构造:
我们知道：
$$
V = egin{pmatrix} 10 & 0 \ 0 & 52 end{pmatrix} quad (det(V)=520)
$$
我们可以将其嵌入到一个 $4 imes 4$ 的三角矩阵中：
$$
W = egin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 52 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(W) = 10 imes 52 imes 1 imes 1 = 520$。

我们也可以从一个已知的行列式值开始，然后进行行/列加倍操作。
例如，考虑一个行列式为 1 的 $4 imes 4$ 矩阵：
$$
X_0 = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} quad (det(X_0)=1)
$$
将其第一行乘以 520：
$$
X_1 = egin{pmatrix} 520 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} quad (det(X_1)=520)
$$
现在，我们进行行加倍操作，让它不那么“零”化。
$$
X_2 = egin{pmatrix} 520 & 2 & 5 & 8 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(X_2) = 520 imes 1 imes 1 imes 1 = 520$。

再进一步，修改一下中间的元素，但保持其为三角矩阵。
$$
X_3 = egin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 52 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} quad (det(X_3) = 10 imes 52 imes 1 imes 1 = 520)
$$

如果我们想构建一个非三角矩阵，可以通过行/列加法来引入非零元素，而不改变行列式值。
例如，从 $X_3$ 开始：
$$
Y = egin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 52 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(Y)=520$。
现在，将第一行加上第二行的 3 倍：
$$
Z = egin{pmatrix} 10 & 1 + 3 imes 52 & 2 + 3 imes 4 & 3 + 3 imes 5 \ 0 & 52 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$$
Z = egin{pmatrix} 10 & 157 & 14 & 18 \ 0 & 52 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}
$$
$det(Z) = 10 imes 52 imes 1 imes 1 = 520$。

这是一个非三角矩阵，但很容易通过行操作恢复到三角矩阵。

总结

要找到行列式答案等于 520 的各式子，最直接和易于理解的方法是构造对角矩阵或三角矩阵，使其主对角线元素的乘积恰好是 520。

$n imes n$ 的对角矩阵 $D = ext{diag}(d_1, d_2, dots, d_n)$，则 $det(D) = d_1 imes d_2 imes dots imes d_n$。
$n imes n$ 的上三角矩阵或下三角矩阵 $T$，其行列式也等于其主对角线元素的乘积。

通过选择合适的对角线元素（例如，因子分解 520），我们可以构造出无数个这样的三角矩阵。

此外，利用行列式的行/列操作性质，我们可以在任何一个行列式为 520 的矩阵基础上进行操作（例如，将某一行加上另一行的若干倍），从而得到新的矩阵，它们的行列式值依然是 520。通过这些操作，我们可以构造出更复杂的、非三角形式的矩阵。

所以，任何一个主对角线（或可化为对角线）元素乘积为 520 的方阵，或者可以通过对该类矩阵进行“保持行列式值不变”的行/列变换（如行加倍）得到的矩阵，其行列式都等于 520。

一阶行列式520