为什么A的行列式不等于0 A满秩?
好的，咱们来好好聊聊，为什么一个矩阵 A 的行列式不等于零，就说明它是一个“满秩”的矩阵。这背后其实是线性代数里几个非常核心且相互关联的概念。我尽量用最直观的方式给你讲清楚，让你感觉就像我们在咖啡馆里边喝咖啡边讨论数学一样。
想象一下，我们有一个方阵 A，比如一个 2x2 的矩阵：
$A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$
它的行列式，我们都知道，就是 $ad bc$。
行列式不等于零，究竟意味着什么？
我们可以从几个不同的角度来看待这个问题，它们最终指向同一个结论：
1. 行列式与矩阵变换的“体积”效应：
这是最直观的一种理解方式。想象一下，矩阵 A 对一个向量 $mathbf{x}$ 进行线性变换，也就是计算 $Amathbf{x}$。如果我们在二维空间里，可以把矩阵 A 看作是对一个“单位正方形”的变形。
一个单位正方形： 它的四个顶点分别是 (0,0), (1,0), (0,1), (1,1)。
矩阵 A 的变换： 当我们用 A 乘以这些顶点时，(0,0) 还是 (0,0)，但 (1,0) 会变成 $A egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$，而 (0,1) 会变成 $A egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。
变换后的图形： 这三个点 $egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$， $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$， $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$ 构成的平行四边形，就是原单位正方形被矩阵 A 变换后的样子。
行列式 $|A|$ 的绝对值，正好就是这个变换后的平行四边形的面积。
如果 $|A| eq 0$： 这意味着变换后的平行四边形有面积，它没有“坍缩”成一条线或者一个点。换句话说，原单位正方形被拉伸、旋转、或者进行各种扭曲，但它并没有被压扁到二维平面上的某个一维线条或零维的点。
如果 $|A| = 0$： 这意味着变换后的平行四边形的面积为零。这只能发生在，原来的单位正方形被压扁了。怎么压扁的？比如，如果变换后的两个基向量 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 和 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$ 是共线的（即其中一个是另一个的倍数），那么它们张成的区域就是一个面积为零的线段，而不是一个有面积的平行四边形。
2. 行列式与方程组解的唯一性：
考虑一个线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。
如果 $|A| eq 0$： 这意味着我们可以通过矩阵 A 的逆矩阵 $A^{1}$ 来求解 $mathbf{x}$，即 $mathbf{x} = A^{1}mathbf{b}$。只要 $mathbf{b}$ 是一个有效的向量，这个解就是唯一的。它也意味着，对于任何右侧项 $mathbf{b}$，方程组都有一个确定的解。
如果 $|A| = 0$： 这时矩阵 A 是不可逆的（没有逆矩阵）。方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的情况就变得复杂了：
可能无解： 如果 $mathbf{b}$ 不在 A 的“像空间”（column space）中，那么就找不到任何 $mathbf{x}$ 使得 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。
可能有无穷多解： 如果 $mathbf{b}$ 在 A 的像空间中，但 A 把多个不同的向量映射到了同一个向量上（这就是“坍缩”的体现），那么就会有无穷多个不同的 $mathbf{x}$ 都能满足方程。
一个行列式不为零的矩阵，就像一个“忠诚的保镖”，它能把一个输入向量“一对一”地映射到一个输出向量，并且不会把重要的信息（比如向量的方向和长度）完全抹掉，还能让我们知道，只要目标 $mathbf{b}$ 是“合理”的，总能找到对应的输入 $mathbf{x}$。
3. 行列式与矩阵的“可逆性”/“满秩”：
“满秩”是线性代数里一个非常重要的概念。一个 $n imes n$ 的方阵 A 被称为满秩，意味着它的秩（rank）等于 n。矩阵的秩，简单来说，是它“独立”的行（或列）向量的数量。
秩的定义： 矩阵的秩等于其线性无关的行向量（或列向量）的最大数目。
满秩意味着什么： 一个 $n imes n$ 的矩阵 A 是满秩的，意味着它的 n 个行向量（或者 n 个列向量）都是线性无关的。
线性无关的含义： 如果一组向量是线性无关的，那么其中任何一个向量都不能被其他向量的线性组合表示出来。换句话说，它们提供了 n 个“独立”的方向信息。
那么，行列式不为零和满秩有什么关系呢？
这就像是数学界里的一个“通用规则”，它们是等价的陈述：
一个 $n imes n$ 的方阵 A，其行列式 $|A| eq 0$ 当且仅当 A 是满秩的。
一个 $n imes n$ 的方阵 A，其行列式 $|A| = 0$ 当且仅当 A 不是满秩的（秩小于 n）。
为什么会有这个联系？
我们回头看前面的点：
从“体积”的角度： 如果行列式不为零，意味着变换没有“坍缩”，这意味着原单位正方形的四个顶点（经过变换）仍然张成一个有面积的区域。这表明 A 的列向量（$egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 和 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$）是线性无关的，它们提供了两个独立的方向。对于一个 $n imes n$ 的矩阵，如果它的列向量（或行向量）都是线性无关的，那么它就是满秩的。
从“解的唯一性”的角度： 行列式不为零意味着 A 可逆，方程 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 有唯一解。只有当 A 的列向量（或行向量）是线性无关的时候，才能保证这样的唯一性。如果列向量不是线性无关的，比如其中一个列向量是其他列向量的组合，那么 A 就无法“覆盖”所有的方向，或者会把不同的输入映射到同一个输出，导致解的不唯一或不存在。
打个比方：
想象你要组织一场音乐会，你有 n 个不同的乐器（对应矩阵的 n 个列向量）。
如果 $|A| eq 0$（满秩）： 这 n 个乐器演奏出的声音组合起来是“丰富多彩”的，它们能构成完整的音乐（对应线性无关）。无论你想表现的音乐主题是什么（对应向量 $mathbf{b}$），总能找到一种方式用这些乐器来演绎，而且演绎方式是唯一的（没有冗余的乐器，也没有乐器需要完全重复别人的声部）。
如果 $|A| = 0$（不满秩）： 那么你的 n 个乐器里，至少有两个乐器的音色或者演奏方式是完全一样的，或者一个乐器的音色完全是另一个乐器可以模拟出来的（对应线性相关）。这样一来，你的音乐“表现力”就打了折扣。你可能无法演奏出所有你想要的音乐主题，或者同样一个音乐片段，可以用很多不同的乐器组合来完成（解不唯一）。
总结一下：
行列式不等于零 是一个代数上的结论，它告诉你一个方阵在进行乘法运算时的“尺度因子”或“体积变化因子”不是零。
满秩 是一个描述矩阵“结构”或“能力”的性质，它告诉你矩阵的行（或列）向量的线性无关的个数达到了它的维度。
这两个概念之所以紧密相连，是因为矩阵的行列式恰好捕捉了矩阵将向量空间进行线性变换时，是否会“挤压”或“坍缩”到更低的维度。只有当变换不会导致这种“坍缩”，即保持了原始空间的“维度特性”（比如二维不变成一维），我们才能说它是“满秩”的。而行列式不为零，正是这种“不坍缩”的数学度量。
所以，说“A 的行列式不等于 0”就意味着“A 满秩”，是因为行列式的值直接反映了构成矩阵的列（或行）向量是否构成一组基，是否是线性无关的，这恰恰是满秩的定义。这个“不等于零”就像是一把钥匙，它打开了理解矩阵其他重要性质的大门，比如可逆性、唯一解等等。
想象一下，我们有一个方阵 A，比如一个 2x2 的矩阵：
$A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$
它的行列式，我们都知道，就是 $ad bc$。
行列式不等于零，究竟意味着什么？
我们可以从几个不同的角度来看待这个问题，它们最终指向同一个结论：
1. 行列式与矩阵变换的“体积”效应：
这是最直观的一种理解方式。想象一下，矩阵 A 对一个向量 $mathbf{x}$ 进行线性变换，也就是计算 $Amathbf{x}$。如果我们在二维空间里，可以把矩阵 A 看作是对一个“单位正方形”的变形。
一个单位正方形： 它的四个顶点分别是 (0,0), (1,0), (0,1), (1,1)。
矩阵 A 的变换： 当我们用 A 乘以这些顶点时，(0,0) 还是 (0,0)，但 (1,0) 会变成 $A egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$，而 (0,1) 会变成 $A egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。
变换后的图形： 这三个点 $egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$， $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$， $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$ 构成的平行四边形，就是原单位正方形被矩阵 A 变换后的样子。
行列式 $|A|$ 的绝对值，正好就是这个变换后的平行四边形的面积。
如果 $|A| eq 0$： 这意味着变换后的平行四边形有面积，它没有“坍缩”成一条线或者一个点。换句话说，原单位正方形被拉伸、旋转、或者进行各种扭曲，但它并没有被压扁到二维平面上的某个一维线条或零维的点。
如果 $|A| = 0$： 这意味着变换后的平行四边形的面积为零。这只能发生在，原来的单位正方形被压扁了。怎么压扁的？比如，如果变换后的两个基向量 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 和 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$ 是共线的（即其中一个是另一个的倍数），那么它们张成的区域就是一个面积为零的线段，而不是一个有面积的平行四边形。
2. 行列式与方程组解的唯一性：
考虑一个线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。
如果 $|A| eq 0$： 这意味着我们可以通过矩阵 A 的逆矩阵 $A^{1}$ 来求解 $mathbf{x}$，即 $mathbf{x} = A^{1}mathbf{b}$。只要 $mathbf{b}$ 是一个有效的向量，这个解就是唯一的。它也意味着，对于任何右侧项 $mathbf{b}$，方程组都有一个确定的解。
如果 $|A| = 0$： 这时矩阵 A 是不可逆的（没有逆矩阵）。方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的情况就变得复杂了：
可能无解： 如果 $mathbf{b}$ 不在 A 的“像空间”（column space）中，那么就找不到任何 $mathbf{x}$ 使得 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。
可能有无穷多解： 如果 $mathbf{b}$ 在 A 的像空间中，但 A 把多个不同的向量映射到了同一个向量上（这就是“坍缩”的体现），那么就会有无穷多个不同的 $mathbf{x}$ 都能满足方程。
一个行列式不为零的矩阵，就像一个“忠诚的保镖”，它能把一个输入向量“一对一”地映射到一个输出向量，并且不会把重要的信息（比如向量的方向和长度）完全抹掉，还能让我们知道，只要目标 $mathbf{b}$ 是“合理”的，总能找到对应的输入 $mathbf{x}$。
3. 行列式与矩阵的“可逆性”/“满秩”：
“满秩”是线性代数里一个非常重要的概念。一个 $n imes n$ 的方阵 A 被称为满秩，意味着它的秩（rank）等于 n。矩阵的秩，简单来说，是它“独立”的行（或列）向量的数量。
秩的定义： 矩阵的秩等于其线性无关的行向量（或列向量）的最大数目。
满秩意味着什么： 一个 $n imes n$ 的矩阵 A 是满秩的，意味着它的 n 个行向量（或者 n 个列向量）都是线性无关的。
线性无关的含义： 如果一组向量是线性无关的，那么其中任何一个向量都不能被其他向量的线性组合表示出来。换句话说，它们提供了 n 个“独立”的方向信息。
那么，行列式不为零和满秩有什么关系呢？
这就像是数学界里的一个“通用规则”，它们是等价的陈述：
一个 $n imes n$ 的方阵 A，其行列式 $|A| eq 0$ 当且仅当 A 是满秩的。
一个 $n imes n$ 的方阵 A，其行列式 $|A| = 0$ 当且仅当 A 不是满秩的（秩小于 n）。
为什么会有这个联系？
我们回头看前面的点：
从“体积”的角度： 如果行列式不为零，意味着变换没有“坍缩”，这意味着原单位正方形的四个顶点（经过变换）仍然张成一个有面积的区域。这表明 A 的列向量（$egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 和 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$）是线性无关的，它们提供了两个独立的方向。对于一个 $n imes n$ 的矩阵，如果它的列向量（或行向量）都是线性无关的，那么它就是满秩的。
从“解的唯一性”的角度： 行列式不为零意味着 A 可逆，方程 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 有唯一解。只有当 A 的列向量（或行向量）是线性无关的时候，才能保证这样的唯一性。如果列向量不是线性无关的，比如其中一个列向量是其他列向量的组合，那么 A 就无法“覆盖”所有的方向，或者会把不同的输入映射到同一个输出，导致解的不唯一或不存在。
打个比方：
想象你要组织一场音乐会，你有 n 个不同的乐器（对应矩阵的 n 个列向量）。
如果 $|A| eq 0$（满秩）： 这 n 个乐器演奏出的声音组合起来是“丰富多彩”的，它们能构成完整的音乐（对应线性无关）。无论你想表现的音乐主题是什么（对应向量 $mathbf{b}$），总能找到一种方式用这些乐器来演绎，而且演绎方式是唯一的（没有冗余的乐器，也没有乐器需要完全重复别人的声部）。
如果 $|A| = 0$（不满秩）： 那么你的 n 个乐器里，至少有两个乐器的音色或者演奏方式是完全一样的，或者一个乐器的音色完全是另一个乐器可以模拟出来的（对应线性相关）。这样一来，你的音乐“表现力”就打了折扣。你可能无法演奏出所有你想要的音乐主题，或者同样一个音乐片段，可以用很多不同的乐器组合来完成（解不唯一）。
总结一下：
行列式不等于零 是一个代数上的结论，它告诉你一个方阵在进行乘法运算时的“尺度因子”或“体积变化因子”不是零。
满秩 是一个描述矩阵“结构”或“能力”的性质，它告诉你矩阵的行（或列）向量的线性无关的个数达到了它的维度。
这两个概念之所以紧密相连，是因为矩阵的行列式恰好捕捉了矩阵将向量空间进行线性变换时，是否会“挤压”或“坍缩”到更低的维度。只有当变换不会导致这种“坍缩”，即保持了原始空间的“维度特性”（比如二维不变成一维），我们才能说它是“满秩”的。而行列式不为零，正是这种“不坍缩”的数学度量。
所以，说“A 的行列式不等于 0”就意味着“A 满秩”，是因为行列式的值直接反映了构成矩阵的列（或行）向量是否构成一组基，是否是线性无关的，这恰恰是满秩的定义。这个“不等于零”就像是一把钥匙，它打开了理解矩阵其他重要性质的大门，比如可逆性、唯一解等等。
网友意见
矩阵的秩等于行数，行满秩，行向量线性无关。
矩阵的秩等于列数，列满秩，列向量线性无关。
既行满秩，又列满秩，就是n阶矩阵，r(A)=n。
也就是
对Amxn，若R(A)=m，称A为行满秩矩阵；
若R(A)=n，称A为列满秩矩阵。
对Anxn，若R(A)=n，称A为满秩矩阵
若R(A)<n，称A为降秩矩阵。
可逆矩阵行列式不为0，所以满秩，所以通常称为满秩矩阵。可逆矩阵→←满秩矩阵→←非奇异矩阵。也就是A可逆是A为满秩矩阵的充要条件。
不可逆矩阵→←降秩矩阵→←奇异矩阵
那什么是矩阵的秩r(A)？
1.矩阵A中非0子式的最高阶数。
2.用初等行变换将矩阵A变成阶梯形矩阵, A中非零行的个数就是这个矩阵的秩，记为r（A）。
3.非0矩阵A的标准形中非0行的行数
Er是A的标准形。
「以上3个说法看一个就行啦」
若A求行列式，要求A为n阶，何时|A|=0？
1.行列式中两行/两列对应元素相同
2.行列式中两行/两列元素对应成比例
3.有一行/列都是0
对于上述1.2其实就可以变形成3，做变换，一对应减就出一行/一列0了。
那什么叫可逆矩阵，定义我就不说了，说一些定理：
1.A可逆和|A|不等于0可以互推
2.~可以和r(A)=n互推
3.~可以和A的列/行向量线性无关互推（相关就能变出0行或0列了，行列式就等于0了，肯定不可逆了就）
4.~可以和0不是A特征值互推
其实这个问题就出来了，A行列式不为0，A可逆，r(A)=n，A满秩矩阵。
希望能对同学有帮助。
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