如何证明同一个魔方公式循环N遍后都会回到原状态？
想象一下，魔方表面上的每一个小块（我们称之为“块”），它的位置和朝向是独一无二的。一个魔方公式，本质上就是一系列的转动。每一次转动，比如转动一层，都会让魔方上的某些块移动到新的位置，并可能改变它们的朝向。
我们可以把魔方的原始状态看作是所有块都安放妥当，朝向正确的“完美”状态。当我们执行第一个公式时，一些块会发生位置和朝向的变化。我们可以记录下每一个块“去了哪里”，以及它“变成了什么样子”。
现在，关键来了。假设我们记录下了第一次执行公式后，每个块的新位置和新朝向。如果我们再次执行同一个公式，它会以同样的方式作用于当前状态下的块。这意味着，如果第一次执行让某个块从 A 位置移动到 B 位置，那么第二次执行就会让原本在 B 位置的那个块（也就是第一次公式作用后跑到 B 位置的块）再次移动。
我们可以这样想：第一次执行公式，就好比你把一个红色的方块从左上角拿到右上角，再把一个蓝色的圆块从右边拿到左边。第二次执行，你进行的又是同样的操作，只不过现在红色的方块已经在右上角了，你再次执行“把左上角方块拿到右上角”这个动作，实际上就是对那个已经被移动过的块进行又一次操作。
如果一个公式是“完美”的，意味着它能精确地逆转或者精确地循环。比如说，一个简单的公式可能是：
1. 右手从上往下转动右侧那一层。
2. 再把顶层从左往右转动。
当你执行完这两个动作后，魔方肯定已经被打乱了。但是，如果这是一个可以循环的公式，那么意味着：
每一次执行，都是对当前状态的“同一种”变换。 就像你每次拿起一本书，把它放到桌子的左边。你拿起书的动作是相同的，只是书本的初始位置不同。
这些变换组合起来，形成一个完整的“回路”。 想象你在一个圆圈上行走。你每走一步，就相当于执行一次公式。如果你走了 N 步，并且 N 步后正好回到起点，那么这个公式就循环了 N 遍。
要证明同一个公式循环 N 遍回到原状态，我们实际上是在证明，这个公式所代表的置换，经过 N 次复合（也就是连续执行 N 次），会回到恒等置换（也就是什么都没变）。
我们不必去列举每一个块的变化。我们可以从更宏观的角度去看：
1. 公式是一个确定的规则。 无论魔方是什么状态，执行这个公式，都会产生一个确定的新状态。
2. 如果一个公式可以被“复原”，那么它就是可以循环的。 很多魔方公式都是由几个基本的小动作组成，而这些小动作本身就有反向的动作。例如，“右手顺时针转90度”的反向就是“右手逆时针转90度”。如果一个完整的公式，可以通过一系列的反向动作（按照相反的顺序）就能回到原点，那么它自然就可以循环。
3. 数学上的“群论”可以完美解释这一点。 在数学里，魔方的所有状态和所有合法的转动构成了一个“群”。一个魔方公式就是这个群中的一个元素（一种操作）。群的性质之一就是，任何元素（操作）重复执行一定次数后，都会回到“单位元”（恒等操作）。
所以，当我们说一个公式循环 N 遍回到原状态，其实是在说，这个公式本身代表了一种“前进”的动作，而 N 次“前进”正好抵消了所有“前进”的效果，让魔方回到了最初的那个“停止”状态。
就好比你往前走了5步，又往后退了5步，你就回到了原地。魔方公式也是一样，它进行了一系列的“移动”和“翻转”，而 N 次重复进行同样的“移动”和“翻转”序列，其净效果就是“什么都没做”。
关键在于，魔方的每一步操作都是可逆的，而且确定的。所以，你执行的公式，就像是在给魔方的每个小块打上一个“标记”，告诉它“去这里，摆成这个样子”。如果你重复执行，这个“标记”就被应用了 N 次。如果 N 次后，所有的“标记”最终都抵消了，让每个块都回到了原始的位置和朝向，那么就证明了这个公式的循环性。
我们之所以知道它是可行的，是因为魔方的结构非常精巧，它遵循严格的数学规律。那些被设计出来的魔方公式，就是利用了这些规律，创造出了能够实现特定目标（比如还原魔方）并且具有周期性的操作序列。
网友意见
这个好像要用群论。
尝试一下。
首先列举一些不证自明的事实（事实上是我不知道怎么证）：
1、我们知道魔方的每一个操作都有逆操作，譬如说你把X轴第一行旋转90度，那么逆操作就是把X轴第一行反向旋转90度，逆操作将完整的抵消操作的效果，回到操作之前的状态。同样的，一连串的操作，也有逆操作，只要按照顺序反向操作就能回到原来的状态。
2、我们知道魔方的状态是有限的。
3、如果给定一个状态s，那么执行某一连串特定的操作后，其状态是确定的。
接下来我就可以证明了。
然后我令有一种连串操作X，其无论重复多少次，都无法将魔方还原到初始状态。
我们把每一次X操作之后的魔方状态列成一个列表，其初始状态是，执行一次X操作后变为，执行n次操作后变为。
根据2我们知道中的状态可能是有限的，那么也就是说只要这个列表够大我们一定能找到两个状态是相同的，我们假设是第a次和第b次后（其中），那么这两个状态分别是和，即
然后令，根据3，在经历了特定次X操作后，得到的状态必然是是确定的。也就是说这个状态的魔方在经历m次操作后，必然会回复到这个初始状态。同样的我们有，。换言之，不断地重复操作X，魔方的状态必然是在一个m个有限的状态集合中循环。
推论：然后根据1，所有的操作X都有一个逆操作-X，因为重复m次X操作后的状态是，而这个状态和相同，同样的，重复m次-X操作后，应该会得到的状态，也就是说如果我们对于处于状态的魔方执行-X操作，他也会在m个有限的状态中循环。
根据初始假设，X操作无论重复多少次，都不能恢复到的初始状态。现在我们假设已经进行了b次X操作，我们得到了状态，其与之前的某个状态是相同的，根据1，我们只需要执行b次-X操作，就能回复到状态，但是根据上面的推论，我们只会在m个有限的状态中循环，所以，必然在这个有限的状态集合里，与初始假设矛盾。
所以假设不成立，不存在一连串操作X，无论重复多少次都无法将魔方还原到初始状态。
所以证明这个东西的三个前提是：
1、所有操作都是可逆的。
2、总的状态是有限的。
3、操作后的状态是确定的。
只要满足这三个前提的东西，都会满足这个规律，不仅仅是魔方。
譬如说：
在国际象棋盘上，有一个后，为了确保后的所有移动都是合法而且状态确定的，我们规定后从需要向左边移动三格而左边只有两格的时候，后会出现在最右边的对应格子上。
那么，不论设计一种什么走法，例如后先向前两步，再向左上两步，再向下三步这样的之类。重复有限次后，这个后必然会回到最开始的位置上。
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最后再补充一下这三个前提的必须性：
前提2和前提3可以证明重复某个操作一定会在有限个状态内循环。
而前提1和前提3则可以避免出现诸如这样的循环。这样的循环永远也回不到初始状态a。
所以这三个前提条件缺一不可。
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