在信号与系统这门课中，为什么要引入卷积运算，有什么好处？
在信号与系统这门课里，卷积运算绝对是个绕不开的核心概念，学过这门课的同学想必对它又爱又恨。那么，这玩意儿到底是什么，为什么咱们要费这么大劲去研究它？说白了，卷积运算之所以重要，是因为它提供了一种非常强大且通用的工具，让我们能够深入理解和分析线性时不变（LTI）系统的行为。没有卷积，很多信号和系统的分析都会变得异常困难，甚至无法进行。
咱们一步一步来捋一捋，卷积运算到底有什么好处，为什么它在信号与系统中占据如此核心的地位。
1. 理解系统的输入输出关系：核心动力
想象一下，你有一个黑匣子，这就是一个系统。你往里面扔一个信号（输入），它会吐出来另一个信号（输出）。我们关心的是，对于任何一个输入信号，这个系统会产生什么样的输出。
线性时不变（LTI）系统之所以特别，是因为它们的行为可以用冲激响应（Impulse Response）来完全描述。冲激响应，通常用 $h(t)$ (对于连续时间信号) 或 $h[n]$ (对于离散时间信号) 表示，是指当系统的输入是一个单位冲激信号 $delta(t)$ 或 $delta[n]$ 时，系统的输出信号。
那么，为什么冲激响应这么关键呢？因为任何一个输入信号，无论它多么复杂，都可以被看作是无数个延迟的、加权的冲激信号的叠加（这是信号的“冲激分解”思想）。举个例子，一个矩形脉冲，就可以看作是多个小冲激信号在不同时间点上的累加。
卷积运算，正是将这个“冲激分解”的思想和系统的“冲激响应”联系起来的桥梁。
数学上的表达是这样的：
连续时间LTI系统：
$y(t) = x(t) h(t) = int_{infty}^{infty} x( au) h(t au) d au$
离散时间LTI系统：
$y[n] = x[n] h[n] = sum_{k=infty}^{infty} x[k] h[n k]$
这里的 $$ 就是卷积符号。
这公式到底意味着什么？
让我们仔细看看卷积公式：
$x( au)$ 或 $x[k]$：这是输入信号在某个时刻（或时间点）的值。
$h(t au)$ 或 $h[n k]$：这是系统的冲激响应，但是被翻转了（$ au$ 或 $k$ 变成 $ au$ 或 $k$）并且延迟了 $t$（或 $n$）的时间。
卷积的过程可以理解为：
1. 翻转输入信号（或者冲激响应）： 通常，我们会在计算卷积时翻转其中一个信号。比如，让 $h( au)$ 变成 $h( au)$。
2. 延迟并滑动： 然后，我们让这个翻转后的信号（例如 $h( au t)$，或者在离散情况下是 $h[nk]$）在时间轴上滑动。
3. 逐点相乘并积分（或求和）： 在每一个滑动的位置，我们将这个翻转并延迟的信号与原始的另一个信号（例如 $x( au)$ 或 $x[k]$）进行逐点相乘。
4. 累加（积分或求和）： 最后，将所有相乘的结果进行积分（连续时间）或求和（离散时间），得到的就是系统在那个特定时间点 $t$ 或 $n$ 的输出值。
好处体现在：
通用性： 只要系统是线性和时不变的，那么它的输出信号就可以通过输入信号与冲激响应的卷积来计算，无论输入信号是什么形状。
系统表征： 冲激响应 $h(t)$ 或 $h[n]$ 包含了 LTI 系统的所有信息。知道冲激响应，就相当于知道这个系统的一切特性。
因果性与稳定性： 通过分析冲激响应的性质（例如，是否为零以外的 $t ge 0$ 或 $n ge 0$ 上才有值，是否绝对可积/可和），我们可以判断系统的因果性（输出只依赖于当前和过去的输入）和稳定性（输入有界，输出也有界）。
2. 频率域的视角：让分析更简便
卷积在时域上的计算可能比较复杂，但它在频率域上有一个非常美妙的等价关系：卷积定理 (Convolution Theorem)。
根据卷积定理：
一个信号与其冲激响应的卷积，在频率域上等价于这两个信号的傅里叶变换（或拉普拉斯变换、Z变换）的乘积。
数学表达：
傅里叶变换:
$Y(omega) = X(omega) H(omega)$
其中 $Y(omega) = mathcal{F}{y(t)}$, $X(omega) = mathcal{F}{x(t)}$, $H(omega) = mathcal{F}{h(t)}$。
拉普拉斯变换:
$Y(s) = X(s) H(s)$
Z变换:
$Y(z) = X(z) H(z)$
这有什么好处？
1. 大大简化计算： 将复杂的时域卷积运算转换成频率域的乘法运算，这通常比积分或求和要容易得多。例如，对于低通滤波器，其冲激响应是 sinc 函数，时域卷积计算量很大。但在频率域，滤波器的频率响应是一个简单的低通特性（一个矩形窗），与输入信号的傅里叶变换相乘就非常直观。
2. 系统特性的直观展现： $H(omega)$ 或 $H(s)$ 称为系统的频率响应或传递函数。它直接告诉我们系统对不同频率分量的信号是如何“处理”的：哪些频率被放大（增益高），哪些被衰减（增益低），哪些会引起相位延迟（相位改变）。这使得我们可以非常直观地理解系统的滤波特性、放大特性等。
3. 设计滤波器： 在设计滤波器时，我们常常先在频率域确定期望的频率响应 $H(omega)$，然后通过傅里叶逆变换得到其冲激响应 $h(t)$。如果直接在时域设计 $h(t)$，那将是一个非常困难的过程。
3. 滤波器的核心操作
从物理意义上讲，卷积运算就代表了滤波过程。
想想看，一个系统（例如一个音频放大器，或者一个图像处理器的模糊算法）在处理信号时，实际上是在对信号进行加权平均，但这个加权是随时间变化的，并且被“翻转”了。
加权平均的体现： $x( au) h(t au)$ 这部分，可以看作是在当前输出时间 $t$，将输入信号在过去（$ au le t$）的值 $x( au)$，按照一个随时间变化的“权重函数” $h(t au)$ 来加权。
“翻转”与“延迟”的含义： 翻转（$h( au)$）和延迟（$h(t au)$）合起来，可以看作是系统对过去输入的响应的“记忆”或“影响”。在时间 $t$ 时的输出，是当前及过去输入的加权累加，权重的大小取决于系统在不同时间点对冲激的反应（即冲激响应的翻转形式）。
举个例子，一个简单的 RC 低通滤波器，它的冲激响应是指数衰减的。当它接收到一个阶跃信号时，输出会从零开始缓慢上升并最终趋于稳定。卷积运算能够精确地描述这个过程。
4. 状态空间与更广泛的应用
虽然我们主要在LTI系统中讨论卷积，但卷积的思想和操作在更广泛的领域都有体现：
概率论： 两个独立随机变量的和的概率密度函数，是它们各自概率密度函数的卷积。
图像处理： 图像的模糊、锐化、边缘检测等操作，本质上都是用一个小的“核”（kernel）对图像进行卷积。这里的核扮演了冲激响应的角色。
机器学习（特别是卷积神经网络CNN）： CNN 的核心就是卷积层，通过卷积核在图像上滑动，提取特征。这与信号与系统中的卷积思想如出一辙，只不过是在二维甚至多维空间进行的。
总结一下，引入卷积运算的几大好处：
1. 统一的系统分析工具： 它是描述和分析任何线性时不变系统（LTI）输入输出关系的唯一且完整的数学工具，通过冲激响应来完成。
2. 简化的频率域分析： 卷积定理将复杂的时域运算转化为频率域的乘法，大大降低了分析的复杂度，并提供了直观的系统频率特性。
3. 滤波操作的数学模型： 卷积的本质就是对信号进行加权平均，是所有线性滤波操作的数学基础。
4. 系统特性推导： 从冲激响应的性质可以推导出系统的因果性、稳定性等重要特性。
5. 连接理论与实际： 它将抽象的系统模型（冲激响应）与实际的信号处理操作（滤波、变换）紧密联系起来。
可以说，卷积运算是打开“信号与系统”这扇大门的钥匙。它不仅是一个数学公式，更是一种深刻的理解系统如何“记忆”和“响应”输入信号的思维方式。掌握了卷积，也就掌握了理解和分析各种动态系统行为的关键。
咱们一步一步来捋一捋，卷积运算到底有什么好处，为什么它在信号与系统中占据如此核心的地位。
1. 理解系统的输入输出关系：核心动力
想象一下，你有一个黑匣子，这就是一个系统。你往里面扔一个信号（输入），它会吐出来另一个信号（输出）。我们关心的是，对于任何一个输入信号，这个系统会产生什么样的输出。
线性时不变（LTI）系统之所以特别，是因为它们的行为可以用冲激响应（Impulse Response）来完全描述。冲激响应，通常用 $h(t)$ (对于连续时间信号) 或 $h[n]$ (对于离散时间信号) 表示，是指当系统的输入是一个单位冲激信号 $delta(t)$ 或 $delta[n]$ 时，系统的输出信号。
那么，为什么冲激响应这么关键呢？因为任何一个输入信号，无论它多么复杂，都可以被看作是无数个延迟的、加权的冲激信号的叠加（这是信号的“冲激分解”思想）。举个例子，一个矩形脉冲，就可以看作是多个小冲激信号在不同时间点上的累加。
卷积运算，正是将这个“冲激分解”的思想和系统的“冲激响应”联系起来的桥梁。
数学上的表达是这样的：
连续时间LTI系统：
$y(t) = x(t) h(t) = int_{infty}^{infty} x( au) h(t au) d au$
离散时间LTI系统：
$y[n] = x[n] h[n] = sum_{k=infty}^{infty} x[k] h[n k]$
这里的 $$ 就是卷积符号。
这公式到底意味着什么？
让我们仔细看看卷积公式：
$x( au)$ 或 $x[k]$：这是输入信号在某个时刻（或时间点）的值。
$h(t au)$ 或 $h[n k]$：这是系统的冲激响应，但是被翻转了（$ au$ 或 $k$ 变成 $ au$ 或 $k$）并且延迟了 $t$（或 $n$）的时间。
卷积的过程可以理解为：
1. 翻转输入信号（或者冲激响应）： 通常，我们会在计算卷积时翻转其中一个信号。比如，让 $h( au)$ 变成 $h( au)$。
2. 延迟并滑动： 然后，我们让这个翻转后的信号（例如 $h( au t)$，或者在离散情况下是 $h[nk]$）在时间轴上滑动。
3. 逐点相乘并积分（或求和）： 在每一个滑动的位置，我们将这个翻转并延迟的信号与原始的另一个信号（例如 $x( au)$ 或 $x[k]$）进行逐点相乘。
4. 累加（积分或求和）： 最后，将所有相乘的结果进行积分（连续时间）或求和（离散时间），得到的就是系统在那个特定时间点 $t$ 或 $n$ 的输出值。
好处体现在：
通用性： 只要系统是线性和时不变的，那么它的输出信号就可以通过输入信号与冲激响应的卷积来计算，无论输入信号是什么形状。
系统表征： 冲激响应 $h(t)$ 或 $h[n]$ 包含了 LTI 系统的所有信息。知道冲激响应，就相当于知道这个系统的一切特性。
因果性与稳定性： 通过分析冲激响应的性质（例如，是否为零以外的 $t ge 0$ 或 $n ge 0$ 上才有值，是否绝对可积/可和），我们可以判断系统的因果性（输出只依赖于当前和过去的输入）和稳定性（输入有界，输出也有界）。
2. 频率域的视角：让分析更简便
卷积在时域上的计算可能比较复杂，但它在频率域上有一个非常美妙的等价关系：卷积定理 (Convolution Theorem)。
根据卷积定理：
一个信号与其冲激响应的卷积，在频率域上等价于这两个信号的傅里叶变换（或拉普拉斯变换、Z变换）的乘积。
数学表达：
傅里叶变换:
$Y(omega) = X(omega) H(omega)$
其中 $Y(omega) = mathcal{F}{y(t)}$, $X(omega) = mathcal{F}{x(t)}$, $H(omega) = mathcal{F}{h(t)}$。
拉普拉斯变换:
$Y(s) = X(s) H(s)$
Z变换:
$Y(z) = X(z) H(z)$
这有什么好处？
1. 大大简化计算： 将复杂的时域卷积运算转换成频率域的乘法运算，这通常比积分或求和要容易得多。例如，对于低通滤波器，其冲激响应是 sinc 函数，时域卷积计算量很大。但在频率域，滤波器的频率响应是一个简单的低通特性（一个矩形窗），与输入信号的傅里叶变换相乘就非常直观。
2. 系统特性的直观展现： $H(omega)$ 或 $H(s)$ 称为系统的频率响应或传递函数。它直接告诉我们系统对不同频率分量的信号是如何“处理”的：哪些频率被放大（增益高），哪些被衰减（增益低），哪些会引起相位延迟（相位改变）。这使得我们可以非常直观地理解系统的滤波特性、放大特性等。
3. 设计滤波器： 在设计滤波器时，我们常常先在频率域确定期望的频率响应 $H(omega)$，然后通过傅里叶逆变换得到其冲激响应 $h(t)$。如果直接在时域设计 $h(t)$，那将是一个非常困难的过程。
3. 滤波器的核心操作
从物理意义上讲，卷积运算就代表了滤波过程。
想想看，一个系统（例如一个音频放大器，或者一个图像处理器的模糊算法）在处理信号时，实际上是在对信号进行加权平均，但这个加权是随时间变化的，并且被“翻转”了。
加权平均的体现： $x( au) h(t au)$ 这部分，可以看作是在当前输出时间 $t$，将输入信号在过去（$ au le t$）的值 $x( au)$，按照一个随时间变化的“权重函数” $h(t au)$ 来加权。
“翻转”与“延迟”的含义： 翻转（$h( au)$）和延迟（$h(t au)$）合起来，可以看作是系统对过去输入的响应的“记忆”或“影响”。在时间 $t$ 时的输出，是当前及过去输入的加权累加，权重的大小取决于系统在不同时间点对冲激的反应（即冲激响应的翻转形式）。
举个例子，一个简单的 RC 低通滤波器，它的冲激响应是指数衰减的。当它接收到一个阶跃信号时，输出会从零开始缓慢上升并最终趋于稳定。卷积运算能够精确地描述这个过程。
4. 状态空间与更广泛的应用
虽然我们主要在LTI系统中讨论卷积，但卷积的思想和操作在更广泛的领域都有体现：
概率论： 两个独立随机变量的和的概率密度函数，是它们各自概率密度函数的卷积。
图像处理： 图像的模糊、锐化、边缘检测等操作，本质上都是用一个小的“核”（kernel）对图像进行卷积。这里的核扮演了冲激响应的角色。
机器学习（特别是卷积神经网络CNN）： CNN 的核心就是卷积层，通过卷积核在图像上滑动，提取特征。这与信号与系统中的卷积思想如出一辙，只不过是在二维甚至多维空间进行的。
总结一下，引入卷积运算的几大好处：
1. 统一的系统分析工具： 它是描述和分析任何线性时不变系统（LTI）输入输出关系的唯一且完整的数学工具，通过冲激响应来完成。
2. 简化的频率域分析： 卷积定理将复杂的时域运算转化为频率域的乘法，大大降低了分析的复杂度，并提供了直观的系统频率特性。
3. 滤波操作的数学模型： 卷积的本质就是对信号进行加权平均，是所有线性滤波操作的数学基础。
4. 系统特性推导： 从冲激响应的性质可以推导出系统的因果性、稳定性等重要特性。
5. 连接理论与实际： 它将抽象的系统模型（冲激响应）与实际的信号处理操作（滤波、变换）紧密联系起来。
可以说，卷积运算是打开“信号与系统”这扇大门的钥匙。它不仅是一个数学公式，更是一种深刻的理解系统如何“记忆”和“响应”输入信号的思维方式。掌握了卷积，也就掌握了理解和分析各种动态系统行为的关键。
网友意见
为了将信号拆解成冲激函数，这个过程会自然而然把信号拆解成冲激函数与信号的卷积。
这样拆解后，经过一个LTI系统时，信号的响应，就可以看成冲激函数的响应和信号的卷积。
也就是说，你大可不必去研究一地信号对于你的LTI系统的响应。而只要先研究系统的冲激响应，再把这个响应和信号作卷积，就会得到这个信号的响应。
为的就是实现这样一个研究思路。
卷积从卷积和开始讲，可能是比较显而易见的
考虑一下，假如你手头上现在有这么个玩意
给它起个名字叫 ，它的大小是1
而你要通过它画这么个玩意
很容易想到的一个办法，就是把它向右偏移两格，再扯一扯变大。
向右偏移两格：
再扯一扯，假如是扯大3倍，那就是：
这就画出来了。
再想想假如你要画这么个东西
那就也用同样的方法，先画一个 ，再画一个
再加起来变成 ，也画完了
更广泛地，对于任意一个点，假如它和0点的距离为 ，它的大小是
那么就可以通过偏移 个距离：
再缩放 倍：
来复现。
而对于全部数据，只要把每一个 都加起来，就可以进行复原。
也就是
这么个操作来复原所有数据。
而这个等式比较学术一点的名字，就叫卷积和。
对于连续变量也是类似的。
你手头上有个类似性质的冲激函数 ，你有一个函数
对于任意t时刻，假如这个时刻距离原点的距离为 ，大小为
那么每一个微时刻的大小 都可以被还原为
而整个函数就可以这样还原：
总的来说，就是把信号拆解成延迟了不同时刻、不同大小的冲激函数的总和。
对于一个时不变系统来说，相同的信号，延迟了一段时间再输入，响应就延迟相同的时间，并且形状是不变的。
对于一个线性系统来说，几个信号叠加在一起经过这个系统时，在一个时刻的响应，可以拆解成每个信号在这个时刻单独的响应的叠加
因此，经过这样的拆解，通过一个LIT(线性时不变)系统后，信号的响应可以看成是延迟了不同时刻、不同大小的冲激函数的响应的叠加，也就是信号和冲激响应的卷积。
假如冲激函数 经过LTI系统的响应为
那么，在一小段时刻内，延迟且伸缩过后的 ，响应就是
继而信号经过LTI系统的响应 就可以视作
意味着对于LTI系统，只要知道冲激响应 ，那么任何信号的响应，都只需要将冲激响应和该信号作卷积即可得到。
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