如何证明非零自然数的平方的倒数和为π^2/6?
好的，我们来一起探索一下这个迷人的数学问题：为什么所有非零自然数的平方的倒数加起来，结果会等于 π² / 6。这其实是数学史上一个非常著名的猜想，被称为“巴塞尔问题”，最终由欧拉（Leonhard Euler）在 18 世纪首次给出令人信服的证明。
故事的开端：一个看似不可能的求和
想象一下，我们把所有正整数（1, 2, 3, 4...）一个个地平方，然后取它们倒数，最后把这些无穷多的分数加起来：
$$ frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + frac{1}{5^2} + cdots $$
你可能会觉得，这无穷无尽的分数加起来，怎么可能得到一个这么“漂亮”的数字，而且还跟圆周率 π 有关？这正是巴塞尔问题的魅力所在。许多数学家在提出这个问题后，都尝试去解决它，但都未能找到一个令人满意的答案。直到欧拉的出现。
欧拉的绝妙思路：利用多项式与三角函数的联系
欧拉解决这个问题的方法，可以说是数学史上的一个奇迹。他的核心思想是利用一个无穷多项式（或者更准确地说，是一个无穷乘积）与一个三角函数的级数展开之间的联系。
让我们从一个我们熟悉的函数开始：正弦函数，$sin(x)$。
我们知道，对于一个小的角度 $x$（这里的 $x$ 是弧度制），$sin(x)$ 可以近似地看作 $x$。比如，$sin(0.1) approx 0.1$。
但如果我们要更精确地描述 $sin(x)$，我们需要用到泰勒级数展开。对于 $sin(x)$，它的泰勒级数展开是这样的：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots $$
其中，$3! = 3 imes 2 imes 1 = 6$，$5! = 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 120$，以此类推。
关键的一步：寻找 $sin(x)$ 的“根”
现在，我们来思考一个问题：$sin(x)$ 的根（也就是让 $sin(x) = 0$ 的 $x$ 值）是什么？
我们知道，$sin(x) = 0$ 的时候， $x$ 的值是 $0, pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。换句话说，就是 $x = npi$，其中 $n$ 是任意整数。
将多项式根与函数联系起来
有一个重要的数学原理，它将多项式的根与其表达式联系起来。比如，一个多项式 $P(x)$，如果它的根是 $r_1, r_2, ldots, r_n$，那么它可以被写成：
$$ P(x) = C(x r_1)(x r_2)cdots(x r_n) $$
其中 $C$ 是一个常数。
欧拉想到，能不能把这个原理推广到无穷多项式？也就是说，如果一个函数有无穷多个根，我们能不能把这个函数表示成一个无穷乘积的形式？
欧拉的“魔法”：无穷乘积展开
他考虑了 $frac{sin(x)}{x}$ 这个函数。为什么是它？因为我们知道 $sin(x)$ 的根是 $0, pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。而 $frac{sin(x)}{x}$ 的根就是除了 $0$ 以外的所有根，即 $pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。
如果我们把 $frac{sin(x)}{x}$ 看作一个“无穷多项式”，并且它的根是 $pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$，那么根据刚才提到的那个思想，我们可以尝试把它写成一个无穷乘积的形式。
这里需要一些技巧，因为我们不能直接用 $(x r_i)$ 的形式，否则乘积会发散。欧拉巧妙地使用了 $(1 frac{x}{r_i})$ 这种形式，并且将成对的负根和正根组合起来：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x}{pi} ight)left(1 frac{x}{pi} ight) left(1 frac{x}{2pi} ight)left(1 frac{x}{2pi} ight) left(1 frac{x}{3pi} ight)left(1 frac{x}{3pi} ight) cdots $$
将其中的成对项进行化简：
$(1 frac{x}{pi})(1 + frac{x}{pi}) = 1 frac{x^2}{pi^2}$
$(1 frac{x}{2pi})(1 + frac{x}{2pi}) = 1 frac{x^2}{(2pi)^2}$
$(1 frac{x}{3pi})(1 + frac{x}{3pi}) = 1 frac{x^2}{(3pi)^2}$
所以，我们得到 $frac{sin(x)}{x}$ 的无穷乘积展开：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{(2pi)^2} ight) left(1 frac{x^2}{(3pi)^2} ight) left(1 frac{x^2}{(4pi)^2} ight) cdots $$
比较两个展开式
现在我们有两个关于 $frac{sin(x)}{x}$ 的表达式：
1. 来自泰勒级数：
我们先将 $sin(x)$ 的级数展开除以 $x$：
$$ frac{sin(x)}{x} = frac{1}{x} left( x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots ight) $$
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} frac{x^6}{7!} + cdots $$
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} frac{x^6}{5040} + cdots $$
2. 来自无穷乘积：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{16pi^2} ight) cdots $$
现在，欧拉的神来之笔来了！他把这两个表达式相等。当两个幂级数（或者在这里可以看作是无穷多项式）处处相等时，它们对应同次幂的系数也必然相等。
让我们重点关注 $x^2$ 的系数。
在泰勒级数展开中，$frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} cdots$
$x^2$ 的系数是 $frac{1}{6}$。
现在，让我们看看无穷乘积展开的结果，它会得到哪些包含 $x^2$ 的项。为了得到 $x^2$ 的项，我们必须从乘积中的一个括号里取 $ frac{x^2}{k^2pi^2}$，然后从所有其他的括号里都取 $1$。
所以，$x^2$ 的系数会是：
$$ left(frac{1}{pi^2} ight) + left(frac{1}{4pi^2} ight) + left(frac{1}{9pi^2} ight) + left(frac{1}{16pi^2} ight) + cdots $$
我们可以把 $frac{1}{pi^2}$ 提出来：
$$ frac{1}{pi^2} left( 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + cdots ight) $$
这不正是我们想要求和的数列吗？
$$ frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
最后的等式
现在，我们比较这两个表达式的 $x^2$ 系数：
$$ frac{1}{6} quad = quad frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
消去两边的负号：
$$ frac{1}{6} quad = quad frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
将 $pi^2$ 乘到等式左边：
$$ frac{pi^2}{6} quad = quad frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots $$
voilà！我们成功地证明了非零自然数的平方的倒数和等于 $frac{pi^2}{6}$。
这个证明的意义和一些补充
非凡的洞察力： 欧拉的这个证明展现了他非凡的数学直觉和能力。他能够将看似无关的函数（正弦函数）和无穷级数与代数中的根的概念联系起来，并进行大胆的推广。
严格性的问题（在当时）： 需要指出的是，在欧拉那个时代，对于无穷乘积的收敛性和处理无穷级数的方法，数学家们还没有完全建立起一套严格的理论体系。欧拉的证明在直觉上是成立的，并且他的结果被后来的数学家们所证实，但从现代数学的视角来看，其中涉及到的一些步骤（例如在无穷乘积中“展开”并比较系数）需要更严谨的数学分析来支撑。
后续的发展： 后来，像柯西（AugustinLouis Cauchy）这样的数学家，为欧拉的方法提供了更严格的证明基础，使用了实分析和复分析的工具。
总结一下欧拉的思路：
1. 选取一个有无穷多个根的函数： $sin(x)$。
2. 将其变形，使其根变成我们想要的模式： $frac{sin(x)}{x}$ 的根是 $pmpi, pm2pi, ldots$。
3. 将这个函数展开成泰勒级数： $frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} cdots$。
4. 将这个函数表示成一个无穷乘积，利用其根： $frac{sin(x)}{x} = (1 frac{x^2}{pi^2})(1 frac{x^2}{4pi^2})(1 frac{x^2}{9pi^2})cdots$。
5. 比较两个展开式的同次幂（特别是 $x^2$）的系数，从而得出结论。
这个问题的解决，不仅解决了困扰数学界多年的巴塞尔问题，更揭示了数学中不同领域之间令人惊叹的联系，是数学史上的一座里程碑。
故事的开端：一个看似不可能的求和
想象一下，我们把所有正整数（1, 2, 3, 4...）一个个地平方，然后取它们倒数，最后把这些无穷多的分数加起来：
$$ frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + frac{1}{5^2} + cdots $$
你可能会觉得，这无穷无尽的分数加起来，怎么可能得到一个这么“漂亮”的数字，而且还跟圆周率 π 有关？这正是巴塞尔问题的魅力所在。许多数学家在提出这个问题后，都尝试去解决它，但都未能找到一个令人满意的答案。直到欧拉的出现。
欧拉的绝妙思路：利用多项式与三角函数的联系
欧拉解决这个问题的方法，可以说是数学史上的一个奇迹。他的核心思想是利用一个无穷多项式（或者更准确地说，是一个无穷乘积）与一个三角函数的级数展开之间的联系。
让我们从一个我们熟悉的函数开始：正弦函数，$sin(x)$。
我们知道，对于一个小的角度 $x$（这里的 $x$ 是弧度制），$sin(x)$ 可以近似地看作 $x$。比如，$sin(0.1) approx 0.1$。
但如果我们要更精确地描述 $sin(x)$，我们需要用到泰勒级数展开。对于 $sin(x)$，它的泰勒级数展开是这样的：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots $$
其中，$3! = 3 imes 2 imes 1 = 6$，$5! = 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 120$，以此类推。
关键的一步：寻找 $sin(x)$ 的“根”
现在，我们来思考一个问题：$sin(x)$ 的根（也就是让 $sin(x) = 0$ 的 $x$ 值）是什么？
我们知道，$sin(x) = 0$ 的时候， $x$ 的值是 $0, pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。换句话说，就是 $x = npi$，其中 $n$ 是任意整数。
将多项式根与函数联系起来
有一个重要的数学原理，它将多项式的根与其表达式联系起来。比如，一个多项式 $P(x)$，如果它的根是 $r_1, r_2, ldots, r_n$，那么它可以被写成：
$$ P(x) = C(x r_1)(x r_2)cdots(x r_n) $$
其中 $C$ 是一个常数。
欧拉想到，能不能把这个原理推广到无穷多项式？也就是说，如果一个函数有无穷多个根，我们能不能把这个函数表示成一个无穷乘积的形式？
欧拉的“魔法”：无穷乘积展开
他考虑了 $frac{sin(x)}{x}$ 这个函数。为什么是它？因为我们知道 $sin(x)$ 的根是 $0, pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。而 $frac{sin(x)}{x}$ 的根就是除了 $0$ 以外的所有根，即 $pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$。
如果我们把 $frac{sin(x)}{x}$ 看作一个“无穷多项式”，并且它的根是 $pmpi, pm2pi, pm3pi, ldots$，那么根据刚才提到的那个思想，我们可以尝试把它写成一个无穷乘积的形式。
这里需要一些技巧，因为我们不能直接用 $(x r_i)$ 的形式，否则乘积会发散。欧拉巧妙地使用了 $(1 frac{x}{r_i})$ 这种形式，并且将成对的负根和正根组合起来：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x}{pi} ight)left(1 frac{x}{pi} ight) left(1 frac{x}{2pi} ight)left(1 frac{x}{2pi} ight) left(1 frac{x}{3pi} ight)left(1 frac{x}{3pi} ight) cdots $$
将其中的成对项进行化简：
$(1 frac{x}{pi})(1 + frac{x}{pi}) = 1 frac{x^2}{pi^2}$
$(1 frac{x}{2pi})(1 + frac{x}{2pi}) = 1 frac{x^2}{(2pi)^2}$
$(1 frac{x}{3pi})(1 + frac{x}{3pi}) = 1 frac{x^2}{(3pi)^2}$
所以，我们得到 $frac{sin(x)}{x}$ 的无穷乘积展开：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{(2pi)^2} ight) left(1 frac{x^2}{(3pi)^2} ight) left(1 frac{x^2}{(4pi)^2} ight) cdots $$
比较两个展开式
现在我们有两个关于 $frac{sin(x)}{x}$ 的表达式：
1. 来自泰勒级数：
我们先将 $sin(x)$ 的级数展开除以 $x$：
$$ frac{sin(x)}{x} = frac{1}{x} left( x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots ight) $$
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} frac{x^6}{7!} + cdots $$
$$ frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} frac{x^6}{5040} + cdots $$
2. 来自无穷乘积：
$$ frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{16pi^2} ight) cdots $$
现在，欧拉的神来之笔来了！他把这两个表达式相等。当两个幂级数（或者在这里可以看作是无穷多项式）处处相等时，它们对应同次幂的系数也必然相等。
让我们重点关注 $x^2$ 的系数。
在泰勒级数展开中，$frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} cdots$
$x^2$ 的系数是 $frac{1}{6}$。
现在，让我们看看无穷乘积展开的结果，它会得到哪些包含 $x^2$ 的项。为了得到 $x^2$ 的项，我们必须从乘积中的一个括号里取 $ frac{x^2}{k^2pi^2}$，然后从所有其他的括号里都取 $1$。
所以，$x^2$ 的系数会是：
$$ left(frac{1}{pi^2} ight) + left(frac{1}{4pi^2} ight) + left(frac{1}{9pi^2} ight) + left(frac{1}{16pi^2} ight) + cdots $$
我们可以把 $frac{1}{pi^2}$ 提出来：
$$ frac{1}{pi^2} left( 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + cdots ight) $$
这不正是我们想要求和的数列吗？
$$ frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
最后的等式
现在，我们比较这两个表达式的 $x^2$ 系数：
$$ frac{1}{6} quad = quad frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
消去两边的负号：
$$ frac{1}{6} quad = quad frac{1}{pi^2} left( frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots ight) $$
将 $pi^2$ 乘到等式左边：
$$ frac{pi^2}{6} quad = quad frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots $$
voilà！我们成功地证明了非零自然数的平方的倒数和等于 $frac{pi^2}{6}$。
这个证明的意义和一些补充
非凡的洞察力： 欧拉的这个证明展现了他非凡的数学直觉和能力。他能够将看似无关的函数（正弦函数）和无穷级数与代数中的根的概念联系起来，并进行大胆的推广。
严格性的问题（在当时）： 需要指出的是，在欧拉那个时代，对于无穷乘积的收敛性和处理无穷级数的方法，数学家们还没有完全建立起一套严格的理论体系。欧拉的证明在直觉上是成立的，并且他的结果被后来的数学家们所证实，但从现代数学的视角来看，其中涉及到的一些步骤（例如在无穷乘积中“展开”并比较系数）需要更严谨的数学分析来支撑。
后续的发展： 后来，像柯西（AugustinLouis Cauchy）这样的数学家，为欧拉的方法提供了更严格的证明基础，使用了实分析和复分析的工具。
总结一下欧拉的思路：
1. 选取一个有无穷多个根的函数： $sin(x)$。
2. 将其变形，使其根变成我们想要的模式： $frac{sin(x)}{x}$ 的根是 $pmpi, pm2pi, ldots$。
3. 将这个函数展开成泰勒级数： $frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} cdots$。
4. 将这个函数表示成一个无穷乘积，利用其根： $frac{sin(x)}{x} = (1 frac{x^2}{pi^2})(1 frac{x^2}{4pi^2})(1 frac{x^2}{9pi^2})cdots$。
5. 比较两个展开式的同次幂（特别是 $x^2$）的系数，从而得出结论。
这个问题的解决，不仅解决了困扰数学界多年的巴塞尔问题，更揭示了数学中不同领域之间令人惊叹的联系，是数学史上的一座里程碑。
网友意见
巴赛尔问题, 是求在趋于无穷时正整数的平方的倒数和.
即求: .
这个问题有非常多的解法, 但大都属于高等数学范畴内, 我之前的回答也给出了一种在高等数学范围内比较简单的解法.
注意到
所以有
要让等式左右两边相等.
项必须相等
所以
所以
Q.E.D
虽然这种方法比较简单, 但也属于高等数学范畴. 我们能不能试一下在初等数学范畴结果巴赛尔问题呢?
3Blue1Brown的视频给出了一种新的视角解决巴赛尔问题, 那我们一起来讨论一下他的思路吧.
咦, 这里有平方的倒数, 我们想想现实中的公式有哪些是有平方的倒数的.
平方反比定律?
如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是一个平方反比定律
所以如果我们考虑巴赛尔问题的实际意义.
假设这里有一个 同学, 在他的左边, 有很多个 灯泡.
各个灯泡之间的距离为 .
根据平方反比定律, 同学观察到来自 的光的光照强度为 个单位 .
观察到来自 的光照强度为 个单位
观察到来自 的光照强度为 个单位
所以, 考虑这里有无穷个灯泡, 都分布在 的左边, 并且各个灯泡之间的距离为
同学观察到的总光强为各个灯泡到 的光照强度的和, 即
所以, 如果我们能求出 同学观察到的总光照强度, 我们就解决了巴赛尔问题.
同时, 我们也注意到, 在 与 距离相等的时候, 观察到来自 的光照强度是一样的.
同时, 如果以 为中心建立坐标轴, 那么, 观测到的来自 的光强和来自 的总光强是一样的.
( 发光强度相同)
证明也很好证明, 假设 , 观测到的来自 的光强为 ,
,
所以,
所以
现在假设 相距 , 他们处于周长为 的圆的直径两端. 那么这时候, 接受到的光照强度为 .
现在我们用一下刚刚证明的结论, 观察到的来自 的光强总和是一样的, 为
(因为 )
以此类推,
注意: 以该灯泡和其所在圆的"最高点"为连线, 将该灯泡变异到该连线和下一个大圆的两个交点上.
如此一来, 最初的一个灯泡就变异为了 个灯泡, 且这 个灯泡对于 来说观测到的光照强度和最初的一个灯泡是一样的.
另外, 注意看最大的圆的各段弧长, 分别为
我们将这个过程一直进行下去,
最终将得到在一个无穷大的圆上, 有无穷多的灯泡, 且连接灯泡直接的圆弧长度分别为
而, 对于 来说, 他观测到的所以来这这些灯泡的光强和最初灯泡的光强是一样的, 即
而, 无穷大的圆, 到底长什么样呢?
这便是无穷大的圆了, 因为太大, 圆弧变成了一条直线.
所以如果我们按照直线上的光照强度的规律计算光强, 则有
并且
所以
所以
而
所以
所以
所以
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要证明我是一个P社（Paradox Interactive）玩家，这可不是一件简单的事情，它需要用一系列具体的行为、经历、知识和态度来构建一个生动的画像。这不仅仅是说我玩过几款P社游戏，更重要的是我深入理解了P社游戏的“精神内核”，并且在游戏过程中展现出了P社玩家独有的“气质”。让我详细地从几个维度.............
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要证明能量守恒定律，这可不是一件简单的事。它不是某个实验一蹴而就的产物，而是人类几百年来对自然现象观察、思考、总结的集大成者。我们无法像证明数学定理那样，通过几条公理推导出能量守恒，但我们可以通过理解和分析一系列相互关联的物理现象，来建立起对其的深刻认知和高度信任。不妨从一个大家都能理解的场景入手：.............
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你提出了一个引人深思的问题：我们能否证明我们活在一个模拟宇宙中？这是一个古老又充满魅力的哲学和科学猜想，至今为止，没有人能提供一个绝对的、无可辩驳的证明。但这并不妨碍我们去探索其中的可能性，并从不同的角度思考这个问题。要回答这个问题，我们需要深入探讨一些核心的观点和推测。首先，让我们从“模拟宇宙”这.............
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