机械臂的运动规划，假如在笛卡尔空间规划的步长足够小，是否还需要在关节空间规划？
这是一个非常好的问题，涉及到机械臂运动规划的核心概念。简单来说，即使在笛卡尔空间规划的步长足够小，在很多情况下仍然需要在关节空间进行规划，或者说，笛卡尔空间规划的“小步长”实际上是在关节空间“兑现”的。
下面我将详细解释原因，并从不同角度进行阐述：
1. 理解笛卡尔空间和关节空间
笛卡尔空间 (Cartesian Space)： 这是我们描述机械臂末端执行器（例如夹爪、焊枪）在三维世界中的位置和姿态的空间。例如，一个末端执行器可以被描述为 $(x, y, z)$ 坐标和欧拉角（或者四元数）来表示其姿态。
关节空间 (Joint Space)： 这是描述机械臂各个关节角度的空间。例如，一个六轴机械臂就有六个关节，其状态由六个关节角度 $( heta_1, heta_2, heta_3, heta_4, heta_5, heta_6)$ 组成。
2. 正运动学 (Forward Kinematics)
正运动学是连接这两个空间的桥梁。给定关节空间中的关节角度，我们可以计算出末端执行器在笛卡尔空间中的位置和姿态。
$$ (x, y, z, ext{orientation}) = ext{ForwardKinematics}( heta_1, heta_2, ..., heta_n) $$
这个过程通常是确定性的，也就是说，对于一组关节角度，末端执行器的位置和姿态是唯一的。
3. 逆运动学 (Inverse Kinematics)
逆运动学是更复杂且更关键的部分。给定末端执行器在笛卡尔空间中期望的位置和姿态，我们需要计算出实现这一状态所需的关节角度。
$$ ( heta_1, heta_2, ..., heta_n) = ext{InverseKinematics}(x, y, z, ext{orientation}) $$
这里是问题的关键所在：
多解性 (Multisolution): 对于一个给定的笛卡尔空间目标，通常存在多个不同的关节角度组合可以实现它。想象一下你的手臂，你可以用不同的姿势伸出手指碰到同一个点。
奇异点 (Singularities): 在某些关节配置下，机械臂会达到奇异点。在奇异点附近，即使末端执行器发生微小的位置变化，所需的关节角度变化也可能是巨大的，甚至是不可能实现的。这会导致雅可比矩阵（用于速度和力学分析）的秩亏损。
关节限制 (Joint Limits): 每个关节都有其物理允许的运动范围。无论笛卡尔空间规划的步长多小，最终都要转化为关节的运动，而关节的运动必须在这些限制之内。
4. 笛卡尔空间规划的“小步长”的本质
当你声称在笛卡尔空间规划的步长足够小时，你实际上是在做以下事情：
1. 在笛卡尔空间中定义一个连续的路径： 例如，从点 A $(x_A, y_A, z_A)$ 到点 B $(x_B, y_B, z_B)$，你可能将这段路径离散化成许多小的笛卡尔坐标点 $P_1, P_2, ..., P_N$。
2. 为每个笛卡尔点计算逆运动学解： 对于每一个笛卡尔点 $P_i = (x_i, y_i, z_i, ext{orientation}_i)$，你需要调用逆运动学求解器来找到对应的关节角度组合 $( heta_{i,1}, heta_{i,2}, ..., heta_{i,n})$。
5. 为什么仍需要关节空间规划（或考虑关节空间因素）
即使笛卡尔空间步长很小，仅仅确保末端执行器在笛卡尔空间中移动平滑和精确是不够的，原因如下：
关节空间的路径连续性和可行性：
解的选择： 逆运动学存在多解性。如果你选择的关节空间解在连续的笛卡尔点之间是不连续的（例如，从一个笛卡尔点对应的第一个关节解跳到另一个笛卡尔点对应的第二个关节解），那么机械臂在关节空间中的运动就会发生突兀的跳变，这可能导致：
关节速度过高： 即使笛卡尔速度很小，关节速度也可能瞬间变得非常大，超过关节的驱动能力，或者导致机械臂剧烈抖动。
机械臂自碰撞或与环境碰撞： 不连续的关节路径可能导致机械臂以意想不到的方式弯曲，从而发生碰撞。
奇异点规避： 某些笛卡尔路径可能会使机械臂靠近或进入奇异点。即使步长很小，在奇异点附近微小的笛卡尔变化也可能导致关节速度无限大。关节空间的规划需要能够检测并避开这些区域。
关节限制的遵守： 每个笛卡尔点都必须能被逆运动学映射到一个在关节限制内的解。如果一个笛卡尔点无法在任何合法的关节配置下实现，那么这个点就是不可达的。笛卡尔空间规划可能不知道这一点，直到它尝试进行逆运动学计算。
计算效率和实时性：
反复的逆运动学计算： 在笛卡尔空间中以非常小的步长进行规划意味着需要计算大量的逆运动学解。逆运动学求解通常是计算密集型的，尤其是对于复杂的机械臂或需要实时响应的应用。
雅可比矩阵的使用： 许多高级运动规划算法会利用雅可比矩阵来处理笛卡尔速度和关节速度之间的关系。即使你设定了小的笛卡尔步长，雅可比矩阵的计算和分析（例如，检测奇异性、计算关节速度）仍然发生在关节空间层面。
轨迹的“平滑度”在关节空间定义： 真正的“平滑运动”是发生在关节空间上的。一个在笛卡尔空间中看起来平滑的直线运动，在关节空间中可能是一个非常复杂的曲线，反之亦然。用户通常更关心的是关节的平稳运行，而不是末端执行器在笛卡尔空间中的绝对平滑。
6. 如何在实践中结合两者
笛卡尔空间规划 + 关节空间验证/修正： 这是最常见的方法。
1. 在笛卡尔空间中生成一个路径（例如，直线、圆弧）。
2. 将该路径离散化成一系列笛卡尔位姿点。
3. 对于每个位姿点，使用逆运动学计算对应的关节角度。
4. 在此过程中，选择与前一个关节配置最接近的逆运动学解，以保证关节空间的连续性。
5. 检查计算出的关节角度是否超出关节限制。
6. 在这些关节角度序列上，使用关节空间插值方法（如多项式插值、样条插值）生成平滑的关节轨迹。
7. 评估关节速度、加速度是否在允许范围内。
8. 检查关节轨迹在奇异点附近的表现。 如果发现问题，可能需要调整笛卡尔路径，或者使用更复杂的逆运动学方法（如阻抗控制、基于优化的方法）。
关节空间直接规划： 对于某些应用，直接在关节空间中规划路径可能更有效率和鲁棒性，尤其是当末端执行器的笛卡尔路径不是主要约束时。你可以规划一个关节轨迹，然后通过正运动学计算出末端执行器的笛卡尔路径。
混合方法： 一些高级算法可能会在规划过程中同时考虑两个空间的信息，或者使用基于优化的方法，同时优化笛卡尔路径和关节轨迹，以满足各种约束。
总结
即使笛卡尔空间规划的步长足够小，确保了末端执行器在笛卡尔空间中的“局部”平滑，但它并不能自动保证：
逆运动学解的选择是连续的。
机械臂不会进入奇异点。
关节角度不会超出限制。
关节速度不会过大。
这些都是在关节空间层面需要被显式处理的问题。因此，笛卡尔空间规划的“小步长”需要与关节空间中的逆运动学计算、解选择、约束检查以及轨迹平滑化紧密结合，才能生成一个实际可行且安全的机械臂运动。笛卡尔空间规划的步长小，只是使这个问题更容易解决，因为它限制了每次需要解决的逆运动学问题之间的“距离”，从而更容易找到连续的关节解。
下面我将详细解释原因，并从不同角度进行阐述：
1. 理解笛卡尔空间和关节空间
笛卡尔空间 (Cartesian Space)： 这是我们描述机械臂末端执行器（例如夹爪、焊枪）在三维世界中的位置和姿态的空间。例如，一个末端执行器可以被描述为 $(x, y, z)$ 坐标和欧拉角（或者四元数）来表示其姿态。
关节空间 (Joint Space)： 这是描述机械臂各个关节角度的空间。例如，一个六轴机械臂就有六个关节，其状态由六个关节角度 $( heta_1, heta_2, heta_3, heta_4, heta_5, heta_6)$ 组成。
2. 正运动学 (Forward Kinematics)
正运动学是连接这两个空间的桥梁。给定关节空间中的关节角度，我们可以计算出末端执行器在笛卡尔空间中的位置和姿态。
$$ (x, y, z, ext{orientation}) = ext{ForwardKinematics}( heta_1, heta_2, ..., heta_n) $$
这个过程通常是确定性的，也就是说，对于一组关节角度，末端执行器的位置和姿态是唯一的。
3. 逆运动学 (Inverse Kinematics)
逆运动学是更复杂且更关键的部分。给定末端执行器在笛卡尔空间中期望的位置和姿态，我们需要计算出实现这一状态所需的关节角度。
$$ ( heta_1, heta_2, ..., heta_n) = ext{InverseKinematics}(x, y, z, ext{orientation}) $$
这里是问题的关键所在：
多解性 (Multisolution): 对于一个给定的笛卡尔空间目标，通常存在多个不同的关节角度组合可以实现它。想象一下你的手臂，你可以用不同的姿势伸出手指碰到同一个点。
奇异点 (Singularities): 在某些关节配置下，机械臂会达到奇异点。在奇异点附近，即使末端执行器发生微小的位置变化，所需的关节角度变化也可能是巨大的，甚至是不可能实现的。这会导致雅可比矩阵（用于速度和力学分析）的秩亏损。
关节限制 (Joint Limits): 每个关节都有其物理允许的运动范围。无论笛卡尔空间规划的步长多小，最终都要转化为关节的运动，而关节的运动必须在这些限制之内。
4. 笛卡尔空间规划的“小步长”的本质
当你声称在笛卡尔空间规划的步长足够小时，你实际上是在做以下事情：
1. 在笛卡尔空间中定义一个连续的路径： 例如，从点 A $(x_A, y_A, z_A)$ 到点 B $(x_B, y_B, z_B)$，你可能将这段路径离散化成许多小的笛卡尔坐标点 $P_1, P_2, ..., P_N$。
2. 为每个笛卡尔点计算逆运动学解： 对于每一个笛卡尔点 $P_i = (x_i, y_i, z_i, ext{orientation}_i)$，你需要调用逆运动学求解器来找到对应的关节角度组合 $( heta_{i,1}, heta_{i,2}, ..., heta_{i,n})$。
5. 为什么仍需要关节空间规划（或考虑关节空间因素）
即使笛卡尔空间步长很小，仅仅确保末端执行器在笛卡尔空间中移动平滑和精确是不够的，原因如下：
关节空间的路径连续性和可行性：
解的选择： 逆运动学存在多解性。如果你选择的关节空间解在连续的笛卡尔点之间是不连续的（例如，从一个笛卡尔点对应的第一个关节解跳到另一个笛卡尔点对应的第二个关节解），那么机械臂在关节空间中的运动就会发生突兀的跳变，这可能导致：
关节速度过高： 即使笛卡尔速度很小，关节速度也可能瞬间变得非常大，超过关节的驱动能力，或者导致机械臂剧烈抖动。
机械臂自碰撞或与环境碰撞： 不连续的关节路径可能导致机械臂以意想不到的方式弯曲，从而发生碰撞。
奇异点规避： 某些笛卡尔路径可能会使机械臂靠近或进入奇异点。即使步长很小，在奇异点附近微小的笛卡尔变化也可能导致关节速度无限大。关节空间的规划需要能够检测并避开这些区域。
关节限制的遵守： 每个笛卡尔点都必须能被逆运动学映射到一个在关节限制内的解。如果一个笛卡尔点无法在任何合法的关节配置下实现，那么这个点就是不可达的。笛卡尔空间规划可能不知道这一点，直到它尝试进行逆运动学计算。
计算效率和实时性：
反复的逆运动学计算： 在笛卡尔空间中以非常小的步长进行规划意味着需要计算大量的逆运动学解。逆运动学求解通常是计算密集型的，尤其是对于复杂的机械臂或需要实时响应的应用。
雅可比矩阵的使用： 许多高级运动规划算法会利用雅可比矩阵来处理笛卡尔速度和关节速度之间的关系。即使你设定了小的笛卡尔步长，雅可比矩阵的计算和分析（例如，检测奇异性、计算关节速度）仍然发生在关节空间层面。
轨迹的“平滑度”在关节空间定义： 真正的“平滑运动”是发生在关节空间上的。一个在笛卡尔空间中看起来平滑的直线运动，在关节空间中可能是一个非常复杂的曲线，反之亦然。用户通常更关心的是关节的平稳运行，而不是末端执行器在笛卡尔空间中的绝对平滑。
6. 如何在实践中结合两者
笛卡尔空间规划 + 关节空间验证/修正： 这是最常见的方法。
1. 在笛卡尔空间中生成一个路径（例如，直线、圆弧）。
2. 将该路径离散化成一系列笛卡尔位姿点。
3. 对于每个位姿点，使用逆运动学计算对应的关节角度。
4. 在此过程中，选择与前一个关节配置最接近的逆运动学解，以保证关节空间的连续性。
5. 检查计算出的关节角度是否超出关节限制。
6. 在这些关节角度序列上，使用关节空间插值方法（如多项式插值、样条插值）生成平滑的关节轨迹。
7. 评估关节速度、加速度是否在允许范围内。
8. 检查关节轨迹在奇异点附近的表现。 如果发现问题，可能需要调整笛卡尔路径，或者使用更复杂的逆运动学方法（如阻抗控制、基于优化的方法）。
关节空间直接规划： 对于某些应用，直接在关节空间中规划路径可能更有效率和鲁棒性，尤其是当末端执行器的笛卡尔路径不是主要约束时。你可以规划一个关节轨迹，然后通过正运动学计算出末端执行器的笛卡尔路径。
混合方法： 一些高级算法可能会在规划过程中同时考虑两个空间的信息，或者使用基于优化的方法，同时优化笛卡尔路径和关节轨迹，以满足各种约束。
总结
即使笛卡尔空间规划的步长足够小，确保了末端执行器在笛卡尔空间中的“局部”平滑，但它并不能自动保证：
逆运动学解的选择是连续的。
机械臂不会进入奇异点。
关节角度不会超出限制。
关节速度不会过大。
这些都是在关节空间层面需要被显式处理的问题。因此，笛卡尔空间规划的“小步长”需要与关节空间中的逆运动学计算、解选择、约束检查以及轨迹平滑化紧密结合，才能生成一个实际可行且安全的机械臂运动。笛卡尔空间规划的步长小，只是使这个问题更容易解决，因为它限制了每次需要解决的逆运动学问题之间的“距离”，从而更容易找到连续的关节解。
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