怎么通俗地理解张量？

想象一下，咱们平时打交道的东西，有些是很简单的，有些就稍微复杂点。张量，就像是数学里的一个万能工具箱，能把这些不同复杂程度的东西都统一起来说。

咱们一步一步来拆解，别急哈。

第一步：从最简单的开始——标量 (Scalar)

你手里拿个苹果，就一个苹果，对吧？这就算是个标量。它只有一个数字就能完全描述它。比如，“温度是25度”，这个“25”就是个标量。它只有大小，没有方向。

你可以把它想象成一个单独的数字，就像你数数的时候用到的那些数字一样。

第二步：稍微复杂一点——向量 (Vector)

你想去朋友家，你得告诉他你走了多远，往哪个方向走。比如，“我走了50米，往北偏东30度”。这里面有两个信息：距离（50米）和方向（北偏东30度）。

这就是向量。它不仅有大小，还有方向。在数学里，我们可以用一个箭头来表示向量，箭头的长短代表大小，箭头的指向代表方向。

你也可以把向量想象成一串有序的数字。比如，在二维平面上，一个点的位置可以用 (x, y) 来表示，这就是一个二维向量。如果你在三维空间，那么 (x, y, z) 就是一个三维向量。

生活中的例子：
你在地图上输入一个目的地，导航系统会告诉你“向前走100米，然后右转”。这里的“100米”和“右转”组合起来，就是一个方向和距离的描述，是向量。
你推一个箱子，你需要用力（大小）并且是往某个方向推（方向），这股力就是向量。

第三步：再复杂一点——矩阵 (Matrix)

现在，咱们不是只在一个方向上运动了。比如你想描述一个屏幕上每个像素的颜色。屏幕是个平面，每个像素都有红、绿、蓝三个颜色分量。你如果想描述整个屏幕的颜色信息，光用一个向量就不够了。

矩阵就像是一个“表格”或者“二维数组”。它可以是多行多列的数字排列。

你可以把它想象成一个表格，每一行每一列都有数据。矩阵可以表示很多数据之间的“关系”。

生活中的例子：
排座位表：学校操场上开运动会，按班级和座位排座位，就是一个典型的矩阵。每一行代表一个班级，每一列代表座位号。
电子表格：你用Excel做的那个表格，记录学生成绩，每个学生一行，每门课一列，这就是一个矩阵。
图像的像素信息：一个黑白图像，你可以看作是一个由0和1组成的矩阵，每个数字代表像素的亮度。一个彩色图像，你可以把它看作是三个这样的矩阵（红、绿、蓝通道）堆叠起来。

那么，张量 (Tensor) 到底是什么？

张量，就是比矩阵更一般化的“表格”。

标量是0阶张量：它没有维度，就是一个单独的数字。
向量是1阶张量：它有一个方向，可以看作是一维的数字序列。
矩阵是2阶张量：它有两个方向，就像一个二维的表格。

张量就是可以有任意多个“方向”或者说“维度”的数字集合。

你可以把张量想象成一个“多维数组”。

一维张量 (向量)：一串数字 `[1, 2, 3]`
二维张量 (矩阵)：一个表格 `[[1, 2], [3, 4]]`
三维张量：你可以想象成一叠表格，或者一个立方体里装满了数字。比如，如果你要描述一个视频，视频每一帧都是一个图像（二维的像素信息），视频本身是时间序列的（一维的“帧”序号）。所以，一个视频就可以用一个三维张量来表示：第一个维度代表时间（帧），第二个维度代表图像的行，第三个维度代表图像的列（或者红绿蓝三个颜色通道）。
具体点说：想象一下你把一摞扑克牌放在一起。每一张扑克牌就是一个二维的矩阵（比如它的图案和颜色），而这一摞牌本身，就形成了一个三维的张量。
更高维度的张量：我们可以继续想象下去。四维张量呢？你可以想象成一箱扑克牌，每一箱都有很多张牌（三维张量），而这一箱就是四维张量。

为什么要引入张量这个概念？

1. 统一性：张量提供了一个统一的框架来描述各种类型的数据。无论是简单的温度值（标量），还是复杂的图像、视频、声音信号，都可以用不同阶数的张量来表示。

2. 灵活性：当我们需要处理的数据变得越来越复杂，维度也越来越多时，张量就显得尤为重要。比如在深度学习领域，处理的是图像、语音、文本等高维数据，张量就是最基本的数据结构。

3. 统一的运算规则：张量不仅仅是数据的容器，更重要的是，我们可以对张量进行各种各样的数学运算，比如加法、乘法、转置、求逆等等。这些运算规则在不同维度的张量上是兼容的，这使得我们可以用一套数学语言来描述和处理各种复杂的数据变化。

更生活化的比喻：

想象一下，你在一个大仓库里找东西。

标量：你直接报出货架号“第5层第3号架子上的那个红箱子”。这个描述只需要一个明确的位置信息（比如层数）。
向量：你想去朋友家，需要知道“走多远”（距离）和“往哪个方向走”（方向）。这是两个维度的信息。
矩阵：你在仓库里找一个具体的货物，这个货物可能放在一个二维的货架上，你需要知道“在哪一排”（行）和“在哪一列”（列）。
张量：现在你找的不是一个普通的箱子，而是一个需要精确定位的集装箱。这个集装箱可能停在码头的一个泊位（第一个维度），这个泊位上有好几层集装箱堆叠（第二个维度），每个集装箱里面又有很多隔间（第三个维度），每个隔间里放着具体的货物（第四个维度）。你需要一系列的坐标来精确定位你想要的东西。

张量就像是这样一个可以包含很多层级、很多维度的“坐标系统”，让我们可以非常精确地描述和处理越来越复杂的数据。

在很多领域，尤其是人工智能和机器学习，我们处理的数据往往是高维的，比如一张彩色图片可以看作是“高 x 宽 x 颜色通道”（三维张量），一个视频就是“帧数 x 高 x 宽 x 颜色通道”（四维张量）。张量提供了一种天然的方式来组织和操作这些数据。

所以，简单来说，张量就是一种多维的数据容器，它能够以一种统一且灵活的方式来表示从最简单的数字到最复杂的数据结构。它不是什么神秘莫测的东西，而是我们为了更方便地描述和处理更复杂的世界而创造出来的数学工具。

网友意见

如果一个物理量，在物体的某个位置上只是一个单值，那么就是普通的标量，比如密度。如果它在同一个位置、从不同的方向上看，有不同的值，而且这个数恰好可以用矩阵乘观察方向来算出来，就是张量，比如物体的内应力、转动惯量。

讲的非常赞，思路清晰、通俗易懂。

对于不能翻墙的同学，我做个大致的内容摘要（多图）。

两点说明：

1、本人非数学物理专业出身……这方面也没深入研究过，所以一些翻译用词可能不当，欢迎批评指正~

2、可能前半部分有点啰嗦，主要是觉得视频太有爱了，不忍心删掉就都放上来了。

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Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? ）

于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。

想要了解张量（Tensor），首先需要对向量（Vector）有一个清晰的了解。

在我们的课本中，向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度，箭头的指向表示方向。

此外，向量还可以用来表示一个平面，表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向（法线方向）。

这么看来，向量可以表示很多东西：表示力、速度甚至平面，不过仔细想想向量也只表示了幅度（magnitude）与方向（direction）两个要素而已。

还有很多物理量用向量是没法表示的（后面会提到），向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的，你猜对了，这个更广泛的方法就是张量（Tensor）。

为了更好的解释张量是什么，有两个概念需要先搞清楚：分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors）。

为了搞清楚这个两个概念，我们要引入坐标系……

这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）

说道坐标系，就一定要想到坐标系的基向量（coordinate basis vector）也称作unit vector，我们用这个小箭头来表示基向量。

基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。

基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。

在这个坐标系中，在x,y,z轴方向分别有三个基向量。

现在我们有了坐标系（coordinate system）与基向量（basis vector），接下来可以确定分量（components）了。

在这个例子中，那个大箭头向量由4个x基向量，3个y基向量与0个z基向量构成。

所以我们可以用4个x，3个y，0个z来表示那个大箭头向量。

大箭头可以拿走了，现在只需要3个数字（方块，注意方块上写着数字）与3个基向量（小箭头），我们就可以完全还原出大箭头的信息了。

如果大家默认使用同一套基向量，那么基向量（小箭头）都不需要了，我们只需要4,3,0这三个数字（方块）就可以表示那个向量。

这三个数字（方块）就是向量的分量（components）。

此时，想要表示一个向量，只要给定这三个分量即可，它们怎么排列都可以，你也可以把他们立起来。

如果加上两个括号，这就是我们在书上经常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）

总结一下，刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量（components）与3个基向量（basis vector）表示。

（插一句：请原谅到此为止都讲的内容都是高中知识……因为很有爱啊~下面即将进入正题）

推广一下，对于一个向量A来说，我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量，分别对应向量A在x,y,z基向量方向上的分量。

注意每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成（one basis vector per component），所以向量也称为1阶张量（Tensors of rank 1）。

相应的，标量（scalar）也称为0阶张量（Tensors of rank 0），因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。

下面来看更高阶的张量。

这是一个在3维空间中的2阶张量。

回顾一下，向量有3个基向量与3个分量。

而现在这里有9个基向量（那些小箭头）与9个分量（那些方块）。

注意现在每个分量有两个下标（例：Axy），而不是之前的一个了。

为什么要用两个下标呢？考虑这个例子：固体物体中某点的受力情况。

想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组（3个）基向量；

在每个平面上又有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组（3个）基向量与之组合。

于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。

如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标（index）来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

例：Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。

继续进一步，这是一个3维空间中的3阶张量。

这个张量有27个基向量与27个分量。

现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有3*3*3=27个，故共有27组基向量（见桌子上那3堆箭头方阵），不同基向量对应一个分量（那堆方块）。

现在可以做一个总结了，什么是张量以及为什么张量这么有用呢？

张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combination of basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。

此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。

考虑到张量有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，Lillian R. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of the universe.

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