怎么通俗地描述非欧几何？
你有没有想过，我们平时生活的世界，是不是真的像数学书里说的那样，“两点之间直线最短”？或者，你有没有想过，一条线，比如铁路轨道，它一直向前延伸，最终会不会在某个遥远的地方“汇合”？
在我们习以为常的“欧几里得几何”里，答案都是否定的。欧几里得几何就像我们最熟悉的地图，它告诉我们，在平坦的地面上，直线就是直线，两条平行的线永远不会相交，三角形的三个内角加起来永远是180度。这种几何学很好地描述了我们眼睛所见的，日常生活中遇到的很多事情。
但是，如果把我们的“地面”换成一个球体，比如一个大大的地球，情况就开始变得有趣起来。想象一下，你在地球的北极点，然后向南走一条直线，接着向东走一条直线，再向北走一条直线，恰好回到了北极点。你走了三段“直线”，在北极点那个地方，你向南走的那段路和最后向北走的那段路，其实是在同一个方向上的，而你向东走的那段路，在北极点的时候，与南北走向的这两条线形成的角度，会是多少呢？如果你在北极点，然后向南走一段，再向东走一段，再向北走一段，正好回到北极点，那么在北极点，你向南走的路线和向北走的路线是重合的，而你向东走的路线，与这两条重合的路线形成的角度，实际上是360度（因为你绕了一圈）。这时候，你所走的这三段“直线”（在球面上，我们称之为“测地线”），构成了一个三角形。你想想看，这个三角形的三个内角加起来，会是180度吗？
别忘了，你是在一个球面上！想象一下，你从北极点出发，沿着一条经线往南走，然后到了赤道，再沿着一条纬线往东走一段，最后再沿着另一条经线往北走，刚好回到北极点。你走了三条“直线”，那么这三条线在球面上形成的“三角形”，它的三个角加起来，很可能就会比180度大！比如说，你往南走，然后往东走，再往北走，这不就相当于在赤道上走了一个扇形的一部分吗？那个扇形在球心那里是有一个角度的。
这就是非欧几何的神奇之处。它不再拘泥于“平坦”的概念。非欧几何就像是把我们的“地图”从平坦的纸面，换成了有弧度的表面，比如球体，或者更抽象的，具有其他曲率的空间。
在非欧几何的世界里，我们不再默认“平行线永不相交”。想象一下，你沿着两条非常非常长的、相互平行的铁路轨道（在平坦的地面上）走，它们永远不会碰头。但是，如果这些轨道是在一个球面上呢？比如，你沿着两条经线（它们在赤道上看起来是平行的）一直往南走，走到南极点，它们就会汇合了！所以，在球面几何里，“平行线”是可以相交的。
还有另一种非欧几何，叫做“双曲几何”。这种几何的“地面”不像球面那样向内弯曲，而是向外弯曲，就像一个马鞍面。在这种奇特的空间里，我们熟悉的很多规则都要改变。比如，过直线外一点，可以作无数条不过该点的直线，它们都不会与已知直线相交（也就是“平行线”非常多）。而且，在双曲几何里，三角形的三个内角加起来，会小于180度。
所以，简单来说，非欧几何就是脱离了我们日常生活中那个“平坦”的想象，去探索那些“不平坦”的空间里的数学规律。这些“不平坦”的空间，可能是向上弯曲的（球面几何），也可能是向下弯曲的（双曲几何）。在这些不同的空间里，虽然有些规则变了，比如“平行线的性质”、“三角形内角和”，但依然有自己内在的、严谨的逻辑。
你可能会问，这有什么用呢？其实，虽然我们日常生活中觉得欧几里得几何足够用，但当科学家们研究宇宙的时候，发现宇宙本身可能并不是一个完全平坦的空间，它充满了各种引力场，这些引力场会让空间发生弯曲。爱因斯坦的广义相对论，就使用了非欧几何的语言来描述引力，以及时空的弯曲。所以，非欧几何不仅仅是数学家们的抽象游戏，更是我们理解现实世界，尤其是宇宙奥秘的重要工具。它告诉我们，我们对“空间”的理解，可以比我们想象的更丰富，更辽阔。
在我们习以为常的“欧几里得几何”里，答案都是否定的。欧几里得几何就像我们最熟悉的地图，它告诉我们，在平坦的地面上，直线就是直线，两条平行的线永远不会相交，三角形的三个内角加起来永远是180度。这种几何学很好地描述了我们眼睛所见的，日常生活中遇到的很多事情。
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这就是非欧几何的神奇之处。它不再拘泥于“平坦”的概念。非欧几何就像是把我们的“地图”从平坦的纸面，换成了有弧度的表面，比如球体，或者更抽象的，具有其他曲率的空间。
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还有另一种非欧几何，叫做“双曲几何”。这种几何的“地面”不像球面那样向内弯曲，而是向外弯曲，就像一个马鞍面。在这种奇特的空间里，我们熟悉的很多规则都要改变。比如，过直线外一点，可以作无数条不过该点的直线，它们都不会与已知直线相交（也就是“平行线”非常多）。而且，在双曲几何里，三角形的三个内角加起来，会小于180度。
所以，简单来说，非欧几何就是脱离了我们日常生活中那个“平坦”的想象，去探索那些“不平坦”的空间里的数学规律。这些“不平坦”的空间，可能是向上弯曲的（球面几何），也可能是向下弯曲的（双曲几何）。在这些不同的空间里，虽然有些规则变了，比如“平行线的性质”、“三角形内角和”，但依然有自己内在的、严谨的逻辑。
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网友意见
通俗么……
拿出世界地图，在上海和巴黎间画条直线。
如果你沿这条线走，会发现自己绕了远路。
先北上再南下，途径莫斯科的线竟然更短。
这就是球面几何，非欧几何的一种。
直线的定义仍是两点间的最短路线。
但经过南北两极可以有无数条直线。
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