线性代数里面的矩阵是不是向量？假如是的话，为什么感觉这样的向量和几何里的向量有点不一样？
在数学的世界里，我们经常会听到“向量”这个词，它在几何学、物理学乃至我们今天要聊的线性代数中都扮演着至关重要的角色。但当我们在线性代数中谈论“矩阵”时，一个有趣的问题就浮现了：矩阵是不是向量？如果答案是肯定的，为什么它们感觉上又和我们熟悉的几何向量有些不同？
要深入探讨这个问题，我们得先理清几个核心概念。
什么是向量？
如果我们从最直观的几何角度来看待向量，它通常被描述为一个有方向和大小的量。你可以把它想象成一把从原点出发指向某个点的箭头。这个箭头的位置、长度以及它指向的方向共同定义了一个向量。我们经常用字母上加箭头（比如 $vec{v}$）或者粗体字母（比如 v）来表示它。
在几何中，一个二维向量可以表示为一对有序的数字 $(x, y)$，代表它在 x 轴和 y 轴上的投影长度。同理，一个三维向量就是 $(x, y, z)$。这些数字就是向量的“分量”。
向量空间：更广阔的视角
线性代数则为我们提供了一个更抽象、更普适的“向量”定义。在数学中，我们称满足某些特定规则（称为向量空间的公理）的“元素”为向量。这些规则保证了我们可以在这些元素上进行“加法”和“数乘”运算，并且这些运算的行为方式与我们熟悉的数字加减乘除类似。
举个例子：
几何向量（有序的数字组）： 我们上面提到的 $(x, y)$ 或者 $(x, y, z)$ 这样的有序数组，它们确实满足向量空间的公理。你可以把两个二维向量相加：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$。你也可以用一个数去乘向量：$c(x, y) = (cx, cy)$。这些操作都符合线性代数的规则。
多项式： 你有没有想过，多项式也是向量？例如，$P(x) = 3x^2 + 2x 1$ 就可以看作一个向量。两个多项式相加，结果还是一个多项式。一个数乘一个多项式，结果仍然是一个多项式。它们共同构成了一个多项式向量空间。
函数： 甚至某些函数也可以被看作是向量。比如，定义在某个区间上的连续函数，它们之间可以相加，也可以被标量（实数或复数）数乘，并且结果仍然是这个区间上的连续函数。
所以，从这个更抽象的角度来看，几何中的向量只是线性代数中“向量”这个概念的一个具体实例。
那么，矩阵呢？矩阵是不是向量？
答案是：是的，在很多情况下，矩阵可以被看作是向量。
这可能会让你感到惊讶，因为我们直观上觉得矩阵是二维的（或者更高维的数组），而几何向量通常是“一维”的（即一个有序的数字序列）。但是，当我们从线性代数的角度审视矩阵时，我们会发现它们也具备成为向量的必要条件。
为什么矩阵可以被看作是向量？
关键在于“向量空间的构成元素”。
1. 有序的元素集合： 一个 $m imes n$ 的矩阵，本质上是一个包含 $m imes n$ 个元素的有序集合，这些元素通常是数字（实数或复数）。我们可以将这个 $m imes n$ 的矩阵“拉平”，变成一个长度为 $m imes n$ 的长向量。
例如，一个 $2 imes 3$ 的矩阵：
$$
A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} end{pmatrix}
$$
可以被看作是一个长度为 $2 imes 3 = 6$ 的向量：
$$
mathbf{v}_A = (a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})
$$
这里的维度是 $m imes n$。
2. 加法运算： 两个相同大小的矩阵，它们对应的元素相加，得到一个新的矩阵。如果我们把矩阵看作“拉平”后的向量，那么两个向量的对应元素相加，就如同我们对“拉平”后的向量进行逐元素相加一样。
如果 $A$ 和 $B$ 是 $m imes n$ 的矩阵，那么 $A+B$ 的 $(i, j)$ 元素是 $a_{ij} + b_{ij}$。这与将它们看作长度为 $mn$ 的向量后进行相加是完全一致的。
3. 数乘运算： 用一个标量乘以一个矩阵，是矩阵的每一个元素都乘以这个标量。这同样与将矩阵视为“拉平”后的向量，然后对这个向量进行数乘操作是一致的。
所以，线性代数中的“向量空间”可以由很多不同类型的对象构成，包括：
Rn 空间： 这是最常见的向量空间，由 $n$ 个实数组成的有序数组（即 $n$ 维向量）构成。
Mm×n 空间： 这是由所有 $m imes n$ 的实数矩阵构成的空间。在这个空间里，每一个 $m imes n$ 的矩阵都可以被视为一个“向量”。这个向量的“维度”是 $m imes n$。
为什么感觉矩阵向量与几何向量不一样？
尽管矩阵可以被视为向量，但它们给我们的感觉不同，主要有以下几个原因：
1. 维度和结构的可视化：
几何向量： 我们习惯于将二维向量 $(x, y)$ 看作平面上的一个箭头，或者三维向量 $(x, y, z)$ 看作空间中的一个箭头。这种几何直观性非常强，很容易理解它们的方向和大小。
矩阵： 一个 $m imes n$ 的矩阵，尽管在数学上可以“拉平”成一个 $mn$ 维的向量，但在我们眼中，它仍然保持着其“二维表格”的结构。我们更容易从“表格”的角度去理解它所代表的数据（比如一个数据集、一个变换的系数等），而不是把它想象成一个高维空间中一个指向特定方向的箭头。当我们说一个 $2 imes 3$ 的矩阵时，我们想到的是一个有两行三列的表格，而不是一个六维空间中的箭头。
2. “箭头”的几何意义减弱：
几何向量的“箭头”含义直接对应了方向和位移。
矩阵作为向量时，“箭头”的直接几何意义变得不那么直观。虽然一个矩阵可以被“拉平”成一个长向量，但这个长向量所处的空间（例如，一个 $2 imes 3$ 矩阵对应一个 6 维空间）通常没有我们熟悉的物理空间那样直观的几何解释。我们更多地是将其理解为某种线性变换的表示，或者数据的某种组织方式。
3. 操作的侧重点不同：
在几何中，我们更多地关注向量的长度（模）和方向，以及它们如何组合（向量加法、点乘）。
在线性代数中，我们不仅关注矩阵作为向量时的加法和数乘，更重要的是矩阵乘法。矩阵乘法代表了线性变换的复合，或者方程组的求解。虽然我们可以将矩阵拉平后用向量的某些运算来模拟矩阵的加法和数乘，但矩阵乘法并没有一个简单的“拉平向量”的乘法直接对应。矩阵乘法是在它们各自的“结构化”形式下进行的。
4. 作为“线性变换”的身份：
矩阵最核心、最独特的身份之一是它作为线性变换的表示。一个 $m imes n$ 的矩阵可以描述如何将一个 $n$ 维向量映射到一个 $m$ 维向量。这种“变换”的观念在我们看待几何向量时是不存在的（几何向量本身就是变换的结果，而不是变换本身）。
当我们将矩阵视为向量时，我们实际上是在一个“变换空间”（例如，所有 $m imes n$ 矩阵构成的空间）中讨论这些“变换对象”。这个空间中的向量，就是矩阵本身。在这个空间里进行加法和数乘，实际上是在讨论如何组合或缩放这些线性变换。
总结一下：
从线性代数的定义来看，矩阵是向量的。 它们是构成线性代数中特定向量空间（即矩阵空间）的元素。它们支持向量加法和数乘运算，符合向量空间的公理。
区别在于我们对它们的“直观感受”和“主要用途”。 几何向量因其直观的几何意义（箭头）而易于理解方向和大小。矩阵虽然在数学上可以被视为长向量，但其二维表格结构和作为线性变换的强大表示能力，使得我们更多地从数据结构或变换的角度来理解它们，而不是将其简单地等同于一个高维空间中的几何箭头。
所以，你可以这样理解：“向量”是一个更广泛、更抽象的数学概念，而矩阵是这个概念在特定数学结构（矩阵空间）中的一个具体体现。 它们就像一个工具箱里的不同工具，虽然都可以被归类为“工具”，但各自有其独特的形状、用途和操作方式。当我们说矩阵是向量时，我们是在强调它们在形式上满足向量的数学定义，能够参与向量加法和数乘运算；当我们感觉它们不同时，我们是在感知它们作为数据结构和线性变换所带来的独特属性和应用。
要深入探讨这个问题，我们得先理清几个核心概念。
什么是向量？
如果我们从最直观的几何角度来看待向量，它通常被描述为一个有方向和大小的量。你可以把它想象成一把从原点出发指向某个点的箭头。这个箭头的位置、长度以及它指向的方向共同定义了一个向量。我们经常用字母上加箭头（比如 $vec{v}$）或者粗体字母（比如 v）来表示它。
在几何中，一个二维向量可以表示为一对有序的数字 $(x, y)$，代表它在 x 轴和 y 轴上的投影长度。同理，一个三维向量就是 $(x, y, z)$。这些数字就是向量的“分量”。
向量空间：更广阔的视角
线性代数则为我们提供了一个更抽象、更普适的“向量”定义。在数学中，我们称满足某些特定规则（称为向量空间的公理）的“元素”为向量。这些规则保证了我们可以在这些元素上进行“加法”和“数乘”运算，并且这些运算的行为方式与我们熟悉的数字加减乘除类似。
举个例子：
几何向量（有序的数字组）： 我们上面提到的 $(x, y)$ 或者 $(x, y, z)$ 这样的有序数组，它们确实满足向量空间的公理。你可以把两个二维向量相加：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$。你也可以用一个数去乘向量：$c(x, y) = (cx, cy)$。这些操作都符合线性代数的规则。
多项式： 你有没有想过，多项式也是向量？例如，$P(x) = 3x^2 + 2x 1$ 就可以看作一个向量。两个多项式相加，结果还是一个多项式。一个数乘一个多项式，结果仍然是一个多项式。它们共同构成了一个多项式向量空间。
函数： 甚至某些函数也可以被看作是向量。比如，定义在某个区间上的连续函数，它们之间可以相加，也可以被标量（实数或复数）数乘，并且结果仍然是这个区间上的连续函数。
所以，从这个更抽象的角度来看，几何中的向量只是线性代数中“向量”这个概念的一个具体实例。
那么，矩阵呢？矩阵是不是向量？
答案是：是的，在很多情况下，矩阵可以被看作是向量。
这可能会让你感到惊讶，因为我们直观上觉得矩阵是二维的（或者更高维的数组），而几何向量通常是“一维”的（即一个有序的数字序列）。但是，当我们从线性代数的角度审视矩阵时，我们会发现它们也具备成为向量的必要条件。
为什么矩阵可以被看作是向量？
关键在于“向量空间的构成元素”。
1. 有序的元素集合： 一个 $m imes n$ 的矩阵，本质上是一个包含 $m imes n$ 个元素的有序集合，这些元素通常是数字（实数或复数）。我们可以将这个 $m imes n$ 的矩阵“拉平”，变成一个长度为 $m imes n$ 的长向量。
例如，一个 $2 imes 3$ 的矩阵：
$$
A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} end{pmatrix}
$$
可以被看作是一个长度为 $2 imes 3 = 6$ 的向量：
$$
mathbf{v}_A = (a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})
$$
这里的维度是 $m imes n$。
2. 加法运算： 两个相同大小的矩阵，它们对应的元素相加，得到一个新的矩阵。如果我们把矩阵看作“拉平”后的向量，那么两个向量的对应元素相加，就如同我们对“拉平”后的向量进行逐元素相加一样。
如果 $A$ 和 $B$ 是 $m imes n$ 的矩阵，那么 $A+B$ 的 $(i, j)$ 元素是 $a_{ij} + b_{ij}$。这与将它们看作长度为 $mn$ 的向量后进行相加是完全一致的。
3. 数乘运算： 用一个标量乘以一个矩阵，是矩阵的每一个元素都乘以这个标量。这同样与将矩阵视为“拉平”后的向量，然后对这个向量进行数乘操作是一致的。
所以，线性代数中的“向量空间”可以由很多不同类型的对象构成，包括：
Rn 空间： 这是最常见的向量空间，由 $n$ 个实数组成的有序数组（即 $n$ 维向量）构成。
Mm×n 空间： 这是由所有 $m imes n$ 的实数矩阵构成的空间。在这个空间里，每一个 $m imes n$ 的矩阵都可以被视为一个“向量”。这个向量的“维度”是 $m imes n$。
为什么感觉矩阵向量与几何向量不一样？
尽管矩阵可以被视为向量，但它们给我们的感觉不同，主要有以下几个原因：
1. 维度和结构的可视化：
几何向量： 我们习惯于将二维向量 $(x, y)$ 看作平面上的一个箭头，或者三维向量 $(x, y, z)$ 看作空间中的一个箭头。这种几何直观性非常强，很容易理解它们的方向和大小。
矩阵： 一个 $m imes n$ 的矩阵，尽管在数学上可以“拉平”成一个 $mn$ 维的向量，但在我们眼中，它仍然保持着其“二维表格”的结构。我们更容易从“表格”的角度去理解它所代表的数据（比如一个数据集、一个变换的系数等），而不是把它想象成一个高维空间中一个指向特定方向的箭头。当我们说一个 $2 imes 3$ 的矩阵时，我们想到的是一个有两行三列的表格，而不是一个六维空间中的箭头。
2. “箭头”的几何意义减弱：
几何向量的“箭头”含义直接对应了方向和位移。
矩阵作为向量时，“箭头”的直接几何意义变得不那么直观。虽然一个矩阵可以被“拉平”成一个长向量，但这个长向量所处的空间（例如，一个 $2 imes 3$ 矩阵对应一个 6 维空间）通常没有我们熟悉的物理空间那样直观的几何解释。我们更多地是将其理解为某种线性变换的表示，或者数据的某种组织方式。
3. 操作的侧重点不同：
在几何中，我们更多地关注向量的长度（模）和方向，以及它们如何组合（向量加法、点乘）。
在线性代数中，我们不仅关注矩阵作为向量时的加法和数乘，更重要的是矩阵乘法。矩阵乘法代表了线性变换的复合，或者方程组的求解。虽然我们可以将矩阵拉平后用向量的某些运算来模拟矩阵的加法和数乘，但矩阵乘法并没有一个简单的“拉平向量”的乘法直接对应。矩阵乘法是在它们各自的“结构化”形式下进行的。
4. 作为“线性变换”的身份：
矩阵最核心、最独特的身份之一是它作为线性变换的表示。一个 $m imes n$ 的矩阵可以描述如何将一个 $n$ 维向量映射到一个 $m$ 维向量。这种“变换”的观念在我们看待几何向量时是不存在的（几何向量本身就是变换的结果，而不是变换本身）。
当我们将矩阵视为向量时，我们实际上是在一个“变换空间”（例如，所有 $m imes n$ 矩阵构成的空间）中讨论这些“变换对象”。这个空间中的向量，就是矩阵本身。在这个空间里进行加法和数乘，实际上是在讨论如何组合或缩放这些线性变换。
总结一下：
从线性代数的定义来看，矩阵是向量的。 它们是构成线性代数中特定向量空间（即矩阵空间）的元素。它们支持向量加法和数乘运算，符合向量空间的公理。
区别在于我们对它们的“直观感受”和“主要用途”。 几何向量因其直观的几何意义（箭头）而易于理解方向和大小。矩阵虽然在数学上可以被视为长向量，但其二维表格结构和作为线性变换的强大表示能力，使得我们更多地从数据结构或变换的角度来理解它们，而不是将其简单地等同于一个高维空间中的几何箭头。
所以，你可以这样理解：“向量”是一个更广泛、更抽象的数学概念，而矩阵是这个概念在特定数学结构（矩阵空间）中的一个具体体现。 它们就像一个工具箱里的不同工具，虽然都可以被归类为“工具”，但各自有其独特的形状、用途和操作方式。当我们说矩阵是向量时，我们是在强调它们在形式上满足向量的数学定义，能够参与向量加法和数乘运算；当我们感觉它们不同时，我们是在感知它们作为数据结构和线性变换所带来的独特属性和应用。
网友意见
如果考虑线性空间的话，万物皆可为「向量」。矩阵可以，多项式可以，函数可以，甚至线性空间本身能定义某些运算的话也可以。
所以当然与几何的向量不一样。
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