线性代数到底应该怎么学？
1. 先别急着背公式，理解“这是啥”最重要
很多人一上手就去啃那些矩阵乘法、行列式计算的公式，其实这样很容易迷失。线性代数的核心，其实是围绕着“线性”和“空间”这两个概念展开的。
“线性”是什么意思？ 简单说，就是“一出一进”、“正比例”的这种关系。比如，你花钱买苹果，买的越多，花的钱也越多，而且是成正比的。在数学里，这种关系可以用线性的方程组来描述。我们学习的很多东西，比如向量，就是这种线性的“搬运工”。
“空间”是什么意思？ 别想太复杂，二维平面、三维空间，你熟悉的这些就是空间。线性代数做的，就是研究这些空间里的“点”（向量）怎么组合、怎么变换、有什么规律。
所以，第一步，先摆脱对公式的依赖，多想想概念。 比如，看到一个向量，别只看它那几个数字，想想它在二维平面或三维空间里代表一个“位置”或者一个“方向”。看到矩阵，先别急着乘，想想它可能是一个“变换”，能把一个向量“推”到另一个地方，或者“拉伸”、“旋转”它。
2. 从“人话”开始，再到“数学语言”
线性代数有它自己的一套语言，就是数学符号、公式。但它不是凭空产生的，是用来精确描述我们能理解的几何和代数关系的。
从几何上理解：
向量： 想象一下你家的门牌号，那串数字其实就代表了你在城市这个“空间”里的一个位置。在数学里，向量就像这个位置的“坐标”，它有大小（长度）也有方向。两个向量相加，就像是从起点出发，先走第一条路，再走第二条路，最终的位置。
线性方程组： 想象你在商店买东西，买苹果x个，买香蕉y个，总共花了多少钱，这就可以写成一个方程。如果你有几个这样的购物记录，就构成了一个线性方程组。这些方程组其实就是在描述“空间”里的“直线”或“平面”的交汇点。解方程组，其实就是在找这些交汇点在哪里。
矩阵： 矩阵你可以理解成一个“变形器”。它能把你空间里的一个点（向量）变成另一个点。矩阵乘法，就是连续使用几个“变形器”。矩阵的“秩”是什么？它告诉你这个“变形器”能不能把所有的方向都“推”出来，还是会把某些方向“压扁”到一起。
从代数上理解：
向量空间： 这是一个更抽象的概念，但你可以理解成一个“允许加法和数乘”的点的集合。就像你可以随意把两个苹果放在一起，也可以把一个苹果分成两半，向量空间就是满足这些基本运算规则的“场所”。
线性变换： 刚才说了矩阵是变形器，线性变换就是描述这种变形过程的数学语言。它满足“加法可分”和“数乘可提”的性质。
特征值和特征向量： 这是线性代数里特别有意思的一个概念。想象你对一个物体施加某种“变换”，比如旋转。有些向量在你做这个变换的时候，只是被“拉伸”了，方向不变。这些方向不变的向量，就是特征向量，它们被拉伸的“倍数”，就是特征值。这就像找到了物体在某种变换下的“不变轴”。
我的建议是： 学习过程中，多找一些“可视化”的例子。网上有很多关于向量加法、矩阵变换的动态图，看了这些，你会发现抽象的符号突然变得鲜活起来。
3. 循序渐进，打牢基础
线性代数的学习，就像盖房子，地基不牢，上面怎么盖都容易塌。
从最基础的开始：
向量： 确保你彻底理解向量是什么，怎么加减，怎么数乘。
矩阵： 熟练掌握矩阵的加减、数乘、乘法，理解它们在几何上的意义（比如行变换）。
行列式： 这是判断一个方阵有没有“逆”的重要工具，也和空间体积的缩放有关。理解它的计算方法，但更要理解它的几何意义。
线性方程组： 这是应用最广的，把高斯消元法、LU分解这些都弄明白。
然后进入核心概念：
向量空间和子空间： 理解“张成”、“线性无关”、“基”、“维度”这些概念，它们构成了描述空间的基础。
线性变换： 把它和矩阵联系起来，理解矩阵的“列空间”、“零空间”。
内积空间： 引入“长度”和“角度”的概念，比如正交。
特征值与特征向量： 这是理解线性系统稳定性和行为的关键。
最后是应用和高级主题：
SVD (奇异值分解)： 这个非常有力量，可以用来降维、推荐系统等等。
谱定理： 它是关于对称矩阵的重要理论。
4. 多做题，但不是“题海战术”
做题是检验和巩固理解的最好方法，但关键在于“怎么做”。
理解每道题背后的原理： 别只想着套公式，想想这道题在考察你线性代数的哪个概念？它是关于向量加法的应用？还是矩阵变换的性质？
变着法地做： 同一个知识点，换一种题型，换一种问法，你也能做出来吗？
自己编题： 试着从概念出发，自己设计一些小题目，然后去求解。这个过程能极大地加深你的理解。
编程辅助： 现在的很多库（比如Python的NumPy）都提供了矩阵运算的函数。你可以用代码来验证你手动计算的结果，或者用代码来可视化一些抽象的概念，比如矩阵变换。这能让你在实践中更好地理解理论。
5. 找对学习资源
现在网络上资源很多，选对一个适合你的，能事半功倍。
教材： 很多经典的教材都很不错，比如 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》，或者国内很多高校的优秀教材。选择一本清晰、逻辑性强的。
在线课程： Coursera、edX、B站上有很多优秀的线性代数公开课。很多讲师会将抽象的概念讲得生动有趣，比如3Blue1Brown的“线性代数的本质”系列视频，简直是神作，强烈推荐！
学习小组/论坛： 和同学一起讨论，或者在网上提问，别人的思路和疑问，可能会给你带来新的启发。
6. 保持好奇心和耐心
线性代数确实是一个抽象的学科，有时候会遇到瓶颈。这时候，别灰心。
多问“为什么”： 为什么要有这个概念？它解决了什么问题？
联系实际应用： 线性代数在计算机图形学、机器学习、数据科学、经济学、物理学等领域都有广泛应用。了解这些应用，能让你更有学习的动力。比如，你玩游戏时看到的3D画面，背后的很多操作都是线性代数在“施展拳脚”。
允许犯错： 学习过程中犯错很正常，关键是从错误中学习。
总结一下，学线性代数，我的经验就是：
1. 重概念，轻公式：先理解“是什么”和“为什么”，再记公式。
2. 几何和代数结合：用图形化思维去理解抽象的数学概念。
3. 基础牢固：一步一个脚印，把基础知识打扎实。
4. 练习但不迷信题海：理解每道题背后的原理。
5. 善用资源：视频、教材、论坛都可能成为你的好帮手。
6. 保持耐心和好奇：不要被困难吓倒，多想想它的实际应用。
线性代数真的很有意思，一旦你闯过了这个门槛，你会发现它就像一把钥匙，能帮你打开更多数学和科学的大门。加油！
网友意见
线性代数的核心不是行列式和线性方程组，而是向量空间和线性映射。
这个回答中主要是从向量空间和线性映射的角度讲的，为了保持整体性，我还写了一篇与线性方程组有关的笔记，线代笔记（二）：线性方程组的三种视角，欢迎移步去阅。
另外，欢迎关注我的个人公众号：可乐学人。主要是分享笔记和新知，只愿日拱一卒，进一寸有一寸的欢喜。
以下为原答案，欢迎批评指正。
首先需要明确线性代数的核心不是行列式和线性方程组。
维基百科对线性代数的定义是：线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有向量空间的一般性质。
由此可见，线性代数的核心应该是向量空间和线性映射，而不是大学线代课上着重讲的行列式和线性方程组。
今天分享一下矩阵的两种理解方法，静态上可以理解成多个点的坐标，动态上可以理解成是一个转移矩阵，从而可以延伸出矩阵的两个作用：1. 封装数据，2.线性变换。
整篇文章试图说明以下几个论断，可能有些地方为了理解得更直观而表述得不严谨，如有错误欢迎批评指正。预计阅读时间10分钟，希望大家读完都会有所收获。
1. 线性代数的核心是向量空间和线性映射
2. 矩阵可以用来封装数据，也可以用来进行线性变换
3. 秩是线性变换后向量空间的维度
4. 行列式是线性变换后基向量张成的面积
5. 特征向量是线性变换后仍在同一条直线上的向量，特征值是这些特征向量伸缩的程度
一、铺垫：向量和向量空间
1. 向量的三种表示
向量有三种表示方法，箭头、坐标、头上顶了个箭头的字母。比如定义向量：
2. 向量空间中最重要的是基向量
因为向量可以表示成坐标，所以向量空间简单点可以直接想成是坐标系。
整个向量空间中最重要的向量是基向量。
基向量是可以张成整个向量空间的线性无关的向量，比如二维向量空间中，和就是一组基向量，之前定义的向量就可以由他们两个线性表示出来：
基向量的个数就是向量空间的维度，基向量确定了，向量空间也就确定了。
二、矩阵的静态理解：封装数据
教科书会把重点放在静态角度，用矩阵封装数据，可以简化问题的理解和计算。
1. 剑桥减肥食谱的直观表示
比如剑桥减肥食谱的问题（图片来自复旦大学《经济生活中的数学》课程PPT）：
如果用矩阵和向量封装数据，就可以将问题非常简单非常直观地表述出来，然后直接求就可以了。
2. 图像可以表示成矩阵
再比如，图像是由像素构成的，每个像素都有位置和颜色两个参数。放大一张图片看到的一个个小方块就是像素。
因此，一张像素为的图片就可以存储为一个列，行的矩阵，矩阵中每个元素就是每个像素点的颜色代码。
三、矩阵的动态理解：线性变换
更重要的是将矩阵理解成转移矩阵，也就是说，每个矩阵都对应一个线性变换，可以将一个向量变换为另一个向量。
1. 矩阵的列对应线性变换后的基向量坐标
对向量空间做线性变换等同于对基向量做变换，矩阵的每一列就对应的是线性变换后的基向量坐标。
比如这个例子，
矩阵就将和变换为和，第一列就是的坐标，第二列就是的坐标。
2. 图像处理可以表示成矩阵
再举个例子，简单的图像处理就是将图片进行伸缩或者进行旋转，这实际上就是把每个像素点的位置坐标乘以一个矩阵，得到新的像素点的坐标。
3. 伸缩、旋转和投影
伸缩和旋转是进行同维度的线性变换，也就是说本来是二维的图片，经过变换以后还是二维的。
还有一种常见的线性变换是投影，比如阳光的照射。人是立体的，影子是平面上的，阳光照射就是一个三维到二维的线性变换。
四、秩和行列式
重点来了。将矩阵理解成线性变换，就可以理解一些从静态角度不那么好理解的概念。
1.矩阵的秩就是线性变换后向量空间的维度。
伸缩和旋转矩阵是二维到二维的变换，所以秩就是2，因此是列满秩的。而投影矩阵对空间进行了压缩，所以一定是不满秩的。
比如： 一个两列的矩阵，秩为1，就说明是将原来的二维空间压缩到了一条直线上。
一个三列的矩阵，秩为2，就说明是将原来的三维空间压缩到了一个平面上。
因为矩阵的每一列就是线性变换后的基向量，所以秩也可以定义为“矩阵的列向量张成的空间的维度”。
2.矩阵的行列式就是线性变换后基向量张成的面积。
伸缩和旋转矩阵无非是把本来的正方形变成平行四边形，或者转一转，所以行列式一定不是零。而投影矩阵将空间进行了压缩，变换后的基向量一定存在共线或者共面，所以张成的面积一定是零。
3. 秩、行列式与矩阵可逆的关系
由此可见，秩和行列式都是矩阵的内在性质，都代表了对应的线性变换的特性：
秩代表了线性变换后空间的维度，从而可以判断线性变换是否进行了降维；行列式代表了线性变换后基向量张成的面积，从而刻画了线性变换对空间的伸缩程度。
理解了矩阵的秩和行列式，矩阵可逆不可逆就很好理解了。
二维变换到二维，是可逆的。二维变换到一维，是不可逆的，因为将一个面压缩成一条线可以，反过来将线扩张成原来的面却是不可能的。
换成秩和行列式的语言，高维到低维的变换就相当于压缩了向量空间，所以不满秩，压缩后基向量张成的面积一定是零，所以行列式为零。
于是可以得到以下推论：
矩阵不满秩<=>行列式为零<=>矩阵是降维变换<=>矩阵不可逆
五、特征值和特征向量
1. 特征向量是变换后仍在同一条直线上的向量
特征向量是指线性变换后仍在同一条直线上的向量，特征值则是这些特征向量伸缩的程度。
比如投影到二维的投影矩阵，它的特征向量就是平面上的向量和垂直于平面的向量，对应的特征值分别是和.而其他向量，比如投影以后变成了，方向改变了，所以不是特征向量。
再比如图像的翻转，维基百科上的例子是这样的，很直观，就不赘述了。
2. 特征值为1的特征向量可以反映稳态特征
特征向量有啥用呢？举个简单的例子。
可乐公司目前只生产可口可乐，不生产百事可乐，但是公司想雨露均沾，两种可乐都生产一点，于是计划每年都将可口可乐的20%换成百事可乐。
同时为了保持稳定，每年也都将百事可乐的10%换成可口可乐，不然迟早有一天就只生产百事可乐了。
这个例子可以用矩阵和向量的语言很直观地表示出来，初始时刻的状态用向量表示，变化情况则可以用一个转移矩阵表示：
于是，将右边的转移矩阵乘以左边的初始向量就可以算出计划实施后第一年的状态，以此类推可以算出之后每一年的状态。
用Python简单计算一下：
import numpy as np A = np.array([[0.8,0.1],[0.2,0.9]]) x = np.array([1,0]) for i in range(1, 10): print('第{2}年：[{0:.2f},{1:.2f}]'.format(*np.dot(np.linalg.matrix_power(A,i),x),i)) 输出结果为：
第1年：[0.80,0.20] 第2年：[0.66,0.34] 第3年：[0.56,0.44] 第4年：[0.49,0.51] 第5年：[0.45,0.55] 第6年：[0.41,0.59] 第7年：[0.39,0.61] 第8年：[0.37,0.63] 第9年：[0.36,0.64] 可以看到，结果似乎趋于稳定了。
实际上最终的结果逼近于向量，这个向量叫稳态向量，意味着最终可口可乐和百事可乐的占比分别稳定在三分之一和三分之二。
于是我们可以发现一个有趣的事实：
也就是说，转移矩阵乘以稳态向量，还等于稳态向量。
这不就是特征值和特征向量的定义式吗，稳态向量就是特征向量，1就是特征值。
所以在这个例子中，特征向量的作用就显而易见了：转移矩阵一旦确定，不管初始状态如何，最终都会趋于这个稳态的特征向量。换句话说，特征值和特征向量可以反映矩阵的稳态特征。
3. 特征值之积等于行列式
关于复杂一点的特征值和特征向量，以后有空了再慢慢更新，对于理解线性代数来说，能理解到这两个玩意儿可以描述矩阵的一些性质就够了。
最后再给个小福利，教科书中提到特征值的计算时，会推导出一个结论：特征值之积就等于行列式。
真是让人摸不着头脑，行列式的计算那么复杂，特征值的计算又是另外一套体系，为啥会有这样优美的结论？？！！
用本文中的两句话，或许可以直观感受一下行列式和特征值的内在联系：
第一句：行列式可以刻画线性变换对向量空间的伸缩程度。
第二句：特征值是特征向量伸缩的程度。
欢迎关注我的公众号：可乐学人。公众号中排版会更耐读。
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