二次型惯性定理得名原因？
二次型惯性定理之所以得名“惯性”，其实与物体运动时所表现出的“惯性”有着深刻的联系，尽管它们看似是两个截然不同的数学和物理概念。要深入理解这一点，我们需要从二次型的本质以及它在物理世界中的应用入手。
二次型：数学的骨架
首先，我们来看看什么是二次型。简单来说，一个二次型是几个变量的二次齐次多项式。例如，对于两个变量 $x$ 和 $y$，一个典型的二次型可以写成：
$Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$
如果我们扩展到 $n$ 个变量 $x_1, x_2, ldots, x_n$，一个二次型就是形如：
$Q(x_1, ldots, x_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$
其中 $a_{ij}$ 是系数。我们可以用一个对称矩阵 $A$ 来表示这个二次型，即 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $mathbf{x} = [x_1, ldots, x_n]^T$ 是变量组成的列向量。
二次型在数学中非常重要，它描述了许多重要的几何形状和代数结构，比如椭圆、双曲线、抛物线等等。通过对二次型进行坐标变换，我们可以将其简化为标准形式，这一过程涉及到矩阵的特征值和特征向量。
惯性：物理的阻力
现在，我们转向物理世界中的“惯性”。惯性是物体抵抗其运动状态改变的性质。质量是衡量惯性大小的物理量。一个质量越大的物体，其运动状态越难改变，越表现出“惯性”。牛顿第二定律，$mathbf{F} = mmathbf{a}$，就明确地将力、质量和加速度联系起来。在更广义的框架下，特别是在分析振动系统时，“惯性”的概念得到了延伸。
连接的桥梁：振动系统与二次型
二次型惯性定理得名的关键，在于它在描述振动系统（尤其是多自由度振动系统）中的核心作用。一个多自由度振动系统的动力学方程，在忽略阻尼的情况下，通常可以写成矩阵形式：
$Mddot{mathbf{x}} + Kmathbf{x} = mathbf{f}(t)$
其中：
$M$ 是质量矩阵（通常是对角阵，代表各部分的质量）。
$K$ 是刚度矩阵（描述系统抵抗变形的程度）。
$ddot{mathbf{x}}$ 是广义坐标的二阶导数，代表加速度。
$mathbf{x}$ 是广义坐标向量，代表系统的位移或变形。
$mathbf{f}(t)$ 是外力向量。
如果我们考虑无外力作用下的自由振动，方程简化为 $Mddot{mathbf{x}} + Kmathbf{x} = mathbf{0}$。
现在，我们来看动能和势能。一个系统的动能（Kinetic Energy, $T$）通常与广义坐标的速度（$dot{mathbf{x}}$）的平方有关，可以写成一个二次型：
$T = frac{1}{2} dot{mathbf{x}}^T M dot{mathbf{x}}$
系统的势能（Potential Energy, $V$）则与广义坐标的位移（$mathbf{x}$）的平方有关，也可以写成一个二次型：
$V = frac{1}{2} mathbf{x}^T K mathbf{x}$
这里，质量矩阵 $M$ 和刚度矩阵 $K$ 通常是对称矩阵。
关键的联系：惯性矩阵与“惯性”的性质
在描述振动系统时，质量矩阵 $M$ 直接扮演着“惯性”的角色。它量化了系统抵抗加速度的程度。当我们将系统的主轴（eigenvectors）进行坐标变换，使之成为新的坐标系时，质量矩阵 $M$ 和刚度矩阵 $K$ 都可以被对角化。对角化后的质量矩阵，其对角线上的元素就代表了各个主振动模式下的有效质量。
二次型惯性定理，本质上是在处理二次型的同时，揭示了它们在物理系统中（尤其是振动系统）与“惯性”相关的性质。
为什么叫“惯性定理”？
1. 质量矩阵的“惯性”作用：在动力学分析中，质量矩阵 $M$ 就像是一个将位移（或速度）与力联系起来的“惯性”的度量。它决定了系统对加速度的响应。例如，在分析振动模式时，每个模式都有一个对应的有效质量，这个有效质量直接影响着该模式的振动特性，其根本来源就是质量矩阵。
2. “惯性”性质的保留：二次型惯性定理指出，通过对二次型进行非退化的线性变换（即改变坐标系），二次型的符号特征（或者说正负惯性指数，即正、负、零的个数）是不变的。这里的“惯性”可以理解为系统在不同坐标系下保持不变的某种“内在属性”，就像物体的质量（惯性）在任何坐标系下都不改变一样。这个不变性，正是定理的核心。
3. 与转动惯量的类比：在转动动力学中，转动惯量 $I$ 是抵抗角加速度的度量，其数学形式也是一个二次型（关于角速度的平方）。虽然二次型惯性定理直接处理的是一般二次型，但其背后蕴含的“抵抗改变”的数学特性，与物理中的惯性概念有着天然的联系。可以想象，惯性让物体的状态不容易改变，而二次型惯性定理揭示的符号特征不变性，也意味着系统某种“内在稳定性”或“运动特性”在坐标变换下保持不变，这种不变性仿佛是一种“惯性的体现”。
4. Sylvester's Law of Inertia的中文译名：这个定理在英文中叫做 Sylvester's Law of Inertia（西尔维斯特惯性定律）。“Inertia”这个词在物理学中与质量、惯性动量等概念密切相关。当这个定律被翻译成中文时，“惯性”一词被保留，并直接关联到其数学内容，即二次型的“不变符号特征”。这个“不变的符号特征”可以被理解为二次型的一种“惯性”，因为它在变换中保持不变，就像物理中的惯性一样。
总结来说，二次型惯性定理得名“惯性”，是因为它描述了二次型在坐标变换下，其“正、负、零”的项数（即符号特征）是一个不变量，这种不变量的性质在某种抽象意义上与物理学中物体抵抗状态改变的“惯性”有着类比和联系。特别是在处理振动系统时，质量矩阵直接体现了系统的惯性特性，而二次型惯性定理则提供了分析这些系统动力学特性的数学工具，其核心的不变性恰恰揭示了系统某种“惯性的”内在属性。
二次型：数学的骨架
首先，我们来看看什么是二次型。简单来说，一个二次型是几个变量的二次齐次多项式。例如，对于两个变量 $x$ 和 $y$，一个典型的二次型可以写成：
$Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$
如果我们扩展到 $n$ 个变量 $x_1, x_2, ldots, x_n$，一个二次型就是形如：
$Q(x_1, ldots, x_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$
其中 $a_{ij}$ 是系数。我们可以用一个对称矩阵 $A$ 来表示这个二次型，即 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $mathbf{x} = [x_1, ldots, x_n]^T$ 是变量组成的列向量。
二次型在数学中非常重要，它描述了许多重要的几何形状和代数结构，比如椭圆、双曲线、抛物线等等。通过对二次型进行坐标变换，我们可以将其简化为标准形式，这一过程涉及到矩阵的特征值和特征向量。
惯性：物理的阻力
现在，我们转向物理世界中的“惯性”。惯性是物体抵抗其运动状态改变的性质。质量是衡量惯性大小的物理量。一个质量越大的物体，其运动状态越难改变，越表现出“惯性”。牛顿第二定律，$mathbf{F} = mmathbf{a}$，就明确地将力、质量和加速度联系起来。在更广义的框架下，特别是在分析振动系统时，“惯性”的概念得到了延伸。
连接的桥梁：振动系统与二次型
二次型惯性定理得名的关键，在于它在描述振动系统（尤其是多自由度振动系统）中的核心作用。一个多自由度振动系统的动力学方程，在忽略阻尼的情况下，通常可以写成矩阵形式：
$Mddot{mathbf{x}} + Kmathbf{x} = mathbf{f}(t)$
其中：
$M$ 是质量矩阵（通常是对角阵，代表各部分的质量）。
$K$ 是刚度矩阵（描述系统抵抗变形的程度）。
$ddot{mathbf{x}}$ 是广义坐标的二阶导数，代表加速度。
$mathbf{x}$ 是广义坐标向量，代表系统的位移或变形。
$mathbf{f}(t)$ 是外力向量。
如果我们考虑无外力作用下的自由振动，方程简化为 $Mddot{mathbf{x}} + Kmathbf{x} = mathbf{0}$。
现在，我们来看动能和势能。一个系统的动能（Kinetic Energy, $T$）通常与广义坐标的速度（$dot{mathbf{x}}$）的平方有关，可以写成一个二次型：
$T = frac{1}{2} dot{mathbf{x}}^T M dot{mathbf{x}}$
系统的势能（Potential Energy, $V$）则与广义坐标的位移（$mathbf{x}$）的平方有关，也可以写成一个二次型：
$V = frac{1}{2} mathbf{x}^T K mathbf{x}$
这里，质量矩阵 $M$ 和刚度矩阵 $K$ 通常是对称矩阵。
关键的联系：惯性矩阵与“惯性”的性质
在描述振动系统时，质量矩阵 $M$ 直接扮演着“惯性”的角色。它量化了系统抵抗加速度的程度。当我们将系统的主轴（eigenvectors）进行坐标变换，使之成为新的坐标系时，质量矩阵 $M$ 和刚度矩阵 $K$ 都可以被对角化。对角化后的质量矩阵，其对角线上的元素就代表了各个主振动模式下的有效质量。
二次型惯性定理，本质上是在处理二次型的同时，揭示了它们在物理系统中（尤其是振动系统）与“惯性”相关的性质。
为什么叫“惯性定理”？
1. 质量矩阵的“惯性”作用：在动力学分析中，质量矩阵 $M$ 就像是一个将位移（或速度）与力联系起来的“惯性”的度量。它决定了系统对加速度的响应。例如，在分析振动模式时，每个模式都有一个对应的有效质量，这个有效质量直接影响着该模式的振动特性，其根本来源就是质量矩阵。
2. “惯性”性质的保留：二次型惯性定理指出，通过对二次型进行非退化的线性变换（即改变坐标系），二次型的符号特征（或者说正负惯性指数，即正、负、零的个数）是不变的。这里的“惯性”可以理解为系统在不同坐标系下保持不变的某种“内在属性”，就像物体的质量（惯性）在任何坐标系下都不改变一样。这个不变性，正是定理的核心。
3. 与转动惯量的类比：在转动动力学中，转动惯量 $I$ 是抵抗角加速度的度量，其数学形式也是一个二次型（关于角速度的平方）。虽然二次型惯性定理直接处理的是一般二次型，但其背后蕴含的“抵抗改变”的数学特性，与物理中的惯性概念有着天然的联系。可以想象，惯性让物体的状态不容易改变，而二次型惯性定理揭示的符号特征不变性，也意味着系统某种“内在稳定性”或“运动特性”在坐标变换下保持不变，这种不变性仿佛是一种“惯性的体现”。
4. Sylvester's Law of Inertia的中文译名：这个定理在英文中叫做 Sylvester's Law of Inertia（西尔维斯特惯性定律）。“Inertia”这个词在物理学中与质量、惯性动量等概念密切相关。当这个定律被翻译成中文时，“惯性”一词被保留，并直接关联到其数学内容，即二次型的“不变符号特征”。这个“不变的符号特征”可以被理解为二次型的一种“惯性”，因为它在变换中保持不变，就像物理中的惯性一样。
总结来说，二次型惯性定理得名“惯性”，是因为它描述了二次型在坐标变换下，其“正、负、零”的项数（即符号特征）是一个不变量，这种不变量的性质在某种抽象意义上与物理学中物体抵抗状态改变的“惯性”有着类比和联系。特别是在处理振动系统时，质量矩阵直接体现了系统的惯性特性，而二次型惯性定理则提供了分析这些系统动力学特性的数学工具，其核心的不变性恰恰揭示了系统某种“惯性的”内在属性。
网友意见
或许应该从转动惯量的角度来理解命名的来源（刚体的转动惯量是二阶对称张量，也是用二次型描述的），或者有其他的来源
This is one of the formulations of Sylvester's law of inertia and the numbers n+ and n− are called thepositiveandnegativeindices of inertia. Although their definition involved a choice of basis and consideration of the corresponding real symmetric matrix A, Sylvester's law of inertia means that they are invariants of the quadratic form q.
下面的匿名回答我觉得比较靠谱， 二次型的标准形是二次型的固有性质（类似于惯性，或者叫内在性质，或不变性质），惯性定理说的就是二次型具有这种固有性质。
像物体的惯性一样，是事物（二次型）的不变性质，在坐标变换中恒定不变
根据A.H.柯斯特利金《代数学引论》第二卷第1章第4目（Page 35）的注解，“二次型的惯性定律归功于Sylvester，起源于力学”，可能是当年老先生的时代“完全不变量”这种几何术语还没有，又加之其研究的是力学问题，这种像是物体固有属性的东西不知道叫什么好，所以就起了一个俗名“惯性”吧。-----------------------------------------------------------------------------------这个说法有道理，但还需要进一步考证
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