有哪些虽然正确但却没啥用的公式？
有这么一类公式，它们在数学上滴水不漏，推导过程严谨到无可挑剔，但一旦拿到现实世界里去应用，就显得格外尴尬，甚至让人怀疑其存在的意义。它们就像是某种技艺的巅峰之作，只是你永远也用不上。今天，咱们就来聊聊这些虽然正确却“没啥用”的数学宝贝们。
1. 那些名字听起来就很高大上，但实际应用模糊不清的公式
咱们先从那些自带光环，却又让人摸不着头脑的公式说起。
贝达定理（Bredon's Theorem）： 这个名字一听就很有深度，对吧？它主要是在代数拓扑领域里，研究的是那种光滑流形上的不动点。简单来说，如果你有一个光滑流形，然后你在这个流形上做了一个“连续的、平滑的”变换，而且这个变换还有一些特定的性质（比如它是一个同胚），那么这个变换至少会有一个“不动点”，也就是某个点在变换后还是原来的那个点。
为什么正确？ 这个定理建立在深厚的拓扑学和微分几何基础上，证明过程严谨且无可辩驳。它揭示了某些几何结构的内在属性。
为什么用处不大？ 在抽象的数学研究中，这个定理非常重要，它帮助我们理解流形的性质。但你要是想用它去预测你家猫咪跳到沙发上的位置，或者计算股票价格，那就真是风马牛不相及了。现实世界中的“变换”往往不满足定理的严格条件，而且我们通常更关心的是“什么情况下才没有不动点”，或者“不动点的数量有多少”，而不是仅仅知道“至少有一个”。它更像是在哲学层面告诉你，在某些理想化的条件下，有些东西是必然存在的。
弗罗贝尼乌斯互易性（Frobenius Reciprocity）： 这个名字听起来就带点历史感和数学的韵味。在表示论（Representation Theory）里，它描述了两个群（或者更普遍地，范畴）之间的一个非常优美的关系。简单来说，如果你有两个群，比如一个大群 G 和一个小群 H，你还有一个表示（Representation），它告诉你怎么把群里的元素变成矩阵。你可以把 G 的表示“限制”到 H 上，这样就得到了一个 H 的表示。反过来，你也可以把 H 的表示“诱导”（Induce）到 G 上，得到一个 G 的表示。弗罗贝尼乌斯互易性就告诉你，从 H 诱导到 G 的表示，它的“对偶性”或者说“关联性”，和从 G 限制到 H 的表示是“一样”的。
为什么正确？ 这个关系在表示论中是核心定理之一，它建立了不同表示之间联系的桥梁，为很多证明和计算提供了基础。
为什么用处不大？ 对于非数学专业人士，甚至是许多数学领域的学生来说，这都是一个非常抽象的概念。它的应用主要集中在纯数学的研究中，比如分类有限群、研究李群等。如果你不是一个需要和各种抽象群表示打交道的数学家，那么你可能一辈子也用不上这个公式。它就像是为宇宙的某些深层结构设计的语言，但这个语言你学了也用不上来做日常交流。
2. 那些因为“太完美”而失去实用性的公式
有时候，公式的“正确”和“完美”反而成了它走向现实的绊脚石。
理想化的物理模型公式（例如，完全光滑的表面摩擦力公式）： 在物理学入门时，我们经常会遇到像 $f = mu N$ 这样的公式，用来计算摩擦力。其中 $mu$ 是摩擦系数，$N$ 是正压力。
为什么正确？ 在理想条件下，比如两个物体表面绝对光滑（虽然这是个假定），或者在某些特定情况下，这个公式能非常准确地描述摩擦力。它抓住了摩擦力的关键因素——正压力和材料性质的比例关系。
为什么用处不大？ 现实世界中，没有什么是绝对光滑的。摩擦力其实是一个非常复杂的问题，它涉及到表面的微观结构、接触面积、温度、湿度等等多种因素。仅仅用一个简单的 $mu$ 和 $N$ 来描述，往往会产生很大的误差。当你需要在实际工程中设计刹车系统，或者预测滑雪的速度时，这个“理想公式”可能只提供一个粗略的参考，离实际情况差得很远。它太“干净”了，不接地气。
卡尔达诺公式（Cardano's Formula）解一元三次方程： 这个公式能给出任意一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根。它由意大利数学家卡尔达诺在16世纪提出。这个公式非常复杂，涉及开立方和开平方，而且它的形式看起来非常“数学化”。
为什么正确？ 它确实能给出所有三次方程的解，无论实数根还是复数根，都能被它囊括其中。经过代数推导，这个公式是绝对正确的。
为什么用处不大？ 在实际应用中，很少有人会去手动代入这个巨大的公式来解三次方程。原因有几个：
计算量巨大且繁琐： 即使是现代计算器，处理这个公式也容易出错，更不用说手动计算了。
“不可约情形”（Casus Irreducibilis）： 当三次方程有三个实数根时，卡尔达诺公式会涉及到复数的开立方，但最终的结果却是实数。这意味着你需要在复数域里进行计算，才能得到实数解，这在概念上和操作上都非常奇怪。
数值解更方便： 在现代，我们有许多更高效、更直接的数值方法（比如牛顿法）来求解方程的近似根，这些方法在计算机上实现起来更简单，而且对于高次方程也同样适用。
所以，尽管卡尔达诺公式是一个伟大的数学成就，标志着人类在代数上迈出的重要一步，但在实际解决问题时，它的实用性非常有限。我们更多的是学习它的“思想”和“历史意义”，而不是它的“操作指南”。
3. 那些“存在即合理”，但和你没啥关系的公式
有些公式，它们存在于某个特定的数学领域，并且在该领域内扮演着至关重要的角色，但对于你我这样的普通人，或者甚至跨领域的专业人士来说，它们的价值几乎为零。
某些数论中的特殊模公式： 数论是研究整数性质的数学分支，里面有大量关于模运算、同余方程的公式。比如，某些关于椭圆曲线上的点群运算的公式，或者关于素数分布的非常精细的公式。
为什么正确？ 这些公式是经过严格证明的，它们揭示了数论中一些极其深刻的模式和结构。
为什么用处不大？ 除非你的工作就是研究数论，或者你是在做密码学（而密码学所用的也只是数论中的一部分工具），否则这些公式对你而言就如同天书。它们是数学家们为了理解数字的本质而构建的语言，与我们日常生活中的“数字”应用完全是两个次元。比如，某个公式可能描述了在模 $p$ 的情况下，某个二次剩余的生成元有多少个，这对于数学家来说是美妙的，但对你来说，知道手机有多少电量比这个公式重要得多。
关于超几何级数（Hypergeometric Series）的那些恒等式： 超几何级数是一种非常广泛的级数类型，可以表示很多函数。与之相关的恒等式数量庞大，而且变化多端，它们揭示了这些级数之间复杂的联系。
为什么正确？ 这些恒等式是数学家们经过无数次推导和验证得出的，在特定的数学理论框架下是完全正确的。
为什么用处不大？ 对于绝大多数人来说，超几何级数本身就是一个陌生的概念。即使是物理学或工程学中的一些高级应用，比如量子场论中的某些计算，也只会用到超几何级数中非常非常有限的一部分。大部分关于超几何级数的恒等式，都是数学家们在探索数学本身的美和结构时发现的，它们的意义更多在于数学内部的逻辑一致性和美感，而不是直接解决一个具体的现实问题。你很少会看到一个工程师说：“我需要用这个关于 $_pF_q$ 级数的这个超特殊恒等式来计算飞机的升力。”
总结一下，这些“没啥用”的公式，通常具备以下特点：
1. 高度抽象： 它们建立在非常抽象的数学概念之上，脱离了我们日常经验的直观理解。
2. 条件严苛： 它们通常只在非常理想化或特定的条件下才成立，现实世界的复杂性往往使其失效。
3. 专业性极强： 它们只对某个非常细分的数学或科学领域有意义，对领域外的人来说价值很低。
4. 理论大于实践： 它们的价值更多体现在理论研究、数学美感和逻辑探索上，而非直接的工具性应用。
所以，下次你看到一个让你头晕目眩的数学公式，但又不知其所以然时，不妨想想这些“正确却没啥用”的宝贝们。它们提醒我们，数学的广阔天地里，总有一些角落是为探索者准备的，而这些角落的风景，并非人人都能领略，也并非人人都有必要去领略。但这不代表它们不重要，它们是人类智慧在抽象世界里留下的璀璨印记，即便我们用不上，它们的存在本身，也值得一份敬意。
1. 那些名字听起来就很高大上，但实际应用模糊不清的公式
咱们先从那些自带光环，却又让人摸不着头脑的公式说起。
贝达定理（Bredon's Theorem）： 这个名字一听就很有深度，对吧？它主要是在代数拓扑领域里，研究的是那种光滑流形上的不动点。简单来说，如果你有一个光滑流形，然后你在这个流形上做了一个“连续的、平滑的”变换，而且这个变换还有一些特定的性质（比如它是一个同胚），那么这个变换至少会有一个“不动点”，也就是某个点在变换后还是原来的那个点。
为什么正确？ 这个定理建立在深厚的拓扑学和微分几何基础上，证明过程严谨且无可辩驳。它揭示了某些几何结构的内在属性。
为什么用处不大？ 在抽象的数学研究中，这个定理非常重要，它帮助我们理解流形的性质。但你要是想用它去预测你家猫咪跳到沙发上的位置，或者计算股票价格，那就真是风马牛不相及了。现实世界中的“变换”往往不满足定理的严格条件，而且我们通常更关心的是“什么情况下才没有不动点”，或者“不动点的数量有多少”，而不是仅仅知道“至少有一个”。它更像是在哲学层面告诉你，在某些理想化的条件下，有些东西是必然存在的。
弗罗贝尼乌斯互易性（Frobenius Reciprocity）： 这个名字听起来就带点历史感和数学的韵味。在表示论（Representation Theory）里，它描述了两个群（或者更普遍地，范畴）之间的一个非常优美的关系。简单来说，如果你有两个群，比如一个大群 G 和一个小群 H，你还有一个表示（Representation），它告诉你怎么把群里的元素变成矩阵。你可以把 G 的表示“限制”到 H 上，这样就得到了一个 H 的表示。反过来，你也可以把 H 的表示“诱导”（Induce）到 G 上，得到一个 G 的表示。弗罗贝尼乌斯互易性就告诉你，从 H 诱导到 G 的表示，它的“对偶性”或者说“关联性”，和从 G 限制到 H 的表示是“一样”的。
为什么正确？ 这个关系在表示论中是核心定理之一，它建立了不同表示之间联系的桥梁，为很多证明和计算提供了基础。
为什么用处不大？ 对于非数学专业人士，甚至是许多数学领域的学生来说，这都是一个非常抽象的概念。它的应用主要集中在纯数学的研究中，比如分类有限群、研究李群等。如果你不是一个需要和各种抽象群表示打交道的数学家，那么你可能一辈子也用不上这个公式。它就像是为宇宙的某些深层结构设计的语言，但这个语言你学了也用不上来做日常交流。
2. 那些因为“太完美”而失去实用性的公式
有时候，公式的“正确”和“完美”反而成了它走向现实的绊脚石。
理想化的物理模型公式（例如，完全光滑的表面摩擦力公式）： 在物理学入门时，我们经常会遇到像 $f = mu N$ 这样的公式，用来计算摩擦力。其中 $mu$ 是摩擦系数，$N$ 是正压力。
为什么正确？ 在理想条件下，比如两个物体表面绝对光滑（虽然这是个假定），或者在某些特定情况下，这个公式能非常准确地描述摩擦力。它抓住了摩擦力的关键因素——正压力和材料性质的比例关系。
为什么用处不大？ 现实世界中，没有什么是绝对光滑的。摩擦力其实是一个非常复杂的问题，它涉及到表面的微观结构、接触面积、温度、湿度等等多种因素。仅仅用一个简单的 $mu$ 和 $N$ 来描述，往往会产生很大的误差。当你需要在实际工程中设计刹车系统，或者预测滑雪的速度时，这个“理想公式”可能只提供一个粗略的参考，离实际情况差得很远。它太“干净”了，不接地气。
卡尔达诺公式（Cardano's Formula）解一元三次方程： 这个公式能给出任意一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根。它由意大利数学家卡尔达诺在16世纪提出。这个公式非常复杂，涉及开立方和开平方，而且它的形式看起来非常“数学化”。
为什么正确？ 它确实能给出所有三次方程的解，无论实数根还是复数根，都能被它囊括其中。经过代数推导，这个公式是绝对正确的。
为什么用处不大？ 在实际应用中，很少有人会去手动代入这个巨大的公式来解三次方程。原因有几个：
计算量巨大且繁琐： 即使是现代计算器，处理这个公式也容易出错，更不用说手动计算了。
“不可约情形”（Casus Irreducibilis）： 当三次方程有三个实数根时，卡尔达诺公式会涉及到复数的开立方，但最终的结果却是实数。这意味着你需要在复数域里进行计算，才能得到实数解，这在概念上和操作上都非常奇怪。
数值解更方便： 在现代，我们有许多更高效、更直接的数值方法（比如牛顿法）来求解方程的近似根，这些方法在计算机上实现起来更简单，而且对于高次方程也同样适用。
所以，尽管卡尔达诺公式是一个伟大的数学成就，标志着人类在代数上迈出的重要一步，但在实际解决问题时，它的实用性非常有限。我们更多的是学习它的“思想”和“历史意义”，而不是它的“操作指南”。
3. 那些“存在即合理”，但和你没啥关系的公式
有些公式，它们存在于某个特定的数学领域，并且在该领域内扮演着至关重要的角色，但对于你我这样的普通人，或者甚至跨领域的专业人士来说，它们的价值几乎为零。
某些数论中的特殊模公式： 数论是研究整数性质的数学分支，里面有大量关于模运算、同余方程的公式。比如，某些关于椭圆曲线上的点群运算的公式，或者关于素数分布的非常精细的公式。
为什么正确？ 这些公式是经过严格证明的，它们揭示了数论中一些极其深刻的模式和结构。
为什么用处不大？ 除非你的工作就是研究数论，或者你是在做密码学（而密码学所用的也只是数论中的一部分工具），否则这些公式对你而言就如同天书。它们是数学家们为了理解数字的本质而构建的语言，与我们日常生活中的“数字”应用完全是两个次元。比如，某个公式可能描述了在模 $p$ 的情况下，某个二次剩余的生成元有多少个，这对于数学家来说是美妙的，但对你来说，知道手机有多少电量比这个公式重要得多。
关于超几何级数（Hypergeometric Series）的那些恒等式： 超几何级数是一种非常广泛的级数类型，可以表示很多函数。与之相关的恒等式数量庞大，而且变化多端，它们揭示了这些级数之间复杂的联系。
为什么正确？ 这些恒等式是数学家们经过无数次推导和验证得出的，在特定的数学理论框架下是完全正确的。
为什么用处不大？ 对于绝大多数人来说，超几何级数本身就是一个陌生的概念。即使是物理学或工程学中的一些高级应用，比如量子场论中的某些计算，也只会用到超几何级数中非常非常有限的一部分。大部分关于超几何级数的恒等式，都是数学家们在探索数学本身的美和结构时发现的，它们的意义更多在于数学内部的逻辑一致性和美感，而不是直接解决一个具体的现实问题。你很少会看到一个工程师说：“我需要用这个关于 $_pF_q$ 级数的这个超特殊恒等式来计算飞机的升力。”
总结一下，这些“没啥用”的公式，通常具备以下特点：
1. 高度抽象： 它们建立在非常抽象的数学概念之上，脱离了我们日常经验的直观理解。
2. 条件严苛： 它们通常只在非常理想化或特定的条件下才成立，现实世界的复杂性往往使其失效。
3. 专业性极强： 它们只对某个非常细分的数学或科学领域有意义，对领域外的人来说价值很低。
4. 理论大于实践： 它们的价值更多体现在理论研究、数学美感和逻辑探索上，而非直接的工具性应用。
所以，下次你看到一个让你头晕目眩的数学公式，但又不知其所以然时，不妨想想这些“正确却没啥用”的宝贝们。它们提醒我们，数学的广阔天地里，总有一些角落是为探索者准备的，而这些角落的风景，并非人人都能领略，也并非人人都有必要去领略。但这不代表它们不重要，它们是人类智慧在抽象世界里留下的璀璨印记，即便我们用不上，它们的存在本身，也值得一份敬意。
网友意见
一元四次方程
的求根公式为
我想自从这个公式诞生以来，估计就没有人用它来解过一个一元四次方程！
26 元 25 次多项式
可以生成所有的素数，然而真的要用它来生成素数却非常困难，哪怕是最简单的素数 2！
设 为正整数 表示成正整数之和的方法种数，称为 分拆函数. 比如
从而我们有
是一个增长得非常快的函数，比如
所以对于很大的 ，要求出 就相当困难了，那么 到底有没有计算公式呢？1943 年，数学家 Rademacher 给出了下述 的计算公式
但真正用这个公式来计算 却非常困难，远不如 Hardy 和 Ramanujan 的渐近公式
来得简洁实用！
设 为素数，则方程 有整数解当且仅当 . 问题是如何求出这个方程的解？ 1825 年，数学王子 Gauss 得到了下述结论：
定理 ：设 为素数且 ，令 . 若有
则
事实上用上述方法求解计算量相当大！比如 ，由于 ，故有 . 直接计算有
从而我们有 . 其实这还不如直接凑来得简单！
设曲面 的 第一基本形式 为
则曲面 的 高斯曲率 为
这个公式虽然很漂亮，但事实上很少真正用它来计算高斯曲率！
可以表示为
这个公式虽然很壮观，但也没啥用！
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