如何入门 Yamabe 问题？
好的，我们来聊聊 Yamabe 问题。
要入门 Yamabe 问题，就像我们初次接触任何一个复杂的数学领域一样，需要循序渐进，建立扎实的基础，然后慢慢深入。这篇文章，我就尽量用一种自然、分享的方式，带你走进 Yamabe 的世界，看看它到底是怎么一回事，以及我们该如何去理解和研究它。
首先，我们得知道“Yamabe 问题”是关于什么的。
简单来说，Yamabe 问题是微分几何中的一个重要问题，它关注的是在给定的流形（可以想象成我们熟悉的曲面，但维度更高、形状更自由）上，是否存在一个与原度量（度量决定了流形上长度、角度、面积等概念）共轭（co।conformally equivalent，这个词稍后解释）的度量，使得这个新度量的数量曲率（scalar curvature）为常数。
别急，我知道这听起来有点绕。我们一步一步来分解：
1. 流形（Manifold）
想象一下，我们生活在一个二维平面上，这很简单。但如果我们在一个球面上，事情就变得复杂一点。我们不能用一个简单的坐标系（比如直角坐标）来描述整个球面。我们需要很多小块的局部坐标系，就像我们画世界地图时，需要很多国家的区域地图一样。
数学家们把这种“局部上看起来像欧几里得空间（就是我们熟悉的平直空间）”的空间，叫做流形。它可以是二维的（像球面），也可以是三维的（像我们所处的空间），甚至更高维。
2. 度量（Metric）
在流形上，我们怎么测量距离？怎么知道一个角是直角？这就需要度量。你可以把它想象成一个“尺子”或者“测量工具”，它告诉你在流形上任何一点，沿着哪个方向，走多远，它的长度是多少。
在二维平面上，我们用 $ds^2 = dx^2 + dy^2$ 来表示一个无穷小的距离。在流形上，度量会更复杂一些，通常用一个二次型（quadratic form）来表示，比如 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$，其中 $g_{ij}$ 就是度量张量（metric tensor），它告诉我们如何在各个方向上进行测量。
3. 共轭（Conformal Equivalence）
现在我们知道流形和度量了。Yamabe 问题关注的是一种特殊的“等价”关系，叫做共轭。
如果我们有两个度量 $g$ 和 $ ilde{g}$ 在同一个流形上，如果 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 对于某个光滑函数 $f$ 成立，那么我们就说 $ ilde{g}$ 和 $g$ 是共轭的。这里的 $e^{2f}$ 就像一个“缩放因子”，它不是均匀地缩放整个流形，而是根据流形上每个点的位置（由函数 $f$ 决定）来调整度量。
这有点像你照镜子。镜子里的你是你，但你的大小可能被放大或缩小了。共轭变换就是这样一种“形状不变，但大小可能变化”的变换。它保留了流形上的角度信息（所以也叫“保角变换”），但不一定保留长度。
4. 数量曲率（Scalar Curvature）
曲率是描述空间弯曲程度的一个重要概念。在二维空间里，我们熟悉的是高斯曲率。在更高维的流形上，我们有更复杂的曲率张量（Riemann curvature tensor）。
数量曲率，通常记作 $S$，是曲率张量经过一定的“收缩”（contracting）得到的，它是一个光滑函数，描述了流形在每一点的总体的“弯曲”程度。
想象一下，你在一个碗的底部，你会感觉有点“凹”。你在一个马鞍的中间，你会感觉有点“翘”。数量曲率就是量化这种“凹”或“翘”的程度。
现在，我们把这些概念放在一起，重新审视 Yamabe 问题：
给定一个具有光滑度量 $g$ 的 $n$ 维黎曼流形 $(M, g)$（黎曼流形就是带有黎曼度量的流形，黎曼度量可以用来测量长度和角度）。
Yamabe 问题就是问：
是否存在一个与 $g$ 共轭的度量 $ ilde{g} = e^{2f} g$（其中 $f$ 是一个光滑函数），使得 $ ilde{g}$ 的数量曲率 $ ilde{S}$ 为一个常数？
为什么这个问题重要？
Yamabe 问题之所以受到数学家们的重视，有几个原因：
几何的普适性： 找到一个常数量曲率的度量，意味着我们可以用一种“标准”的、几何上很“干净”的方式来描述这个流形。这就像给一个形状不规则的物体找一个最“规整”的描述方法。
与几何分析的联系： 解决 Yamabe 问题需要用到很多强大的几何分析工具，比如偏微分方程（PDEs）的理论。它本质上是一个非线性椭圆型偏微分方程的可解性问题。
流形的分类： 很多流形的几何性质，比如它们的拓扑结构，都与它们上面是否存在一个常数量曲率的度量密切相关。
如何开始研究 Yamabe 问题？
好了，现在我们对问题有了初步的认识，接下来就是如何“入门”了。我会从几个方面来给你指路：
第一步：夯实基础
在深入 Yamabe 问题之前，你需要对以下几个数学领域有基本的了解：
1. 微分几何基础：
流形理论： 了解流形的定义，图册（atlas），坐标变换，切空间（tangent space），向量场（vector fields），张量（tensors）的概念。
黎曼几何： 学习黎曼度量，度量张量，联络（connection），曲率张量（Ricci curvature, scalar curvature），测地线（geodesics）等。
共轭变换： 理解共轭度量的定义，以及共轭变换对曲率的影响。这需要一些微积分和张量分析的知识。
推荐入门书籍：
《Introduction to Smooth Manifolds》 by John M. Lee (这本书是很多人的首选，写得很清晰，也包含了一些黎曼几何的初步内容)。
《Riemannian Geometry》 by Peter Petersen (更侧重黎曼几何，内容深入，但作为参考书很好)。
《Differential Geometry of Curves and Surfaces》 by Manfredo P. do Carmo (虽然是关于二维的，但很多概念的引入很直观，可以帮你建立感觉)。
2. 偏微分方程（PDEs）基础：
椭圆型方程： Yamabe 问题最终归结为一个特殊的非线性椭圆型 PDE。你需要了解椭圆型方程的一些基本性质，比如解的存在性，光滑性等。
变分法： 很多 PDE 的解的存在性证明会用到变分法，将问题转化为一个泛函（functional）的极小值问题。
推荐入门书籍：
《Partial Differential Equations: An Introduction》 by Walter A. Strauss (一本非常经典且易于入门的 PDE 教材)。
《Calculus of Variations》 by I. M. Gelfand and S. V. Fomin (如果想深入理解变分法，这本书是不错的选择)。
第二步：理解 Yamabe 问题的核心方程
Yamabe 问题本质上是在寻找一个函数 $f$，使得共轭度量 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 的数量曲率 $ ilde{S}$ 为常数。
数量曲率 $S$ 的计算公式比较复杂，它涉及到度量张量 $g_{ij}$ 及其导数。当度量变成 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 后，新的数量曲率 $ ilde{S}$ 与旧的数量曲率 $S$ 之间会有一个非常重要的关系：
$ ilde{S} = e^{2f} (S 2(n1) Delta f 2(n1) langle abla f, abla f angle)$
其中：
$n$ 是流形的维数。
$Delta = ext{div}( abla)$ 是 LaplaceBeltrami 算子（在共轭度量 $ ilde{g}$ 下）。
$langle cdot, cdot angle$ 是度量 $g$ 下的内积。
Yamabe 问题就是要找到一个函数 $f$，使得 $ ilde{S}$ 为常数。如果我们假设这个常数就是 $lambda$，那么我们就得到了一个 PDE：
$e^{2f} (S 2(n1) Delta f 2(n1) langle abla f, abla f angle) = lambda$
或者，我们可以将 $Delta$ 和 $langle cdot, cdot angle$ 视为在原度量 $g$ 下的量，并重新整理方程。这里的 $f$ 是在流形上的函数，$Delta f$ 实际上是 $Delta_g f$，而 $langle abla f, abla f angle$ 也是在 $g$ 下的内积。
方程可以写成：
$S 2(n1) Delta_g f 2(n1) g^{ij} (partial_i f)(partial_j f) = lambda e^{2f}$
这个方程被称为 Yamabe 方程。解决 Yamabe 问题，就是证明对于任意的黎曼流形 $(M, g)$，这个方程在合适的 $lambda$ 下总有光滑解 $f$。
第三步：了解 Yamabe 问题的历史和主要结果
Yamabe 问题并不是一个一开始就得到完全解决的问题。它的历史非常有意思，也体现了数学发展的曲折性。
Yamabe 的初步尝试： 1960年，Hidehiko Yamabe 首次提出了这个问题，并试图给出解决。他证明了在特定条件下（例如，如果存在一个数量曲率为负的共轭度量），Yamabe 问题是有解的。
MicallefMoore 的反例： 1980年，Micallef 和 Moore 构造了一个三维流形，其所有数量曲率为负的共轭度量都不能使数量曲率成为常数。这表明 Yamabe 的原始证明存在缺陷，问题没有那么简单。
Schoen 的关键突破： 1980年代中期，Richard Schoen 成功地解决了 Yamabe 问题。他通过对 MicallefMoore 的反例进行细致的分析，并利用变分法和非线性 PDE 理论，证明了对于任何 $n ge 3$ 的紧黎曼流形，Yamabe 问题总是有解的。他的证明非常深刻，而且是构造性的。他证明了存在一个常数 $lambda$（Yamabe 能量），使得 Yamabe 方程总有解。
Schoen 的工作是 Yamabe 问题领域最重要的成果。
第四步：学习 Schoen 的证明思路（进阶）
如果你想更深入地研究，可以尝试理解 Schoen 的证明思路。这需要更高级的数学知识，包括：
变分法与极小化序列（Minimizing Sequence）： Schoen 的思路是考虑一个特定的泛函（通常与 Yamabe 能量有关），并证明这个泛函的存在一个极小值。通过证明极小化序列的存在性，然后分析这个序列在极限情况下的行为。
集中性（Concentration of Blowup）： 在处理非线性 PDE 时，一个常见的困难是“集中性”问题。当解在某个点“爆炸”（blow up）时，能量会集中在该点。Schoen 的一个关键贡献是分析了这种集中性，并找到了克服它的方法。
De GiorgiNashMoser (DNMR) 理论： 这个理论是关于椭圆型方程解的光滑性和界限性的，对 Yamabe 问题的解决至关重要。
第五步：研究 Yamabe 的推广和相关问题
Yamabe 问题解决后，数学家们又开始研究它的推广和相关的其他问题：
非紧流形上的 Yamabe 问题： Schoen 的结果主要针对紧致流形。对于非紧流形，问题会更复杂，需要不同的技术。
Yamabe 常数（Yamabe Constant）： 对于一个给定的流形，可以定义一个“Yamabe 常数”，它与流形上所有数量曲率为常数的共轭度量的数量曲率有关。
与其他几何问题的联系： Yamabe 问题与其他几何问题，如庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）和高维斯氏猜想（Smale Conjecture）的解决，都有着深刻的联系。
学习路径建议：
1. 从基础开始： 确保你对流形、度量、曲率和基本 PDE 有扎实的理解。
2. 阅读 Yamabe 问题的陈述： 彻底理解问题的定义。
3. 学习共轭度量和曲率的关系： 这是核心的代数技巧。
4. 了解 Yamabe 问题的历史： 知道 Yamabe、MicallefMoore、Schoen 的工作，有助于把握问题的重要性。
5. 阅读关于 Yamabe 问题解决方案的综述文章： 很多文章会以一种更易懂的方式介绍 Schoen 的证明思路，例如：
《The Yamabe Problem》 by Peter Petersen: 这篇文章是很好的起点，清晰地介绍了问题的背景、结果和证明思路。
《The Yamabe Problem revisited》 by Cliff Taubes: Taubes 的这篇文章也提供了另一种角度的解读。
6. 深入学习 PDE 和变分法： 如果你想真正理解 Schoen 的证明，这是必不可少的。
一些给初学者的建议：
不要害怕复杂性： Yamabe 问题确实涉及很多高级概念，但把它分解开来，一步一步学习，你会发现它并非不可逾越。
多动手计算： 在低维流形（比如球面、环面）上，尝试自己计算曲率，理解共轭变换对曲率的影响。
寻找好的学习资源： 找到那些写得清晰、逻辑严谨的教材和论文，它们会让你少走弯路。
与他人交流： 如果有可能，和同学或老师讨论，共同学习，可以加速理解。
总而言之，入门 Yamabe 问题是一个循序渐进的过程。从理解基本概念开始，到掌握核心方程，再到了解历史和主要成果，最终深入到证明的细节。这是一个充满挑战但也极具回报的数学旅程。希望这篇文章能为你打开一扇门，让你对 Yamabe 问题产生浓厚的兴趣。祝你学习愉快！
要入门 Yamabe 问题，就像我们初次接触任何一个复杂的数学领域一样，需要循序渐进，建立扎实的基础，然后慢慢深入。这篇文章，我就尽量用一种自然、分享的方式，带你走进 Yamabe 的世界，看看它到底是怎么一回事，以及我们该如何去理解和研究它。
首先，我们得知道“Yamabe 问题”是关于什么的。
简单来说，Yamabe 问题是微分几何中的一个重要问题，它关注的是在给定的流形（可以想象成我们熟悉的曲面，但维度更高、形状更自由）上，是否存在一个与原度量（度量决定了流形上长度、角度、面积等概念）共轭（co।conformally equivalent，这个词稍后解释）的度量，使得这个新度量的数量曲率（scalar curvature）为常数。
别急，我知道这听起来有点绕。我们一步一步来分解：
1. 流形（Manifold）
想象一下，我们生活在一个二维平面上，这很简单。但如果我们在一个球面上，事情就变得复杂一点。我们不能用一个简单的坐标系（比如直角坐标）来描述整个球面。我们需要很多小块的局部坐标系，就像我们画世界地图时，需要很多国家的区域地图一样。
数学家们把这种“局部上看起来像欧几里得空间（就是我们熟悉的平直空间）”的空间，叫做流形。它可以是二维的（像球面），也可以是三维的（像我们所处的空间），甚至更高维。
2. 度量（Metric）
在流形上，我们怎么测量距离？怎么知道一个角是直角？这就需要度量。你可以把它想象成一个“尺子”或者“测量工具”，它告诉你在流形上任何一点，沿着哪个方向，走多远，它的长度是多少。
在二维平面上，我们用 $ds^2 = dx^2 + dy^2$ 来表示一个无穷小的距离。在流形上，度量会更复杂一些，通常用一个二次型（quadratic form）来表示，比如 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$，其中 $g_{ij}$ 就是度量张量（metric tensor），它告诉我们如何在各个方向上进行测量。
3. 共轭（Conformal Equivalence）
现在我们知道流形和度量了。Yamabe 问题关注的是一种特殊的“等价”关系，叫做共轭。
如果我们有两个度量 $g$ 和 $ ilde{g}$ 在同一个流形上，如果 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 对于某个光滑函数 $f$ 成立，那么我们就说 $ ilde{g}$ 和 $g$ 是共轭的。这里的 $e^{2f}$ 就像一个“缩放因子”，它不是均匀地缩放整个流形，而是根据流形上每个点的位置（由函数 $f$ 决定）来调整度量。
这有点像你照镜子。镜子里的你是你，但你的大小可能被放大或缩小了。共轭变换就是这样一种“形状不变，但大小可能变化”的变换。它保留了流形上的角度信息（所以也叫“保角变换”），但不一定保留长度。
4. 数量曲率（Scalar Curvature）
曲率是描述空间弯曲程度的一个重要概念。在二维空间里，我们熟悉的是高斯曲率。在更高维的流形上，我们有更复杂的曲率张量（Riemann curvature tensor）。
数量曲率，通常记作 $S$，是曲率张量经过一定的“收缩”（contracting）得到的，它是一个光滑函数，描述了流形在每一点的总体的“弯曲”程度。
想象一下，你在一个碗的底部，你会感觉有点“凹”。你在一个马鞍的中间，你会感觉有点“翘”。数量曲率就是量化这种“凹”或“翘”的程度。
现在，我们把这些概念放在一起，重新审视 Yamabe 问题：
给定一个具有光滑度量 $g$ 的 $n$ 维黎曼流形 $(M, g)$（黎曼流形就是带有黎曼度量的流形，黎曼度量可以用来测量长度和角度）。
Yamabe 问题就是问：
是否存在一个与 $g$ 共轭的度量 $ ilde{g} = e^{2f} g$（其中 $f$ 是一个光滑函数），使得 $ ilde{g}$ 的数量曲率 $ ilde{S}$ 为一个常数？
为什么这个问题重要？
Yamabe 问题之所以受到数学家们的重视，有几个原因：
几何的普适性： 找到一个常数量曲率的度量，意味着我们可以用一种“标准”的、几何上很“干净”的方式来描述这个流形。这就像给一个形状不规则的物体找一个最“规整”的描述方法。
与几何分析的联系： 解决 Yamabe 问题需要用到很多强大的几何分析工具，比如偏微分方程（PDEs）的理论。它本质上是一个非线性椭圆型偏微分方程的可解性问题。
流形的分类： 很多流形的几何性质，比如它们的拓扑结构，都与它们上面是否存在一个常数量曲率的度量密切相关。
如何开始研究 Yamabe 问题？
好了，现在我们对问题有了初步的认识，接下来就是如何“入门”了。我会从几个方面来给你指路：
第一步：夯实基础
在深入 Yamabe 问题之前，你需要对以下几个数学领域有基本的了解：
1. 微分几何基础：
流形理论： 了解流形的定义，图册（atlas），坐标变换，切空间（tangent space），向量场（vector fields），张量（tensors）的概念。
黎曼几何： 学习黎曼度量，度量张量，联络（connection），曲率张量（Ricci curvature, scalar curvature），测地线（geodesics）等。
共轭变换： 理解共轭度量的定义，以及共轭变换对曲率的影响。这需要一些微积分和张量分析的知识。
推荐入门书籍：
《Introduction to Smooth Manifolds》 by John M. Lee (这本书是很多人的首选，写得很清晰，也包含了一些黎曼几何的初步内容)。
《Riemannian Geometry》 by Peter Petersen (更侧重黎曼几何，内容深入，但作为参考书很好)。
《Differential Geometry of Curves and Surfaces》 by Manfredo P. do Carmo (虽然是关于二维的，但很多概念的引入很直观，可以帮你建立感觉)。
2. 偏微分方程（PDEs）基础：
椭圆型方程： Yamabe 问题最终归结为一个特殊的非线性椭圆型 PDE。你需要了解椭圆型方程的一些基本性质，比如解的存在性，光滑性等。
变分法： 很多 PDE 的解的存在性证明会用到变分法，将问题转化为一个泛函（functional）的极小值问题。
推荐入门书籍：
《Partial Differential Equations: An Introduction》 by Walter A. Strauss (一本非常经典且易于入门的 PDE 教材)。
《Calculus of Variations》 by I. M. Gelfand and S. V. Fomin (如果想深入理解变分法，这本书是不错的选择)。
第二步：理解 Yamabe 问题的核心方程
Yamabe 问题本质上是在寻找一个函数 $f$，使得共轭度量 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 的数量曲率 $ ilde{S}$ 为常数。
数量曲率 $S$ 的计算公式比较复杂，它涉及到度量张量 $g_{ij}$ 及其导数。当度量变成 $ ilde{g} = e^{2f} g$ 后，新的数量曲率 $ ilde{S}$ 与旧的数量曲率 $S$ 之间会有一个非常重要的关系：
$ ilde{S} = e^{2f} (S 2(n1) Delta f 2(n1) langle abla f, abla f angle)$
其中：
$n$ 是流形的维数。
$Delta = ext{div}( abla)$ 是 LaplaceBeltrami 算子（在共轭度量 $ ilde{g}$ 下）。
$langle cdot, cdot angle$ 是度量 $g$ 下的内积。
Yamabe 问题就是要找到一个函数 $f$，使得 $ ilde{S}$ 为常数。如果我们假设这个常数就是 $lambda$，那么我们就得到了一个 PDE：
$e^{2f} (S 2(n1) Delta f 2(n1) langle abla f, abla f angle) = lambda$
或者，我们可以将 $Delta$ 和 $langle cdot, cdot angle$ 视为在原度量 $g$ 下的量，并重新整理方程。这里的 $f$ 是在流形上的函数，$Delta f$ 实际上是 $Delta_g f$，而 $langle abla f, abla f angle$ 也是在 $g$ 下的内积。
方程可以写成：
$S 2(n1) Delta_g f 2(n1) g^{ij} (partial_i f)(partial_j f) = lambda e^{2f}$
这个方程被称为 Yamabe 方程。解决 Yamabe 问题，就是证明对于任意的黎曼流形 $(M, g)$，这个方程在合适的 $lambda$ 下总有光滑解 $f$。
第三步：了解 Yamabe 问题的历史和主要结果
Yamabe 问题并不是一个一开始就得到完全解决的问题。它的历史非常有意思，也体现了数学发展的曲折性。
Yamabe 的初步尝试： 1960年，Hidehiko Yamabe 首次提出了这个问题，并试图给出解决。他证明了在特定条件下（例如，如果存在一个数量曲率为负的共轭度量），Yamabe 问题是有解的。
MicallefMoore 的反例： 1980年，Micallef 和 Moore 构造了一个三维流形，其所有数量曲率为负的共轭度量都不能使数量曲率成为常数。这表明 Yamabe 的原始证明存在缺陷，问题没有那么简单。
Schoen 的关键突破： 1980年代中期，Richard Schoen 成功地解决了 Yamabe 问题。他通过对 MicallefMoore 的反例进行细致的分析，并利用变分法和非线性 PDE 理论，证明了对于任何 $n ge 3$ 的紧黎曼流形，Yamabe 问题总是有解的。他的证明非常深刻，而且是构造性的。他证明了存在一个常数 $lambda$（Yamabe 能量），使得 Yamabe 方程总有解。
Schoen 的工作是 Yamabe 问题领域最重要的成果。
第四步：学习 Schoen 的证明思路（进阶）
如果你想更深入地研究，可以尝试理解 Schoen 的证明思路。这需要更高级的数学知识，包括：
变分法与极小化序列（Minimizing Sequence）： Schoen 的思路是考虑一个特定的泛函（通常与 Yamabe 能量有关），并证明这个泛函的存在一个极小值。通过证明极小化序列的存在性，然后分析这个序列在极限情况下的行为。
集中性（Concentration of Blowup）： 在处理非线性 PDE 时，一个常见的困难是“集中性”问题。当解在某个点“爆炸”（blow up）时，能量会集中在该点。Schoen 的一个关键贡献是分析了这种集中性，并找到了克服它的方法。
De GiorgiNashMoser (DNMR) 理论： 这个理论是关于椭圆型方程解的光滑性和界限性的，对 Yamabe 问题的解决至关重要。
第五步：研究 Yamabe 的推广和相关问题
Yamabe 问题解决后，数学家们又开始研究它的推广和相关的其他问题：
非紧流形上的 Yamabe 问题： Schoen 的结果主要针对紧致流形。对于非紧流形，问题会更复杂，需要不同的技术。
Yamabe 常数（Yamabe Constant）： 对于一个给定的流形，可以定义一个“Yamabe 常数”，它与流形上所有数量曲率为常数的共轭度量的数量曲率有关。
与其他几何问题的联系： Yamabe 问题与其他几何问题，如庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）和高维斯氏猜想（Smale Conjecture）的解决，都有着深刻的联系。
学习路径建议：
1. 从基础开始： 确保你对流形、度量、曲率和基本 PDE 有扎实的理解。
2. 阅读 Yamabe 问题的陈述： 彻底理解问题的定义。
3. 学习共轭度量和曲率的关系： 这是核心的代数技巧。
4. 了解 Yamabe 问题的历史： 知道 Yamabe、MicallefMoore、Schoen 的工作，有助于把握问题的重要性。
5. 阅读关于 Yamabe 问题解决方案的综述文章： 很多文章会以一种更易懂的方式介绍 Schoen 的证明思路，例如：
《The Yamabe Problem》 by Peter Petersen: 这篇文章是很好的起点，清晰地介绍了问题的背景、结果和证明思路。
《The Yamabe Problem revisited》 by Cliff Taubes: Taubes 的这篇文章也提供了另一种角度的解读。
6. 深入学习 PDE 和变分法： 如果你想真正理解 Schoen 的证明，这是必不可少的。
一些给初学者的建议：
不要害怕复杂性： Yamabe 问题确实涉及很多高级概念，但把它分解开来，一步一步学习，你会发现它并非不可逾越。
多动手计算： 在低维流形（比如球面、环面）上，尝试自己计算曲率，理解共轭变换对曲率的影响。
寻找好的学习资源： 找到那些写得清晰、逻辑严谨的教材和论文，它们会让你少走弯路。
与他人交流： 如果有可能，和同学或老师讨论，共同学习，可以加速理解。
总而言之，入门 Yamabe 问题是一个循序渐进的过程。从理解基本概念开始，到掌握核心方程，再到了解历史和主要成果，最终深入到证明的细节。这是一个充满挑战但也极具回报的数学旅程。希望这篇文章能为你打开一扇门，让你对 Yamabe 问题产生浓厚的兴趣。祝你学习愉快！
网友意见
原始的Yamabe问题是关于scalar curvature的，具体可以看之前答案里提到的Lee和Parker写的个那个The Yamabe Problem的综述性的文章。我一开始也是看的那篇文章，感觉写的还是蛮详细的，而且读起来也不是很困难，具体的话需要你有一定的PDE方面的知识和技巧，比如不等式放缩和估计什么的。
但是既然题主提到这篇文章里有Q-curvature，那就不只是原始的Yamabe问题这么简单的事情了。关于Q-curvature这个概念我也只是在刚开始的时候大概见过一两次，后来我跑去折腾Finsler几何里的东西了，就没再仔细看这方面的内容。所以只能简单说说看，不保证一定准确恰当，仅供参考。
Q-curvature是由Branson等人提出来的一个概念，它在二维的时候就是Gauss curvature，随着流形维度的增加形式会变得越来越复杂。它会保持某些与scalar curvature类似的性质，但是在共形意义下会有一些比较好的性质。比如Q-curvature在流形上的积分是一个共性不变量，而且对于共形平坦的2m维流形M，有下面这个式子。
而且Q-curvature在共形变换下的变化能够体现流形本身的某些几何和拓扑性质，它在共形变换下的方程本身也是一个完全非线性的偏微分方程，从分析的角度去研究那个方程也有它的价值。因此有人用Q-curvature去代替scalar curvature去做一些prescribing curvature problem.之类的问题。
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说起“小学基础”，可不是说让你重返课堂，翻开那些带着褪色封面、泛黄书页的课本。这是一种人生积累的过程，是你理解世界、认知事物最核心的那个底盘。想要打牢它，就像盖房子，得从最坚实的地基开始，一步一个脚印，用心去感受。首先，我们要明白，“小学基础”最核心的是什么？我认为是观察力，是好奇心，还有逻辑思维的.............
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想くなって、音楽の世界をちょっと覗いてみませんか？特に「現代音楽」とか「クラシック」なんて聞くと、なんだか敷居が高そうに思えるかもしれません。でも、実はそんなことは全然ないんです。まるで新しい世界への扉を開けるように、ちょっとしたきっかけで、今まで知らなかった素晴らしい音楽に出会えることがあります。.............
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好的，我们来聊聊怎么“入坑”古典音乐。这事儿，跟学游泳似的，别看它表面上好像挺“高大上”，实际上找到对的“泳道”和“泳姿”，你也能游得挺自在。第一步：别怕，从“好听”开始很多人一听“古典音乐”就觉得是贝多芬那个胡子一大把的，或者巴赫那个巴洛克风的，听起来就费劲。其实，古典音乐的世界大了去了，就像美食.............
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嘿，你好！很高兴你能对香水这个充满魅力的世界产生兴趣。别担心，从小白到香水爱好者，这条路其实比你想象的要有趣得多。我尽量把话说得明白些，让你听着顺耳，感觉像是老朋友在跟你聊天一样，抛开那些生硬的AI腔调。第一步：认识香水，从“喜欢”开始别一开始就给自己太大压力，去研究什么香调、什么品牌。最重要的一点.............
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好的，咱们来聊聊 Kaggle 这个对数据科学爱好者来说简直是“圣地”一样的地方，怎么才能真正地“上车”并且玩转起来。我尽量说得细致点，让你感觉就像是跟一个老司机在聊怎么开车的路子。第一步：先别急着上战场，把基础打牢你知道的，想玩好一项游戏，得先知道规则，了解角色。Kaggle 也是一样。1. P.............
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哈喽，想入门“键政”，不是学校里那种枯燥的政治课，而是想在网络上玩转时事评论和讨论，这可真是个技术活儿！别担心，这事儿说起来复杂，但拆解开来，就像打游戏一样，有套路、有技巧。我这就给你掰开了揉碎了说，让你 pronto 入门，成为一个游刃有余的“键政达人”。首先，咱们得明确，“键政”这俩字儿，拆开看.............
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想入门IGBT？没问题，咱们这就好好掰扯掰扯，保证你说完就觉得豁然开朗。咱们不用那些弯弯绕绕的术语，就拿大白话聊。首先，IGBT是个啥？你想象一下， IGBT就像一个 “聪明的开关”。它能控制大电流通过，但控制它的方式很特别，就像你给它发个“指令”，它就乖乖地开或者关，而且反应贼快。具体点说，IGB.............
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雪利酒，这个名字听起来就带着一股子西班牙阳光的味道，它不像葡萄酒那样家喻户晓，但一旦你开始了解它，就会发现它是一个充满惊喜、复杂而又迷人的世界。很多初次接触雪利酒的人，可能会被它多样的风格弄得有点晕头转向，但别担心，今天我们就来一步步把它掰开了、揉碎了，让你轻松入门，并且能自信地享受这份西班牙的馈赠.............
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好的，作为一位刚接触 PyTorch 的新手，我来给你把这个过程掰开揉碎了讲讲，力求让你从零开始，稳稳当当落地。咱们这篇文章不整那些花里胡哨的“AI”腔调，就当咱俩坐下来，一起聊聊怎么把这玩意儿玩明白。 第一步：先别慌，PyTorch 是什么？首先，别被那些高大上的名字吓到。PyTorch 简单来说.............
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想拿起电吉他，踏上音乐的奇妙旅程？这事儿，比你想象的要有趣得多，也容易得多！别被那些炫技的吉他大师吓到，每个牛逼的背后，都有一个从零开始的你。我来给你掰扯掰扯，怎么让你这把“电兽”听话，开始为你咆哮。第一步：装备到位，事半功倍别想着一开始就买一把几万块的“神琴”，那不是入门，那是烧钱。咱们讲究的是实.............
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