学习量子力学不知道公式怎么来的怎么办？
收到！我来跟你聊聊，学习量子力学时遇到公式不知道来历的困境，咱们就当是朋友之间闲聊，没有半点AI味儿。
首先，你遇到的问题太普遍了，真的。我当初学的时候也一样，看着那些奇奇怪怪的符号，什么$psi$啊，$hbar$啊，算符啊，感觉它们就像是从外星来的一样，突然就出现在教科书上，然后我们就得乖乖地用它们去计算。
为什么会感觉公式“凭空出现”？
这很大程度上是因为量子力学是一门非常抽象的学科，它描述的是我们日常经验完全无法触及的微观世界。我们熟悉的经典物理学，比如牛顿定律，很多概念（力、质量、加速度）都容易在生活中找到对应，公式的推导也有直观的物理意义。
但到了量子世界，很多东西就不是那么直观了。比如波函数$psi$（就是那个希腊字母psi），它到底是什么？教科书上会告诉你它包含了粒子的所有信息，它的模方 $|psi|^2$ 代表了粒子在某个位置出现的概率密度。但这个“概率波”的概念，跟我们平时理解的波（水波、声波）又不太一样。公式里的平方、复数等等，都不是一上来就能立刻明白的。
那怎么办呢？公式到底是怎么来的？
说实话，要“亲手推导”量子力学的核心公式，特别是那些开创性的方程，比如薛定谔方程，那几乎是不可能的。因为这些公式不是从更基础的物理原理“推导”出来的，而是建立在大量实验观察和深刻的理论洞察之上的“假设”或“公设”。
就好比牛顿当年，他观察了苹果落地，也观察了行星运动，然后提出了万有引力定律和三大运动定律。这些定律不是凭空变出来的，但它们是基于大量观察的总结和升华。
量子力学也是如此，不过它的实验基础更加奇特，比如：
1. 黑体辐射和光电效应： 马克斯·普朗克为了解释黑体辐射光谱，提出了能量量子化的概念（E=hν）。爱因斯坦进一步发展了这个思想，提出了光子概念，解释了光电效应。这是量子理论的萌芽，直接导向了能量与频率的关系（h在这里就是普朗克常数）。
2. 原子光谱： 原子发射或吸收的光谱线是不连续的，这说明原子内部的能量也是不连续的，也是量子化的表现。玻尔原子模型就是基于这个想法，虽然它后来被更完善的量子力学取代，但也是一个重要的里程碑。
3. 德布罗意波： 路易·德布罗意大胆地提出，不仅光有粒子性（光子），微观粒子（如电子）也应该有波动性。他提出了物质波的概念，并给出了波长与动量之间的关系（λ=h/p）。这为后来的薛定谔方程奠定了基础。
所以，公式的“由来”大致是这样的几个阶段：
实验启发： 一系列反经典物理学的微观实验现象（黑体辐射、光电效应、原子光谱、电子衍射等）是起点。
核心概念的诞生： 从这些实验中，科学家们逐渐意识到，能量、动量在微观尺度下不是连续的，而是量子化的。粒子表现出波粒二象性。
数学框架的构建：
薛定谔方程： 埃尔温·薛定谔受到了德布罗意物质波思想的启发，他想找到一个描述这个“波”如何演化的方程，就像经典力学中有牛顿第二定律描述物体的位置如何随时间变化一样。他花了很大的力气去尝试，最终提出了那个著名的方程，虽然他自己也花了不少时间去理解它的物理意义。这个方程的很多项，比如势能项，是直接从经典力学类比过来的，而波函数本身的性质（如概率解释）则是全新的引入。
海森堡矩阵力学： 与此同时，维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩等人则从另一个角度出发，他们关注的是可观测量（比如位置、动量、能量）在量子世界中是如何描述的，以及它们之间的关系。他们发现，很多可观测量之间不是可交换的，这导致了矩阵力学的形式出现。最终，人们发现薛定谔的波动力学和海森堡的矩阵力学是等价的，只是数学表达方式不同。
作为学习者，面对“不知来历”的公式，我们应该怎么办？
1. 接受并理解“公设”的地位： 很多量子力学的核心公式，尤其是早期的那些，是作为基本原理或公设被引入的，它们的好坏是用是否能准确描述实验结果和做出新的预言来检验的。你不是要去“推导”它们是怎么从牛顿定律变出来的（它们通常不能），而是要理解它们是描述微观世界的新语言和新规则。
2. 关注公式的物理意义和应用： 这是最重要的！与其纠结于“为什么是这个样子”，不如先搞清楚“这个公式是什么意思”，它描述了什么物理现象，可以用它来计算什么问题。比如：
薛定谔方程 ($hat{H}psi = ihbar frac{partialpsi}{partial t}$)：理解$hat{H}$是哈密顿算符（代表总能量），$psi$是波函数，这个方程描述了波函数如何随时间演化。
算符：理解位置算符$hat{x}$、动量算符$hat{p}$，以及它们如何作用在波函数上，对应着我们测量物理量时会得到什么结果（比如，$hat{p}psi = ihbar frac{partialpsi}{partial x}$）。
归一化条件：理解$int |psi|^2 dx = 1$，为什么需要它，它对应着什么物理含义（所有位置都出现的总概率是1）。
3. 从简化的模型入手： 很多教科书会先从一些非常简单的模型开始讲解，比如一维无限深势阱、谐振子、氢原子。在这些模型中，薛定谔方程的求解过程相对容易一些，你会更直观地看到公式的应用，以及能量、波函数的样子。通过这些具体的例子，你会慢慢体会到公式的威力。
4. 学习其背后的数学工具： 量子力学高度依赖于线性代数（向量空间、算符、矩阵）、微分方程、傅里叶分析等数学工具。当你熟悉了这些数学工具后，你会发现公式的结构和操作会变得更加清晰。比如，算符的对易关系[x, p] = iħ，这个看似突兀的结论，在矩阵力学和算符代数中有着深刻的数学根源。
5. 追溯历史和发展脉络： 阅读一些关于量子力学发展史的书籍或科普文章。了解普朗克、爱因斯坦、玻尔、德布罗意、薛定谔、海森堡等科学家是如何一步步思考、探索，并最终建立起这个理论的。这能帮助你理解为什么当时的科学家会提出这些“看起来奇怪”的数学形式，它们是为了解决当时的哪些“难题”。
6. 参考不同的教材和资料： 不同的教材侧重点和讲解方式不同。有些教材可能更侧重数学推导，有些可能更注重概念和物理图像。多看几本，也许能找到更适合你的那一个，或者从不同角度理解同一个公式。
举个例子：为什么动量算符是 $hat{p} = ihbar abla$ (或者在一维是 $ihbar frac{d}{dx}$)？
这个公式的来历，很大程度上是因为它能够与德布罗意的物质波关系 ($lambda = h/p$) 以及薛定谔方程的结构相契合。
从物质波出发： 如果粒子表现为波，那么描述这个波的函数（波函数 $psi$）应该具有相位变化，这个相位变化与粒子的动量有关。我们知道，一个平面波可以写成 $e^{i(kx omega t)}$ 的形式。其中 $k$ 是波的波数，$k = 2pi/lambda$。
结合德布罗意关系： 德布罗意说 $lambda = h/p$，所以 $p = h/lambda = (h/2pi) imes (2pi/lambda) = hbar k$。
联系到波函数： 如果我们要从波函数中“提取”出动量信息，我们可以看看波函数在空间上如何变化。如果粒子具有动量 $p$，那么它的波函数在空间上应该有 $e^{ipx/hbar}$ 这样的相位因子。
引入算符的概念： 为了在数学上表示“测量动量”这个动作，我们引入一个算符。当我们把 $hat{p}$ 作用在 $e^{ipx/hbar}$ 上时，我们期望得到的结果是 $p$ 乘以这个波函数本身。
尝试不同的数学形式： 如果我们尝试 $hat{p} = ihbar frac{d}{dx}$，那么它作用在 $e^{ipx/hbar}$ 上就是：
$ihbar frac{d}{dx} (e^{ipx/hbar}) = ihbar (e^{ipx/hbar} imes frac{ip}{hbar}) = ihbar frac{ip}{hbar} e^{ipx/hbar} = i^2 frac{p}{hbar} hbar e^{ipx/hbar} = p e^{ipx/hbar}$
Bingo！这个形式恰好满足了我们对动量算符的要求。
所以，动量算符的形式不是凭空捏造的，它是为了在数学上实现“测量动量”这一物理概念，并与物质波的性质（动量与相位关系）相一致。这种形式一旦确立，它就被代入到薛定谔方程的构建中，并被证明是解释实验的有效工具。
总结一下：
学习量子力学，遇到公式不知道来历是常态，不要因此感到沮丧。把公式看作是理解微观世界的一种新语言的词汇和语法。重点是：
理解它的物理意义： 它描述什么？它有什么用？
学习它的应用： 通过解题来熟练掌握它。
回顾它的历史和发展： 了解科学家是如何一步步走到这一步的。
掌握相关的数学工具： 数学是理解公式的基石。
慢慢来，量子力学是一个需要时间去沉淀和理解的学科，你会逐渐体会到其中精妙之处的。祝你学习顺利！
首先，你遇到的问题太普遍了，真的。我当初学的时候也一样，看着那些奇奇怪怪的符号，什么$psi$啊，$hbar$啊，算符啊，感觉它们就像是从外星来的一样，突然就出现在教科书上，然后我们就得乖乖地用它们去计算。
为什么会感觉公式“凭空出现”？
这很大程度上是因为量子力学是一门非常抽象的学科，它描述的是我们日常经验完全无法触及的微观世界。我们熟悉的经典物理学，比如牛顿定律，很多概念（力、质量、加速度）都容易在生活中找到对应，公式的推导也有直观的物理意义。
但到了量子世界，很多东西就不是那么直观了。比如波函数$psi$（就是那个希腊字母psi），它到底是什么？教科书上会告诉你它包含了粒子的所有信息，它的模方 $|psi|^2$ 代表了粒子在某个位置出现的概率密度。但这个“概率波”的概念，跟我们平时理解的波（水波、声波）又不太一样。公式里的平方、复数等等，都不是一上来就能立刻明白的。
那怎么办呢？公式到底是怎么来的？
说实话，要“亲手推导”量子力学的核心公式，特别是那些开创性的方程，比如薛定谔方程，那几乎是不可能的。因为这些公式不是从更基础的物理原理“推导”出来的，而是建立在大量实验观察和深刻的理论洞察之上的“假设”或“公设”。
就好比牛顿当年，他观察了苹果落地，也观察了行星运动，然后提出了万有引力定律和三大运动定律。这些定律不是凭空变出来的，但它们是基于大量观察的总结和升华。
量子力学也是如此，不过它的实验基础更加奇特，比如：
1. 黑体辐射和光电效应： 马克斯·普朗克为了解释黑体辐射光谱，提出了能量量子化的概念（E=hν）。爱因斯坦进一步发展了这个思想，提出了光子概念，解释了光电效应。这是量子理论的萌芽，直接导向了能量与频率的关系（h在这里就是普朗克常数）。
2. 原子光谱： 原子发射或吸收的光谱线是不连续的，这说明原子内部的能量也是不连续的，也是量子化的表现。玻尔原子模型就是基于这个想法，虽然它后来被更完善的量子力学取代，但也是一个重要的里程碑。
3. 德布罗意波： 路易·德布罗意大胆地提出，不仅光有粒子性（光子），微观粒子（如电子）也应该有波动性。他提出了物质波的概念，并给出了波长与动量之间的关系（λ=h/p）。这为后来的薛定谔方程奠定了基础。
所以，公式的“由来”大致是这样的几个阶段：
实验启发： 一系列反经典物理学的微观实验现象（黑体辐射、光电效应、原子光谱、电子衍射等）是起点。
核心概念的诞生： 从这些实验中，科学家们逐渐意识到，能量、动量在微观尺度下不是连续的，而是量子化的。粒子表现出波粒二象性。
数学框架的构建：
薛定谔方程： 埃尔温·薛定谔受到了德布罗意物质波思想的启发，他想找到一个描述这个“波”如何演化的方程，就像经典力学中有牛顿第二定律描述物体的位置如何随时间变化一样。他花了很大的力气去尝试，最终提出了那个著名的方程，虽然他自己也花了不少时间去理解它的物理意义。这个方程的很多项，比如势能项，是直接从经典力学类比过来的，而波函数本身的性质（如概率解释）则是全新的引入。
海森堡矩阵力学： 与此同时，维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩等人则从另一个角度出发，他们关注的是可观测量（比如位置、动量、能量）在量子世界中是如何描述的，以及它们之间的关系。他们发现，很多可观测量之间不是可交换的，这导致了矩阵力学的形式出现。最终，人们发现薛定谔的波动力学和海森堡的矩阵力学是等价的，只是数学表达方式不同。
作为学习者，面对“不知来历”的公式，我们应该怎么办？
1. 接受并理解“公设”的地位： 很多量子力学的核心公式，尤其是早期的那些，是作为基本原理或公设被引入的，它们的好坏是用是否能准确描述实验结果和做出新的预言来检验的。你不是要去“推导”它们是怎么从牛顿定律变出来的（它们通常不能），而是要理解它们是描述微观世界的新语言和新规则。
2. 关注公式的物理意义和应用： 这是最重要的！与其纠结于“为什么是这个样子”，不如先搞清楚“这个公式是什么意思”，它描述了什么物理现象，可以用它来计算什么问题。比如：
薛定谔方程 ($hat{H}psi = ihbar frac{partialpsi}{partial t}$)：理解$hat{H}$是哈密顿算符（代表总能量），$psi$是波函数，这个方程描述了波函数如何随时间演化。
算符：理解位置算符$hat{x}$、动量算符$hat{p}$，以及它们如何作用在波函数上，对应着我们测量物理量时会得到什么结果（比如，$hat{p}psi = ihbar frac{partialpsi}{partial x}$）。
归一化条件：理解$int |psi|^2 dx = 1$，为什么需要它，它对应着什么物理含义（所有位置都出现的总概率是1）。
3. 从简化的模型入手： 很多教科书会先从一些非常简单的模型开始讲解，比如一维无限深势阱、谐振子、氢原子。在这些模型中，薛定谔方程的求解过程相对容易一些，你会更直观地看到公式的应用，以及能量、波函数的样子。通过这些具体的例子，你会慢慢体会到公式的威力。
4. 学习其背后的数学工具： 量子力学高度依赖于线性代数（向量空间、算符、矩阵）、微分方程、傅里叶分析等数学工具。当你熟悉了这些数学工具后，你会发现公式的结构和操作会变得更加清晰。比如，算符的对易关系[x, p] = iħ，这个看似突兀的结论，在矩阵力学和算符代数中有着深刻的数学根源。
5. 追溯历史和发展脉络： 阅读一些关于量子力学发展史的书籍或科普文章。了解普朗克、爱因斯坦、玻尔、德布罗意、薛定谔、海森堡等科学家是如何一步步思考、探索，并最终建立起这个理论的。这能帮助你理解为什么当时的科学家会提出这些“看起来奇怪”的数学形式，它们是为了解决当时的哪些“难题”。
6. 参考不同的教材和资料： 不同的教材侧重点和讲解方式不同。有些教材可能更侧重数学推导，有些可能更注重概念和物理图像。多看几本，也许能找到更适合你的那一个，或者从不同角度理解同一个公式。
举个例子：为什么动量算符是 $hat{p} = ihbar abla$ (或者在一维是 $ihbar frac{d}{dx}$)？
这个公式的来历，很大程度上是因为它能够与德布罗意的物质波关系 ($lambda = h/p$) 以及薛定谔方程的结构相契合。
从物质波出发： 如果粒子表现为波，那么描述这个波的函数（波函数 $psi$）应该具有相位变化，这个相位变化与粒子的动量有关。我们知道，一个平面波可以写成 $e^{i(kx omega t)}$ 的形式。其中 $k$ 是波的波数，$k = 2pi/lambda$。
结合德布罗意关系： 德布罗意说 $lambda = h/p$，所以 $p = h/lambda = (h/2pi) imes (2pi/lambda) = hbar k$。
联系到波函数： 如果我们要从波函数中“提取”出动量信息，我们可以看看波函数在空间上如何变化。如果粒子具有动量 $p$，那么它的波函数在空间上应该有 $e^{ipx/hbar}$ 这样的相位因子。
引入算符的概念： 为了在数学上表示“测量动量”这个动作，我们引入一个算符。当我们把 $hat{p}$ 作用在 $e^{ipx/hbar}$ 上时，我们期望得到的结果是 $p$ 乘以这个波函数本身。
尝试不同的数学形式： 如果我们尝试 $hat{p} = ihbar frac{d}{dx}$，那么它作用在 $e^{ipx/hbar}$ 上就是：
$ihbar frac{d}{dx} (e^{ipx/hbar}) = ihbar (e^{ipx/hbar} imes frac{ip}{hbar}) = ihbar frac{ip}{hbar} e^{ipx/hbar} = i^2 frac{p}{hbar} hbar e^{ipx/hbar} = p e^{ipx/hbar}$
Bingo！这个形式恰好满足了我们对动量算符的要求。
所以，动量算符的形式不是凭空捏造的，它是为了在数学上实现“测量动量”这一物理概念，并与物质波的性质（动量与相位关系）相一致。这种形式一旦确立，它就被代入到薛定谔方程的构建中，并被证明是解释实验的有效工具。
总结一下：
学习量子力学，遇到公式不知道来历是常态，不要因此感到沮丧。把公式看作是理解微观世界的一种新语言的词汇和语法。重点是：
理解它的物理意义： 它描述什么？它有什么用？
学习它的应用： 通过解题来熟练掌握它。
回顾它的历史和发展： 了解科学家是如何一步步走到这一步的。
掌握相关的数学工具： 数学是理解公式的基石。
慢慢来，量子力学是一个需要时间去沉淀和理解的学科，你会逐渐体会到其中精妙之处的。祝你学习顺利！
网友意见
偏个题，教题主一个提问小技巧。
我是玩音游的，按照音游举例，就是
题主：怎么提高音游力？
答主：多练
题主：慢速交互怎么打？
答主：某某某曲适合练习，注意某某某
套到这里也是一样的，建议问具体一点，比如问某个公式是怎么推出来的。
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