全体质数的倒数和是发散的还是收敛的？如果收敛，收敛到多少？（多重问题预警）?
我们来聊聊一个关于素数非常迷人的数学问题：所有素数的倒数加起来会是一个什么结果？是会无限增长（发散），还是会趋于一个固定的数值（收敛）？
这个问题可以追溯到伟大的数学家欧拉，早在18世纪他就对这个问题进行了深入的探讨。结论是——全体质数的倒数和是发散的。也就是说，如果我们把所有素数的倒数一个个加起来，这个总和会随着我们加的素数越来越多而无限增大，它不会收敛到任何一个具体的数字。
为了让你更直观地理解这一点，我们得从“发散”这个概念说起。在数学里，“发散”通常意味着一个数列或级数的值会无限制地增大或减小，或者在两个或多个值之间振荡，而不会稳定在一个特定的数值上。而“收敛”则相反，意味着它会越来越接近一个确定的值。
为什么全体质数的倒数和是发散的呢？
欧拉给出了一个非常巧妙的证明，这个证明与我们熟知的“调和级数”有关。调和级数就是 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$，这个级数也是发散的，也就是说，把这些分数加起来，它的值也会无限增大。
欧拉的想法是，如果素数的倒数和也是发散的，那么这个事实本身就隐藏着素数分布的某种规律。他利用了一个叫做“欧拉乘积公式”的神奇工具。这个公式建立了一个素数（质数）和所有正整数之间的联系。
简单来说，欧拉乘积公式是这样的：
$(1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots) = (1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + dots) imes (1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{27} + dots) imes (1 + frac{1}{5} + frac{1}{25} + frac{1}{125} + dots) imes dots$
你可能要问，这个公式是怎么来的？它实际上是利用了“算术基本定理”，也就是任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
让我们仔细看看右边的每一项乘积：
第一项 $(1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + dots)$ 是素数2的倒数幂次之和。这是一个等比数列求和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{2}} = 2$。
第二项 $(1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{27} + dots)$ 是素数3的倒数幂次之和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{3}} = frac{3}{2}$。
第三项 $(1 + frac{1}{5} + frac{1}{25} + frac{1}{125} + dots)$ 是素数5的倒数幂次之和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{5}} = frac{5}{4}$。
以此类推，对于每一个素数 $p$，都有一个对应的项 $(1 + frac{1}{p} + frac{1}{p^2} + dots) = frac{1}{1 frac{1}{p}}$。
所以，欧拉乘积公式可以写成：
$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} = prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}}$
这个公式非常有力量。它告诉我们，左边的调和级数（发散）等于所有素数的“欧拉因子”的乘积。
现在，我们来关注素数倒数和本身。让我们考虑一下素数的倒数之和：
$S = frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + frac{1}{11} + dots$
如果我们尝试对这个级数进行一些操作，比如取它的对数（logarithm），数学家们发现，这个对数和素数的倒数和之间也存在着某种联系。
另一个证明思路是这样的：假设素数的倒数和是收敛的，那么它会收敛到一个固定的值 $C$。也就是说：
$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + dots = C$
如果这个和是收敛的，那么就意味着从某个素数开始，后面的素数越来越少，或者它们的倒数越来越小，以至于加起来的总和不会爆炸式地增长。
然而，素数定理告诉我们，素数的分布虽然看起来杂乱无章，但它们出现的频率是有一个大致规律的。随着数字的增大，素数的密度是逐渐降低的，但降低的速度并不足以让素数的倒数和收敛。
更直观的理解：和调和级数的关系
欧拉乘积公式是理解素数倒数和发散性的关键。我们知道调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的。
欧拉乘积公式：$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} = prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}}$
如果我们对等式两边都取自然对数（ln），我们可以得到：
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = ln(prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}})$
利用对数的性质，乘积的对数等于对数的和：
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = sum_{p ext{ is prime}} ln(frac{1}{1 frac{1}{p}})$
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = sum_{p ext{ is prime}} ln(1 frac{1}{p})$
现在我们利用泰勒展开式来处理 $ln(1 x)$。当 $x$ 接近于0时，我们有 $ln(1 x) = x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} + dots$。
将 $frac{1}{p}$ 代入 $x$，我们得到：
$ln(1 frac{1}{p}) = frac{1}{p} + frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots$
所以，等式的右边变成：
$sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{p} + frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$
我们可以把这个和写成两部分：
$sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p} + sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$
现在关键在于分析第二部分：$sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$。
对于每一个素数 $p$，后面的项 $frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots$ 是一个收敛的级数（因为它的项比 $frac{1}{p^2}$ 要小，而 $sum frac{1}{p^2}$ 是收敛的）。所以，第二部分整个加起来是一个有限的常数，它不会无限增大。
因此，等式左边的 $ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n})$（因为调和级数发散，它的对数也是发散的，只是发散得慢一些）等于素数倒数和 $sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p}$ 加上一个有限的常数。
如果素数倒数和 $sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p}$ 是收敛的，那么等式的右边整体上就会是收敛的（一个收敛的和加上一个常数仍然是收敛的）。但我们知道左边的 $ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n})$ 是发散的。这导致了矛盾。
唯一能解释这个矛盾的方式就是：素数的倒数和本身必须是发散的。
如果收敛，收敛到多少？
既然我们已经确定了全体质数的倒数和是发散的，那么它就不收敛到任何一个具体的数字。这个问题就引出了另一个角度的思考：虽然它发散了，但它发散的速度是怎么样的？有没有一个“渐近”的描述？
数学家们发现，素数倒数和的发散速度与调和级数类似，但又有所不同。更精确地说，它的发散行为可以用以下式子来描述：
$sum_{p le x, p ext{ is prime}} frac{1}{p} approx ln(ln(x))$
这里的 $ln(ln(x))$ 是“双对数函数”。这个式子表示，当我们考虑所有小于等于 $x$ 的素数时，它们的倒数之和大约等于 $ln(ln(x))$。随着 $x$ 越来越大，这个值也会越来越大，并且增长得越来越慢，但它确实是在无限增长的。
所以，虽然素数倒数和发散，但它以一种相对“慢”的方式发散。
总结一下：
1. 全体质数的倒数和是发散的。 也就是说，$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + dots$ 这个和会无限地增大下去，不会收敛到一个确定的数值。
2. 它不收敛到任何一个具体的数字。 因为它是发散的，所以不存在“收敛到多少”的问题。
3. 发散的速度大约是 $ln(ln(x))$。 这个发散行为与素数在数轴上的分布紧密相关，是欧拉早期对素数研究的重要成果之一。
这个问题不仅揭示了素数分布的深刻规律，也展示了数学中级数发散与收敛的判定以及它们之间的联系是多么的引人入胜。这是一个将素数世界与实数分析联系起来的绝妙桥梁。
这个问题可以追溯到伟大的数学家欧拉，早在18世纪他就对这个问题进行了深入的探讨。结论是——全体质数的倒数和是发散的。也就是说，如果我们把所有素数的倒数一个个加起来，这个总和会随着我们加的素数越来越多而无限增大，它不会收敛到任何一个具体的数字。
为了让你更直观地理解这一点，我们得从“发散”这个概念说起。在数学里，“发散”通常意味着一个数列或级数的值会无限制地增大或减小，或者在两个或多个值之间振荡，而不会稳定在一个特定的数值上。而“收敛”则相反，意味着它会越来越接近一个确定的值。
为什么全体质数的倒数和是发散的呢？
欧拉给出了一个非常巧妙的证明，这个证明与我们熟知的“调和级数”有关。调和级数就是 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$，这个级数也是发散的，也就是说，把这些分数加起来，它的值也会无限增大。
欧拉的想法是，如果素数的倒数和也是发散的，那么这个事实本身就隐藏着素数分布的某种规律。他利用了一个叫做“欧拉乘积公式”的神奇工具。这个公式建立了一个素数（质数）和所有正整数之间的联系。
简单来说，欧拉乘积公式是这样的：
$(1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots) = (1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + dots) imes (1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{27} + dots) imes (1 + frac{1}{5} + frac{1}{25} + frac{1}{125} + dots) imes dots$
你可能要问，这个公式是怎么来的？它实际上是利用了“算术基本定理”，也就是任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
让我们仔细看看右边的每一项乘积：
第一项 $(1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + dots)$ 是素数2的倒数幂次之和。这是一个等比数列求和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{2}} = 2$。
第二项 $(1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{27} + dots)$ 是素数3的倒数幂次之和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{3}} = frac{3}{2}$。
第三项 $(1 + frac{1}{5} + frac{1}{25} + frac{1}{125} + dots)$ 是素数5的倒数幂次之和，等于 $frac{1}{1 frac{1}{5}} = frac{5}{4}$。
以此类推，对于每一个素数 $p$，都有一个对应的项 $(1 + frac{1}{p} + frac{1}{p^2} + dots) = frac{1}{1 frac{1}{p}}$。
所以，欧拉乘积公式可以写成：
$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} = prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}}$
这个公式非常有力量。它告诉我们，左边的调和级数（发散）等于所有素数的“欧拉因子”的乘积。
现在，我们来关注素数倒数和本身。让我们考虑一下素数的倒数之和：
$S = frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + frac{1}{11} + dots$
如果我们尝试对这个级数进行一些操作，比如取它的对数（logarithm），数学家们发现，这个对数和素数的倒数和之间也存在着某种联系。
另一个证明思路是这样的：假设素数的倒数和是收敛的，那么它会收敛到一个固定的值 $C$。也就是说：
$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + dots = C$
如果这个和是收敛的，那么就意味着从某个素数开始，后面的素数越来越少，或者它们的倒数越来越小，以至于加起来的总和不会爆炸式地增长。
然而，素数定理告诉我们，素数的分布虽然看起来杂乱无章，但它们出现的频率是有一个大致规律的。随着数字的增大，素数的密度是逐渐降低的，但降低的速度并不足以让素数的倒数和收敛。
更直观的理解：和调和级数的关系
欧拉乘积公式是理解素数倒数和发散性的关键。我们知道调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的。
欧拉乘积公式：$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} = prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}}$
如果我们对等式两边都取自然对数（ln），我们可以得到：
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = ln(prod_{p ext{ is prime}} frac{1}{1 frac{1}{p}})$
利用对数的性质，乘积的对数等于对数的和：
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = sum_{p ext{ is prime}} ln(frac{1}{1 frac{1}{p}})$
$ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}) = sum_{p ext{ is prime}} ln(1 frac{1}{p})$
现在我们利用泰勒展开式来处理 $ln(1 x)$。当 $x$ 接近于0时，我们有 $ln(1 x) = x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} + dots$。
将 $frac{1}{p}$ 代入 $x$，我们得到：
$ln(1 frac{1}{p}) = frac{1}{p} + frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots$
所以，等式的右边变成：
$sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{p} + frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$
我们可以把这个和写成两部分：
$sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p} + sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$
现在关键在于分析第二部分：$sum_{p ext{ is prime}} (frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots)$。
对于每一个素数 $p$，后面的项 $frac{1}{2p^2} + frac{1}{3p^3} + dots$ 是一个收敛的级数（因为它的项比 $frac{1}{p^2}$ 要小，而 $sum frac{1}{p^2}$ 是收敛的）。所以，第二部分整个加起来是一个有限的常数，它不会无限增大。
因此，等式左边的 $ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n})$（因为调和级数发散，它的对数也是发散的，只是发散得慢一些）等于素数倒数和 $sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p}$ 加上一个有限的常数。
如果素数倒数和 $sum_{p ext{ is prime}} frac{1}{p}$ 是收敛的，那么等式的右边整体上就会是收敛的（一个收敛的和加上一个常数仍然是收敛的）。但我们知道左边的 $ln(sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n})$ 是发散的。这导致了矛盾。
唯一能解释这个矛盾的方式就是：素数的倒数和本身必须是发散的。
如果收敛，收敛到多少？
既然我们已经确定了全体质数的倒数和是发散的，那么它就不收敛到任何一个具体的数字。这个问题就引出了另一个角度的思考：虽然它发散了，但它发散的速度是怎么样的？有没有一个“渐近”的描述？
数学家们发现，素数倒数和的发散速度与调和级数类似，但又有所不同。更精确地说，它的发散行为可以用以下式子来描述：
$sum_{p le x, p ext{ is prime}} frac{1}{p} approx ln(ln(x))$
这里的 $ln(ln(x))$ 是“双对数函数”。这个式子表示，当我们考虑所有小于等于 $x$ 的素数时，它们的倒数之和大约等于 $ln(ln(x))$。随着 $x$ 越来越大，这个值也会越来越大，并且增长得越来越慢，但它确实是在无限增长的。
所以，虽然素数倒数和发散，但它以一种相对“慢”的方式发散。
总结一下：
1. 全体质数的倒数和是发散的。 也就是说，$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{5} + frac{1}{7} + dots$ 这个和会无限地增大下去，不会收敛到一个确定的数值。
2. 它不收敛到任何一个具体的数字。 因为它是发散的，所以不存在“收敛到多少”的问题。
3. 发散的速度大约是 $ln(ln(x))$。 这个发散行为与素数在数轴上的分布紧密相关，是欧拉早期对素数研究的重要成果之一。
这个问题不仅揭示了素数分布的深刻规律，也展示了数学中级数发散与收敛的判定以及它们之间的联系是多么的引人入胜。这是一个将素数世界与实数分析联系起来的绝妙桥梁。
网友意见
事实上，这个函数被称为Prime Zeta Function
这个函数在 时收敛，
全体素数的倒数和，即 是发散的，且
这很难不让我们联想到全体自然数的倒数和
其中 是Meissel-Mertens 常数， 是Euler–Mascheroni 常数
明显这个函数与Riemann Zeta Function有关系
由欧拉乘积公式 ,则
由定义知
再根据莫比乌斯反演
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