六度分隔理论可以用什么数学模型证明？
六度分隔理论（Six Degrees of Separation）是一个引人入胜的社会学概念，它认为地球上的任何一个人都可以在不超过六步的联系中与其他人建立联系。虽然这个理论最初源于社会学的观察和故事，但它与图论（Graph Theory）有着非常紧密的联系，并且可以通过图论中的数学模型进行证明或更好地理解。
核心概念：图论
六度分隔理论可以用图论来建模，其中：
节点 (Nodes/Vertices): 代表着个体（人）。
边 (Edges/Links): 代表着个体之间的直接联系（例如，朋友、同事、家人等）。
整个社会网络可以被看作一个巨大的图。
证明的数学模型：图的直径 (Diameter of a Graph)
严格来说，要用数学模型“证明”六度分隔理论在所有社会网络中都成立，是极其困难的，因为真实世界的社会网络非常复杂，而且“联系”的定义也可能模糊。但是，我们可以使用图论的概念来解释和量化六度分隔理论的原理，并展示在某些类型的图中，平均路径长度确实很短。
最直接相关的数学概念是图的直径。
路径 (Path): 在图中，从一个节点到另一个节点的一系列连接的边。
路径长度 (Path Length): 连接两个节点所需的边的数量。
距离 (Distance): 两个节点之间的最短路径长度。
直径 (Diameter): 图中所有节点对之间最短路径长度的最大值。
如果一个图的直径是 6，那么意味着任何两个节点之间最短的路径长度都不会超过 6。这就直接对应了六度分隔理论。
为什么现实世界中的社交网络通常有较小的直径？
虽然图的直径为 6 是一个明确的数学定义，但现实世界的社交网络更倾向于使用平均路径长度 (Average Path Length) 来衡量连接的紧密程度。平均路径长度是所有节点对之间最短路径长度的平均值。
六度分隔理论的实际数学基础在于，许多真实的社会网络（包括大型的社交网络）都表现出“小世界网络”(SmallWorld Networks) 的特性。 小世界网络是介于规则网络和随机网络之间的一种网络结构。
小世界网络模型的数学解释 (Watts & Strogatz Model)
20世纪90年代，Duncan Watts 和 Steven Strogatz 在他们的开创性论文中提出了一个描述小世界网络的模型，这个模型非常有助于理解六度分隔理论的数学基础：
1. 规则网络 (Regular Network):
想象一个规则的圆形排列的网络，每个节点连接它周围的固定数量的邻居（例如，每个节点都连接最近的两个邻居）。
在这种网络中，节点之间的距离会随着节点的数量增加而快速增长。如果节点数量是 N，那么平均路径长度大致是 O(N)。这意味着要连接到远处的人，需要经过很多中间人。
2. 随机网络 (Random Network):
在这种网络中，任何两个节点之间都有一个很小的概率 P 连接。
在随机网络中，平均路径长度会迅速减小，随着节点数量 N 和平均度（每个节点连接的平均边数）k 的增加，平均路径长度大约是 O(log N / log k)。这意味着即使网络很大，连接也相对容易。
3. 小世界网络 (SmallWorld Network):
Watts 和 Strogatz 的模型结合了前两者的特点。他们从一个规则网络开始，然后以一个小概率 `p` 将每条边“重布线”到网络中的另一个随机节点。
关键发现： 即使是非常小的重布线概率 `p` (例如，1%)，也会显著减小网络的平均路径长度，使其接近随机网络的平均路径长度。同时，网络仍然保持了高度的集聚系数 (Clustering Coefficient)，这是一种衡量节点与其邻居形成紧密社群的程度的指标。
数学推导（简化版）：
在一个规则网络中，平均路径长度 L 随节点数 N 增长而线性增长。
在一个随机网络中，平均路径长度 L 随 log(N) 增长。
在小世界网络中，Watts 和 Strogatz 发现，当规则网络的边以概率 `p` 重布线后，网络的平均路径长度 `L_sw` 与规则网络的平均路径长度 `L_reg` 和随机网络的平均路径长度 `L_rand` 之间有近似关系：
`L_sw ≈ L_reg (1 p)`
这意味着，即使 `p` 很小，`L_sw` 也会急剧下降，趋向于 `L_rand`。
同时，小世界网络保持了高集聚系数，这与人类社交网络的特点（我们倾向于和朋友的朋友成为朋友）非常吻合。
其他相关的数学概念和证明思路
度分布 (Degree Distribution): 真实社交网络的度分布通常不是均匀的，而是呈现出一种“幂律分布”或“无标度网络”(ScaleFree Network) 的特征。这意味着少数节点（“枢纽”或“超级连接者”）拥有大量的连接，而大多数节点只拥有很少的连接。
无标度网络模型 (BarabásiAlbert Model): 这个模型通过“优先连接”(Preferential Attachment) 机制来解释幂律分布。新节点倾向于连接到已经拥有更多连接的节点。
对六度分隔的影响： 在无标度网络中，存在一些“超级连接者”作为快速通道，使得连接不同社群的路径变短。这进一步支持了六度分隔理论。如果一个网络是无标度网络，其平均路径长度的增长也比随机网络慢得多，通常与 log(N) 成比例。
广度优先搜索 (BreadthFirst Search BFS): 在图论中，BFS 是一种找到两个节点之间最短路径的算法。我们可以想象使用 BFS 来探索社交网络。从一个节点开始，一层一层地向外扩展：第一层是直接联系的朋友，第二层是朋友的朋友，以此类推。六度分隔理论表明，即使在非常大的网络中，找到目标节点的步骤（BFS 的层数）通常不会超过六层。
幂律衰减 (PowerLaw Decay): 在某些社交网络模型中，节点对之间的距离概率会随着距离的增加而以幂律的方式衰减，而不是指数方式衰减。这意味着即使远距离的节点，它们之间存在短路径的概率也比我们直觉上认为的要高。
总结证明思路
数学上证明六度分隔理论，主要是通过以下几点：
1. 将社交网络建模为图： 将个体视为节点，关系视为边。
2. 关注图的直径或平均路径长度： 六度分隔理论对应于图的直径或平均路径长度很小（通常不超过 6）。
3. 利用小世界网络模型： Watts 和 Strogatz 的模型证明了，即使是轻微的“随机性”（边重布线）也能显著减小规则网络的平均路径长度，使其接近随机网络的短路径特性，同时保持高集聚系数。
4. 考虑无标度网络特性： 真实社交网络中的幂律度分布和优先连接机制，使得“枢纽”节点成为连接网络的关键，进一步缩短了路径。
局限性与注意事项
“联系”的定义： 数学模型依赖于清晰定义的“联系”。在现实中，人与人之间的联系有强弱之分，有不同类型，这使得模型的精确度受到影响。
网络的动态性： 社交网络是动态变化的，关系会产生和消失。
数据的可获得性： 建立一个完整的、包含所有人的全球社交网络图在技术上是不可行的。实际证明通常基于对现有大型数据集（如社交媒体平台上的数据）的分析。
“六度”的普适性： 实际上，在某些特定社群或高度隔离的群体中，距离可能大于六度。但对于全球性的、广泛互联的社会网络，“六度”是一个很好的近似和平均值。
实际验证
历史上，Stanley Milgram 在 1960 年代进行的“小世界实验”是六度分隔理论的早期实证研究。他让美国内布拉斯加州的人给堪萨斯州的一个目标人物写信，要求将信件传递给他们认为最有可能将信件传递到目标人物附近的人，直到最终送达。实验结果显示，平均需要大约 5.5 到 6.6 个中间人。
后来，Facebook 等社交媒体公司也通过分析其平台上的用户关系数据，进行了大规模的计算验证，发现其用户的平均路径长度确实非常短，与六度分隔理论相符，尤其是在特定群体或基于某些“连接”类型（如好友关系）的情况下。
总而言之，六度分隔理论并非一个严格意义上的数学定理，而是一个在数学模型（特别是图论中的小世界网络和无标度网络模型）支持下得到广泛解释和验证的社会学现象。数学模型帮助我们理解了为什么在庞大而复杂的社会网络中，人们之间的联系可以如此之近。
核心概念：图论
六度分隔理论可以用图论来建模，其中：
节点 (Nodes/Vertices): 代表着个体（人）。
边 (Edges/Links): 代表着个体之间的直接联系（例如，朋友、同事、家人等）。
整个社会网络可以被看作一个巨大的图。
证明的数学模型：图的直径 (Diameter of a Graph)
严格来说，要用数学模型“证明”六度分隔理论在所有社会网络中都成立，是极其困难的，因为真实世界的社会网络非常复杂，而且“联系”的定义也可能模糊。但是，我们可以使用图论的概念来解释和量化六度分隔理论的原理，并展示在某些类型的图中，平均路径长度确实很短。
最直接相关的数学概念是图的直径。
路径 (Path): 在图中，从一个节点到另一个节点的一系列连接的边。
路径长度 (Path Length): 连接两个节点所需的边的数量。
距离 (Distance): 两个节点之间的最短路径长度。
直径 (Diameter): 图中所有节点对之间最短路径长度的最大值。
如果一个图的直径是 6，那么意味着任何两个节点之间最短的路径长度都不会超过 6。这就直接对应了六度分隔理论。
为什么现实世界中的社交网络通常有较小的直径？
虽然图的直径为 6 是一个明确的数学定义，但现实世界的社交网络更倾向于使用平均路径长度 (Average Path Length) 来衡量连接的紧密程度。平均路径长度是所有节点对之间最短路径长度的平均值。
六度分隔理论的实际数学基础在于，许多真实的社会网络（包括大型的社交网络）都表现出“小世界网络”(SmallWorld Networks) 的特性。 小世界网络是介于规则网络和随机网络之间的一种网络结构。
小世界网络模型的数学解释 (Watts & Strogatz Model)
20世纪90年代，Duncan Watts 和 Steven Strogatz 在他们的开创性论文中提出了一个描述小世界网络的模型，这个模型非常有助于理解六度分隔理论的数学基础：
1. 规则网络 (Regular Network):
想象一个规则的圆形排列的网络，每个节点连接它周围的固定数量的邻居（例如，每个节点都连接最近的两个邻居）。
在这种网络中，节点之间的距离会随着节点的数量增加而快速增长。如果节点数量是 N，那么平均路径长度大致是 O(N)。这意味着要连接到远处的人，需要经过很多中间人。
2. 随机网络 (Random Network):
在这种网络中，任何两个节点之间都有一个很小的概率 P 连接。
在随机网络中，平均路径长度会迅速减小，随着节点数量 N 和平均度（每个节点连接的平均边数）k 的增加，平均路径长度大约是 O(log N / log k)。这意味着即使网络很大，连接也相对容易。
3. 小世界网络 (SmallWorld Network):
Watts 和 Strogatz 的模型结合了前两者的特点。他们从一个规则网络开始，然后以一个小概率 `p` 将每条边“重布线”到网络中的另一个随机节点。
关键发现： 即使是非常小的重布线概率 `p` (例如，1%)，也会显著减小网络的平均路径长度，使其接近随机网络的平均路径长度。同时，网络仍然保持了高度的集聚系数 (Clustering Coefficient)，这是一种衡量节点与其邻居形成紧密社群的程度的指标。
数学推导（简化版）：
在一个规则网络中，平均路径长度 L 随节点数 N 增长而线性增长。
在一个随机网络中，平均路径长度 L 随 log(N) 增长。
在小世界网络中，Watts 和 Strogatz 发现，当规则网络的边以概率 `p` 重布线后，网络的平均路径长度 `L_sw` 与规则网络的平均路径长度 `L_reg` 和随机网络的平均路径长度 `L_rand` 之间有近似关系：
`L_sw ≈ L_reg (1 p)`
这意味着，即使 `p` 很小，`L_sw` 也会急剧下降，趋向于 `L_rand`。
同时，小世界网络保持了高集聚系数，这与人类社交网络的特点（我们倾向于和朋友的朋友成为朋友）非常吻合。
其他相关的数学概念和证明思路
度分布 (Degree Distribution): 真实社交网络的度分布通常不是均匀的，而是呈现出一种“幂律分布”或“无标度网络”(ScaleFree Network) 的特征。这意味着少数节点（“枢纽”或“超级连接者”）拥有大量的连接，而大多数节点只拥有很少的连接。
无标度网络模型 (BarabásiAlbert Model): 这个模型通过“优先连接”(Preferential Attachment) 机制来解释幂律分布。新节点倾向于连接到已经拥有更多连接的节点。
对六度分隔的影响： 在无标度网络中，存在一些“超级连接者”作为快速通道，使得连接不同社群的路径变短。这进一步支持了六度分隔理论。如果一个网络是无标度网络，其平均路径长度的增长也比随机网络慢得多，通常与 log(N) 成比例。
广度优先搜索 (BreadthFirst Search BFS): 在图论中，BFS 是一种找到两个节点之间最短路径的算法。我们可以想象使用 BFS 来探索社交网络。从一个节点开始，一层一层地向外扩展：第一层是直接联系的朋友，第二层是朋友的朋友，以此类推。六度分隔理论表明，即使在非常大的网络中，找到目标节点的步骤（BFS 的层数）通常不会超过六层。
幂律衰减 (PowerLaw Decay): 在某些社交网络模型中，节点对之间的距离概率会随着距离的增加而以幂律的方式衰减，而不是指数方式衰减。这意味着即使远距离的节点，它们之间存在短路径的概率也比我们直觉上认为的要高。
总结证明思路
数学上证明六度分隔理论，主要是通过以下几点：
1. 将社交网络建模为图： 将个体视为节点，关系视为边。
2. 关注图的直径或平均路径长度： 六度分隔理论对应于图的直径或平均路径长度很小（通常不超过 6）。
3. 利用小世界网络模型： Watts 和 Strogatz 的模型证明了，即使是轻微的“随机性”（边重布线）也能显著减小规则网络的平均路径长度，使其接近随机网络的短路径特性，同时保持高集聚系数。
4. 考虑无标度网络特性： 真实社交网络中的幂律度分布和优先连接机制，使得“枢纽”节点成为连接网络的关键，进一步缩短了路径。
局限性与注意事项
“联系”的定义： 数学模型依赖于清晰定义的“联系”。在现实中，人与人之间的联系有强弱之分，有不同类型，这使得模型的精确度受到影响。
网络的动态性： 社交网络是动态变化的，关系会产生和消失。
数据的可获得性： 建立一个完整的、包含所有人的全球社交网络图在技术上是不可行的。实际证明通常基于对现有大型数据集（如社交媒体平台上的数据）的分析。
“六度”的普适性： 实际上，在某些特定社群或高度隔离的群体中，距离可能大于六度。但对于全球性的、广泛互联的社会网络，“六度”是一个很好的近似和平均值。
实际验证
历史上，Stanley Milgram 在 1960 年代进行的“小世界实验”是六度分隔理论的早期实证研究。他让美国内布拉斯加州的人给堪萨斯州的一个目标人物写信，要求将信件传递给他们认为最有可能将信件传递到目标人物附近的人，直到最终送达。实验结果显示，平均需要大约 5.5 到 6.6 个中间人。
后来，Facebook 等社交媒体公司也通过分析其平台上的用户关系数据，进行了大规模的计算验证，发现其用户的平均路径长度确实非常短，与六度分隔理论相符，尤其是在特定群体或基于某些“连接”类型（如好友关系）的情况下。
总而言之，六度分隔理论并非一个严格意义上的数学定理，而是一个在数学模型（特别是图论中的小世界网络和无标度网络模型）支持下得到广泛解释和验证的社会学现象。数学模型帮助我们理解了为什么在庞大而复杂的社会网络中，人们之间的联系可以如此之近。
网友意见
这学期在学Network，现学现卖一下。
“小世界性质(small world property)”的一个规范定义是：图G的“平均路径长度(average path length)”或“直径(diameter)”是 的，其中 是图G的结点数目， 是图G的平均度(average degree)。
注解：路径(path)指的是从图G中的一个结点走到另一个结点，且不重复经过任意结点的边序列。
平均路径长度就是所有路径长度的平均值；直径是所有路径长度的最大值。
结点的度(degree)指与该结点相连的边数；平均度就是所有结点的度的平均值。
最后， 表示，如果图G自然“增长”，随着结点数目增加，其平均路径长度或直径的增长速度最多和括号内的表达式一样快。
所以 @傅渥成 的说法的第一点其实有待商榷。上述规范定义当中那个表达式其实就是根据指数增长的想法来的：如果每个结点的度都约为平均度 ，那么拓展k层之后，覆盖的结点数大约是 ，假如此时恰好能够覆盖所有结点，我们就有 。
之所以可以这样做是因为稀疏网络大多是Tree-like的，比如Erdos-Renyi随机网络的稀疏情况(np_n=O(log n))，或者Leskovec et al.(2007)的野火模型，都使用了类似的想法。
Barabasi的一个统计：
如何解释（或者说生成“小世界”性质）呢？实际上随机图模型中最经典的Erdos-Renyi模型就可以：假设有n个结点，两两之间以概率p连边，得到的就是ER(n,p)。
显然我们可以选择固定的p，但是更符合现实的做法是考虑p_n随n变化，比如上面提到的np_n=O(log n)
Chung and Lu(2001)给出了如下定理：
如果 ，则随机图 的直径几乎总是与 有相同的增长率。
注意到 恰好就是随机图各结点的度的期望，所以这一设定下的Erdos-Renyi随机图就呈现“小世界”性质。
但是ER除了能给出小世界性质以外，比如度的幂律分布(power-law degree distribution)或者高聚集度(high clustering)都没法实现。 @Ly Rus 提到了Watts-Strogatz模型，但是似乎和我学的不太一样……
总之，Watts-Strogatz(1998)的想法是，从一个高聚集度的初始网络开始，随机重连一些边，可以降低直径。如果随机重连的概率小，那么就是高聚集度、高直径的初始网络，如果随机重连的概率大，那么就是低聚集度、低直径（小世界）的Erdos-Renyi网络，如果概率介于两者之间，那么就能够同时实现高聚集度和低直径（小世界）的网络。
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