''余数定理''可以用什么简单通俗的语言解释吗?
余数定理，听起来挺学术的，但其实它就像是我们生活中分东西时总会剩一点点的那种情况，只不过我们现在把它用在数学上，而且是专门针对“除法”这个动作。
咱们先从最最简单的例子说起，就像分糖果一样。
想象一下，你有 10 颗糖果，你想平均分给 3 个小朋友。
第一个小朋友得到 3 颗糖。
第二个小朋友也得到 3 颗糖。
第三个小朋友也得到 3 颗糖。
你一共分出去了 3 + 3 + 3 = 9 颗糖。
这时，你发现你手里还有 10 9 = 1 颗糖，没法再分给小朋友了，因为不够每人再给一颗。
这剩下的这 1 颗糖，在数学里，我们就叫它“余数”。而你分出去的每人 3 颗糖，就叫做“商”。而你最开始总共有 10 颗糖，就是我们要“被除的数”。你想分给 3 个小朋友，这个“3”就是“除数”。
所以，我们可以把这个过程记成：
被除的数 = 商 × 除数 + 余数
用我们分糖果的例子就是：
10 颗糖 = 3 颗糖/人 × 3 人 + 1 颗糖
你看，这不就对上了吗？
现在，我们把这个“分糖果”的道理用到数字上，就成了数学里的“余数定理”。
余数定理说的就是，当我们用一个数（比如我们刚开始的 10 颗糖，也就是被除的数）除以另一个数（比如我们分给 3 个小朋友，也就是除数）的时候，会得到一个结果（商），同时还会“剩下”一些，这就是余数。
那为什么叫做“余数定理”呢？它有什么特别之处呢？
关键就在于这个“定理”二字，它说明这不仅仅是巧合，而是永远成立的规律。无论你用多大的数字去“分”，总会有一个“余数”，而且这个余数是有讲究的：
余数一定比“除数”（你想分的那个数）小。
就像你分糖果，你不能剩下 3 颗糖还说这是余数，因为剩下的 3 颗还可以再给每个人一颗，这样就不算分完了。所以，余数永远是比你想分的那个数小一个级别的。
在数学上，当我们说“被除数 A 除以除数 B，得到商 Q，余数是 R”，记作 A ÷ B = Q … R，这个 R 就一定满足：
0 ≤ R < |B|
（这里加个绝对值是因为除数可以是负数，但我们平时分东西都是正数，所以可以暂时理解为 R < B）。
我们再来举个稍微复杂点的例子，让大家更明白。
假设你现在有 23 个苹果，想平均分给 5 个小朋友。
每个小朋友可以得到几个？ 23 ÷ 5 = 4 （商）
一共分出去了多少？ 4 × 5 = 20 个
还剩下多少？ 23 20 = 3 个（余数）
所以，我们就可以说：23 除以 5，商是 4，余数是 3。
这里，余数 3 是小于除数 5 的，符合规则。
余数定理的好处在哪呢？
它不光是告诉我们分东西会剩下多少，在数学里还有很多用处，虽然平时大家不太会直接用到这个名字，但它背后的原理无处不在。
比如，当你遇到一些比较难直接计算的问题时，有时可以通过“取余数”的方式来简化。举个简单的例子：
如果你想知道一个数除以 7 的余数，你可以先把它拆开，比如 50 除以 7。
你可以知道 49 是 7 的倍数 (7 x 7 = 49)。
那么 50 就是 49 再加 1。
所以 50 除以 7，余数就是 1。
这种方法其实就是利用了余数的性质。你也可以直接算 50 ÷ 7 = 7 … 1。
再比如，判断一个数是奇数还是偶数，其实就是在看它除以 2 的余数。
如果一个数除以 2 余数是 0，那它就是偶数（比如 4 ÷ 2 = 2 … 0）。
如果一个数除以 2 余数是 1，那它就是奇数（比如 5 ÷ 2 = 2 … 1）。
总结一下，用最简单的话来说：
余数定理就是关于“除法剩下多少”的一条规律。它告诉我们，当你用一个数去“分”另一个数时，总会有一个剩下的“余数”，而且这个余数永远比你用来“分”的那个数小。这个规律适用于所有的整数除法，非常可靠！
所以，下次你再分东西，或者看到除法运算，想想那个“分糖果”的场景，就能理解余数定理啦！它其实就是我们生活中的一种朴素的数学思想。
咱们先从最最简单的例子说起，就像分糖果一样。
想象一下，你有 10 颗糖果，你想平均分给 3 个小朋友。
第一个小朋友得到 3 颗糖。
第二个小朋友也得到 3 颗糖。
第三个小朋友也得到 3 颗糖。
你一共分出去了 3 + 3 + 3 = 9 颗糖。
这时，你发现你手里还有 10 9 = 1 颗糖，没法再分给小朋友了，因为不够每人再给一颗。
这剩下的这 1 颗糖，在数学里，我们就叫它“余数”。而你分出去的每人 3 颗糖，就叫做“商”。而你最开始总共有 10 颗糖，就是我们要“被除的数”。你想分给 3 个小朋友，这个“3”就是“除数”。
所以，我们可以把这个过程记成：
被除的数 = 商 × 除数 + 余数
用我们分糖果的例子就是：
10 颗糖 = 3 颗糖/人 × 3 人 + 1 颗糖
你看，这不就对上了吗？
现在，我们把这个“分糖果”的道理用到数字上，就成了数学里的“余数定理”。
余数定理说的就是，当我们用一个数（比如我们刚开始的 10 颗糖，也就是被除的数）除以另一个数（比如我们分给 3 个小朋友，也就是除数）的时候，会得到一个结果（商），同时还会“剩下”一些，这就是余数。
那为什么叫做“余数定理”呢？它有什么特别之处呢？
关键就在于这个“定理”二字，它说明这不仅仅是巧合，而是永远成立的规律。无论你用多大的数字去“分”，总会有一个“余数”，而且这个余数是有讲究的：
余数一定比“除数”（你想分的那个数）小。
就像你分糖果，你不能剩下 3 颗糖还说这是余数，因为剩下的 3 颗还可以再给每个人一颗，这样就不算分完了。所以，余数永远是比你想分的那个数小一个级别的。
在数学上，当我们说“被除数 A 除以除数 B，得到商 Q，余数是 R”，记作 A ÷ B = Q … R，这个 R 就一定满足：
0 ≤ R < |B|
（这里加个绝对值是因为除数可以是负数，但我们平时分东西都是正数，所以可以暂时理解为 R < B）。
我们再来举个稍微复杂点的例子，让大家更明白。
假设你现在有 23 个苹果，想平均分给 5 个小朋友。
每个小朋友可以得到几个？ 23 ÷ 5 = 4 （商）
一共分出去了多少？ 4 × 5 = 20 个
还剩下多少？ 23 20 = 3 个（余数）
所以，我们就可以说：23 除以 5，商是 4，余数是 3。
这里，余数 3 是小于除数 5 的，符合规则。
余数定理的好处在哪呢？
它不光是告诉我们分东西会剩下多少，在数学里还有很多用处，虽然平时大家不太会直接用到这个名字，但它背后的原理无处不在。
比如，当你遇到一些比较难直接计算的问题时，有时可以通过“取余数”的方式来简化。举个简单的例子：
如果你想知道一个数除以 7 的余数，你可以先把它拆开，比如 50 除以 7。
你可以知道 49 是 7 的倍数 (7 x 7 = 49)。
那么 50 就是 49 再加 1。
所以 50 除以 7，余数就是 1。
这种方法其实就是利用了余数的性质。你也可以直接算 50 ÷ 7 = 7 … 1。
再比如，判断一个数是奇数还是偶数，其实就是在看它除以 2 的余数。
如果一个数除以 2 余数是 0，那它就是偶数（比如 4 ÷ 2 = 2 … 0）。
如果一个数除以 2 余数是 1，那它就是奇数（比如 5 ÷ 2 = 2 … 1）。
总结一下，用最简单的话来说：
余数定理就是关于“除法剩下多少”的一条规律。它告诉我们，当你用一个数去“分”另一个数时，总会有一个剩下的“余数”，而且这个余数永远比你用来“分”的那个数小。这个规律适用于所有的整数除法，非常可靠！
所以，下次你再分东西，或者看到除法运算，想想那个“分糖果”的场景，就能理解余数定理啦！它其实就是我们生活中的一种朴素的数学思想。
网友意见
请在问题描述里添加“余数定理”的内容，不同的书对同一个定理称呼可能不同。
正式回答如下。
事实上，这个定理(我觉得叫因式定理更贴切一些)就是下面这个结论的直接推论：
对于符号x,y与一元多项式f，一定有f(x)-f(y)被x-y整除。(原因是x^n-y^n被x-y整除。)更通俗的解释我也想不出来了，毕竟这是代数学最基本的一批定理之一了。
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