沃罗诺伊图（Voronoi Diagram，也称作Dirichlet tessellation，狄利克雷镶嵌 ）是怎样的？
沃罗诺伊图，又称狄利克雷镶嵌，是一种非常直观且应用广泛的空间划分方式。它的核心思想是：在一个平面（或者更高维的空间）上，给定一组离散的点，我们想要把整个空间划分成若干个区域，使得每个区域里的所有点，都离这个区域的“代表点”（也就是我们给定的那个点）比离其他任何代表点都要近。
想象一下，你在一片空地上插了几个旗杆，每个旗杆代表一个“势力范围”。沃罗诺伊图画出来就是这些势力范围的边界线。任何一块土地，只要它离某个旗杆最近，那块地就属于那个旗杆的势力范围。
具体来说，沃罗诺伊图是如何构建的呢？
1. 选取点（也称为种子点、生成元）： 首先，我们需要在你的画布（平面）上随机或者有目的地放置一些点。这些点就是未来沃罗诺伊图的“中心”。
2. 划定势力范围： 对于平面上的任何一个点 P，我们都去计算它到每一个种子点的距离。然后，P 就属于距离它最近的那个种子点的势力范围。
3. 确定边界： 关键在于，当一个点 P 到两个种子点 A 和 B 的距离相等时，它就位于 A 和 B 的“交界处”。所有到 A 和 B 距离相等的点的集合，构成了一条线段。这条线段就是 A 和 B 两个势力范围的边界。
边界的本质： 这条边界线上的每一个点，到两个种子点的距离都相等。这条线恰好是连接这两个种子点的线段的垂直平分线。
沃罗诺伊单元： 每个种子点所对应的区域，被称为它的沃罗诺伊单元（Voronoi Cell）或沃罗诺伊多边形（Voronoi Polygon）。
4. 整体构成： 将所有种子点的沃罗诺伊单元画出来，就形成了一幅完整的沃罗诺伊图。这幅图就像一个拼图，将整个平面分割成了互不重叠的区域，每个区域都与一个种子点唯一对应，并且区域内的点都离自己的种子点最近。
沃罗诺伊图的一些有趣特征：
凸多边形： 在二维平面上，每个沃罗诺伊单元都是一个凸多边形。这意味着多边形内部的任意两点连线，都会完全包含在多边形内部。
无限延伸： 如果你的点是在一个无限大的平面上，那么边缘的沃罗诺伊单元会向外无限延伸，形成开放的区域。如果是在一个有限的边界内生成，边界处的单元会被裁剪。
共享顶点： 沃罗诺伊图的顶点（也就是多边形的角）有一个非常特殊的性质：每一个顶点都是至少三个沃罗诺伊单元的公共顶点。更重要的是，这些公共顶点到它们所关联的三个（或更多）种子点的距离是相等的。这通常意味着，以这几个种子点为圆心，以它们到公共顶点的距离为半径画圆，这些圆会交于同一个点。
与三角剖分的关联： 沃罗诺伊图与另外一种重要的几何结构——德劳内三角剖分（Delaunay Triangulation）——是“对偶”关系。如果把沃罗诺伊图的种子点连接起来，形成一个三角形网络，这个网络就是德劳内三角剖分。反过来，德劳内三角剖分的三角形外接圆的圆心，恰好是沃罗诺伊图的顶点。它们就像是同一枚硬币的两面。
沃罗诺伊图有什么用？
它的应用范围非常广，远不止是好看的几何图形：
空间划分与管理：
服务区域划分： 比如，城市规划中，用来划分超市、医院、消防站等服务设施的服务范围。每个服务点就是一个种子点，沃罗诺伊图就告诉你，某个区域的居民去哪个服务点最近。
网络通信： 划分无线基站的覆盖范围。
数据分析与可视化：
近邻搜索： 快速找到离某个查询点最近的已知点。
数据插值： 根据已知点的值，预测未知点的值。例如，基于多个气象站的温度数据，预测某个区域的温度。
聚类分析： 某些聚类算法会利用沃罗诺伊图的思想来划分数据点。
科学研究：
晶体学： 分析晶体结构，研究原子间的相互作用。
生物学： 研究植物叶片脉络、细胞生长等。
地理学： 分析地形、降雨量分布等。
机器人学： 规划机器人路径，避开障碍物。
计算机图形学：
纹理生成： 创造各种图案和纹理。
地形生成： 模拟自然景观。
其他： 比如，用来设计蜂窝网络、进行土地分配、甚至模拟行星碰撞的碰撞检测。
总而言之，沃罗诺伊图提供了一种非常有逻辑、基于距离的对空间进行划分的方法。它将一个抽象的“最近邻”关系，转化成了清晰可见的几何边界，使得我们在处理涉及空间分布的问题时，能够有一个直观且强大的工具。
想象一下，你在一片空地上插了几个旗杆，每个旗杆代表一个“势力范围”。沃罗诺伊图画出来就是这些势力范围的边界线。任何一块土地，只要它离某个旗杆最近，那块地就属于那个旗杆的势力范围。
具体来说，沃罗诺伊图是如何构建的呢？
1. 选取点（也称为种子点、生成元）： 首先，我们需要在你的画布（平面）上随机或者有目的地放置一些点。这些点就是未来沃罗诺伊图的“中心”。
2. 划定势力范围： 对于平面上的任何一个点 P，我们都去计算它到每一个种子点的距离。然后，P 就属于距离它最近的那个种子点的势力范围。
3. 确定边界： 关键在于，当一个点 P 到两个种子点 A 和 B 的距离相等时，它就位于 A 和 B 的“交界处”。所有到 A 和 B 距离相等的点的集合，构成了一条线段。这条线段就是 A 和 B 两个势力范围的边界。
边界的本质： 这条边界线上的每一个点，到两个种子点的距离都相等。这条线恰好是连接这两个种子点的线段的垂直平分线。
沃罗诺伊单元： 每个种子点所对应的区域，被称为它的沃罗诺伊单元（Voronoi Cell）或沃罗诺伊多边形（Voronoi Polygon）。
4. 整体构成： 将所有种子点的沃罗诺伊单元画出来，就形成了一幅完整的沃罗诺伊图。这幅图就像一个拼图，将整个平面分割成了互不重叠的区域，每个区域都与一个种子点唯一对应，并且区域内的点都离自己的种子点最近。
沃罗诺伊图的一些有趣特征：
凸多边形： 在二维平面上，每个沃罗诺伊单元都是一个凸多边形。这意味着多边形内部的任意两点连线，都会完全包含在多边形内部。
无限延伸： 如果你的点是在一个无限大的平面上，那么边缘的沃罗诺伊单元会向外无限延伸，形成开放的区域。如果是在一个有限的边界内生成，边界处的单元会被裁剪。
共享顶点： 沃罗诺伊图的顶点（也就是多边形的角）有一个非常特殊的性质：每一个顶点都是至少三个沃罗诺伊单元的公共顶点。更重要的是，这些公共顶点到它们所关联的三个（或更多）种子点的距离是相等的。这通常意味着，以这几个种子点为圆心，以它们到公共顶点的距离为半径画圆，这些圆会交于同一个点。
与三角剖分的关联： 沃罗诺伊图与另外一种重要的几何结构——德劳内三角剖分（Delaunay Triangulation）——是“对偶”关系。如果把沃罗诺伊图的种子点连接起来，形成一个三角形网络，这个网络就是德劳内三角剖分。反过来，德劳内三角剖分的三角形外接圆的圆心，恰好是沃罗诺伊图的顶点。它们就像是同一枚硬币的两面。
沃罗诺伊图有什么用？
它的应用范围非常广，远不止是好看的几何图形：
空间划分与管理：
服务区域划分： 比如，城市规划中，用来划分超市、医院、消防站等服务设施的服务范围。每个服务点就是一个种子点，沃罗诺伊图就告诉你，某个区域的居民去哪个服务点最近。
网络通信： 划分无线基站的覆盖范围。
数据分析与可视化：
近邻搜索： 快速找到离某个查询点最近的已知点。
数据插值： 根据已知点的值，预测未知点的值。例如，基于多个气象站的温度数据，预测某个区域的温度。
聚类分析： 某些聚类算法会利用沃罗诺伊图的思想来划分数据点。
科学研究：
晶体学： 分析晶体结构，研究原子间的相互作用。
生物学： 研究植物叶片脉络、细胞生长等。
地理学： 分析地形、降雨量分布等。
机器人学： 规划机器人路径，避开障碍物。
计算机图形学：
纹理生成： 创造各种图案和纹理。
地形生成： 模拟自然景观。
其他： 比如，用来设计蜂窝网络、进行土地分配、甚至模拟行星碰撞的碰撞检测。
总而言之，沃罗诺伊图提供了一种非常有逻辑、基于距离的对空间进行划分的方法。它将一个抽象的“最近邻”关系，转化成了清晰可见的几何边界，使得我们在处理涉及空间分布的问题时，能够有一个直观且强大的工具。
网友意见
最好有图说明。
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