李群的伴随表示如何理解？
好的，咱们来聊聊李群的伴随表示，试着用一种更接地气、更有人情味的方式来理解它，抛开那些冷冰冰的数学符号，看看它到底能告诉我们些什么。
想象一下，你有一群特别厉害的“朋友”，他们各自有自己的“能量”和“作用方式”。这些朋友不是一群散兵游勇，他们之间有着紧密的联系，并且他们能够互相影响，形成一种动态的平衡。这群朋友，咱们就姑且称之为“李群”。
李群是什么？
简单来说，李群就是一类“光滑”的群。你可能知道群，比如整数加法群，或者旋转群。李群更进一步，它不仅仅满足群的运算规则（封闭性、结合律、单位元、逆元），它还具备一种“连续性”或者说“光滑性”。你可以把这个“光滑”理解成，群的元素是可以连续变化的，就像你在一个光滑的曲面上移动一样，没有突然的跳跃。
比如，旋转群 SO(3) 就是一个典型的李群。你可以想象一个球体，你可以连续地绕着不同的轴进行旋转，每一次旋转都可以看作是群中的一个元素。你可以从一个旋转慢慢过渡到另一个旋转，这个过程是光滑的。
伴随表示：群作用在自身身上的“镜像”
现在，咱们来看“伴随表示”。它听起来有点拗口，但它的核心思想其实很简单：看看这个李群，它自己是如何作用在它自己身上的。
怎么理解“作用在自身身上”？
想象一下，你有一个李群 $G$。这个群 $G$ 里的每一个元素 $g$ 都可以看作是一种“变换”或者“操作”。现在，咱们想要知道，当 $g$ 作用在 $G$ 的其他元素 $h$ 上时，会发生什么？
这里就需要区分两种“作用”：
1. 左乘作用 (Left Multiplication): 这是最直接的，就是 $g$ 直接“推着” $h$ 走，变成 $gh$。这种作用很简单，但它没有揭示出群内部的“结构”或者“张力”。
2. 伴随表示 (Adjoint Representation): 这才是咱们今天要聊的重点。伴随表示不是简单地把 $h$ 变成 $gh$，而是“利用” $g$ 来“变换” $h$ 的“表现形式”。
打个比方，你想知道一个舞者（$h$）在跳舞（在群 $G$ 里活动）的时候，如果有一个教练（$g$）在旁边指导他，这个舞者的舞姿会变成什么样？
伴随表示就是说，教练 $g$ 并不是直接“变成”舞者，而是“改变了舞者跳舞的视角”。
具体来说，伴随表示中的“作用”是这样的：
对于群中的任意元素 $h in G$，元素 $g in G$ 的伴随作用会将 $h$ 变成 $g h g^{1}$。
这个 $g h g^{1}$ 有什么特别的呢？
它还是群 $G$ 中的一个元素： 因为 $g$, $h$, $g^{1}$ 都在 $G$ 里，按照群的封闭性，它们的乘积 $ghg^{1}$ 也一定在 $G$ 里。所以，伴随作用把 $G$ 的元素“映射”到了 $G$ 的元素里面，而且这个映射本身也是光滑的（这是李群的性质决定的）。
它保留了“本质”： 为什么我们要用 $ghg^{1}$ 而不是 $gh$？
想象一下，你有一辆自行车，你想知道给它涂上不同的颜色（代表不同的群元素 $g$）后，它看起来有什么变化。
如果你直接把自行车染成蓝色（$gh$），它就是一辆蓝色的自行车。
但如果你是“先让自行车变成红色”（$h$），然后“把周围的环境变成蓝色”（$g$ 作用在“环境”上），再“把环境恢复原样”（$g^{1}$ 作用在“环境”上），最后“再看看这辆红色自行车在蓝色环境中的样子”（$ghg^{1}$）。
这里，$ghg^{1}$ 实际上是在“改变我们观察 $h$ 的参照系”。就好比你站在一个旋转的平台上，你看到静止的物体在转动。但如果你自己也跟着平台一起转动，你看到的物体可能就是静止的了。
$g h g^{1}$ 就是用 $g$ 变换后的“视角”来看待 $h$ 的“行为”。它反映了，当群的元素 $h$ 在群的“坐标系”被 $g$ 改变了之后，它“看起来”是什么样的。
伴随表示就是一个“线性映射”
更进一步，我们知道李群 $G$ 实际上对应着一个李代数 $mathfrak{g}$。李代数是李群在单位元附近的“切空间”，它是一个向量空间，并且上面有一个“李括号”运算。
伴随表示，不仅仅是作用在李群的元素上，它还可以作用在李代数的元素上。
如果 $g in G$，那么 $g$ 对应着李代数 $mathfrak{g}$ 中的一个元素，我们通常记作 $ ext{Ad}_g$。这个 $ ext{Ad}_g$ 就是一个线性映射，它作用在李代数 $mathfrak{g}$ 的元素 $X$ 上，变成 $g X g^{1}$。
这里的 $X$ 是李代数中的一个向量，比如一个速度或者一个微小扰动。$g$ 就像是一个“全局的变换”，它把李代数中的向量 $X$ “扭转”或者“拉伸”了，变成了 $g X g^{1}$。
想象一下，李代数 $mathfrak{g}$ 是一张网，网格里的每个点代表了群 $G$ 中一个元素的“方向”或者“运动趋势”。伴随表示 $ ext{Ad}_g$ 就是用 $g$ 这个“全局变换”来“重新调整这张网的网格”，看看原先在 $X$ 位置的“趋势”，在新的网格下会变成什么样。
为什么伴随表示这么重要？
1. 揭示群的内部结构： 伴随表示是理解李群内部对称性、子群结构以及群元素之间相互作用的关键。它就像是观察一个精密的机器，看看它内部的齿轮是如何互相咬合、互相传递动力的。
2. 研究李代数： 伴随表示提供了研究李代数结构的重要工具，特别是李括号是如何被群元素“变换”的。李代数上的伴随作用（记作 $ ext{ad}_X$）定义了李代数上的一个重要运算，也就是伴随括号。对于 $X, Y in mathfrak{g}$，$ ext{ad}_X(Y) = [X, Y]$。这个伴随括号非常重要，它包含了李代数最重要的结构信息。
3. 分类李群： 很多李群的性质，比如它的中心（commutation properties），都可以通过伴随表示来分析。例如，如果一个群的伴随表示“忠实”（faithful），也就是说不同的群元素对应着不同的伴随作用，那么这个群就有很多“有趣的”结构。
4. 几何解释： 在几何上，伴随表示描述了群 $G$ 如何作用在它自身的“切空间”（也就是李代数 $mathfrak{g}$）上。这种作用可以理解为群元素对“切向量”进行的“重整化”或者“参照系变换”。
举个例子：旋转群 SO(3)
我们再用旋转群 SO(3) 来具体说明一下。
SO(3) 是三维空间中的旋转构成的群。
它的李代数 $mathfrak{so}(3)$ 是所有三维反对称矩阵构成的向量空间。
我们可以选取一组基，比如 $J_x, J_y, J_z$，它们对应着绕 $x, y, z$ 轴的无穷小旋转。
现在，考虑一个绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 的元素 $R_z(2pi)$，它实际上就是单位元。
如果 $g$ 是一个任意的旋转，那么 $g J_x g^{1}$ 会是什么？
它其实就是 $J_x$ 绕着 $g$ 指定的轴旋转后的结果！
也就是说，伴随表示 $ ext{Ad}_g$ 告诉我们，当我们将观察“绕 $x$ 轴旋转”的参照系，通过 $g$ 旋转后，这个“绕 $x$ 轴旋转”的趋势会变成什么样。
总结一下，伴随表示：
是一种“内自同构”： 它不是将群 $G$ 的元素映射到另一个群，而是将 $G$ 的元素映射回 $G$ 自身，并且是一种“光滑”的映射。
是“变化参照系”的变换： $g mapsto ext{Ad}_g$，$h mapsto g h g^{1}$，这个过程就是用 $g$ 提供的“新视角”来观察 $h$ 的“行为”。
是理解李群“动力学”和“内部结构”的窗口： 它揭示了群元素之间如何相互“影响”和“扭转”。
在李代数层面，它表现为线性映射，定义了重要的伴随括号。
所以，下次再听到“伴随表示”，不妨想想那个教练 $g$ 如何通过改变视角来“重塑”舞者 $h$ 的舞姿，或者想一下全局变换 $g$ 如何“重新校准”我们对李代数中“方向”的理解。它不是什么神秘莫测的概念，而是李群用自身元素来“审视”和“塑造”自身的一种深刻方式。
想象一下，你有一群特别厉害的“朋友”，他们各自有自己的“能量”和“作用方式”。这些朋友不是一群散兵游勇，他们之间有着紧密的联系，并且他们能够互相影响，形成一种动态的平衡。这群朋友，咱们就姑且称之为“李群”。
李群是什么？
简单来说，李群就是一类“光滑”的群。你可能知道群，比如整数加法群，或者旋转群。李群更进一步，它不仅仅满足群的运算规则（封闭性、结合律、单位元、逆元），它还具备一种“连续性”或者说“光滑性”。你可以把这个“光滑”理解成，群的元素是可以连续变化的，就像你在一个光滑的曲面上移动一样，没有突然的跳跃。
比如，旋转群 SO(3) 就是一个典型的李群。你可以想象一个球体，你可以连续地绕着不同的轴进行旋转，每一次旋转都可以看作是群中的一个元素。你可以从一个旋转慢慢过渡到另一个旋转，这个过程是光滑的。
伴随表示：群作用在自身身上的“镜像”
现在，咱们来看“伴随表示”。它听起来有点拗口，但它的核心思想其实很简单：看看这个李群，它自己是如何作用在它自己身上的。
怎么理解“作用在自身身上”？
想象一下，你有一个李群 $G$。这个群 $G$ 里的每一个元素 $g$ 都可以看作是一种“变换”或者“操作”。现在，咱们想要知道，当 $g$ 作用在 $G$ 的其他元素 $h$ 上时，会发生什么？
这里就需要区分两种“作用”：
1. 左乘作用 (Left Multiplication): 这是最直接的，就是 $g$ 直接“推着” $h$ 走，变成 $gh$。这种作用很简单，但它没有揭示出群内部的“结构”或者“张力”。
2. 伴随表示 (Adjoint Representation): 这才是咱们今天要聊的重点。伴随表示不是简单地把 $h$ 变成 $gh$，而是“利用” $g$ 来“变换” $h$ 的“表现形式”。
打个比方，你想知道一个舞者（$h$）在跳舞（在群 $G$ 里活动）的时候，如果有一个教练（$g$）在旁边指导他，这个舞者的舞姿会变成什么样？
伴随表示就是说，教练 $g$ 并不是直接“变成”舞者，而是“改变了舞者跳舞的视角”。
具体来说，伴随表示中的“作用”是这样的：
对于群中的任意元素 $h in G$，元素 $g in G$ 的伴随作用会将 $h$ 变成 $g h g^{1}$。
这个 $g h g^{1}$ 有什么特别的呢？
它还是群 $G$ 中的一个元素： 因为 $g$, $h$, $g^{1}$ 都在 $G$ 里，按照群的封闭性，它们的乘积 $ghg^{1}$ 也一定在 $G$ 里。所以，伴随作用把 $G$ 的元素“映射”到了 $G$ 的元素里面，而且这个映射本身也是光滑的（这是李群的性质决定的）。
它保留了“本质”： 为什么我们要用 $ghg^{1}$ 而不是 $gh$？
想象一下，你有一辆自行车，你想知道给它涂上不同的颜色（代表不同的群元素 $g$）后，它看起来有什么变化。
如果你直接把自行车染成蓝色（$gh$），它就是一辆蓝色的自行车。
但如果你是“先让自行车变成红色”（$h$），然后“把周围的环境变成蓝色”（$g$ 作用在“环境”上），再“把环境恢复原样”（$g^{1}$ 作用在“环境”上），最后“再看看这辆红色自行车在蓝色环境中的样子”（$ghg^{1}$）。
这里，$ghg^{1}$ 实际上是在“改变我们观察 $h$ 的参照系”。就好比你站在一个旋转的平台上，你看到静止的物体在转动。但如果你自己也跟着平台一起转动，你看到的物体可能就是静止的了。
$g h g^{1}$ 就是用 $g$ 变换后的“视角”来看待 $h$ 的“行为”。它反映了，当群的元素 $h$ 在群的“坐标系”被 $g$ 改变了之后，它“看起来”是什么样的。
伴随表示就是一个“线性映射”
更进一步，我们知道李群 $G$ 实际上对应着一个李代数 $mathfrak{g}$。李代数是李群在单位元附近的“切空间”，它是一个向量空间，并且上面有一个“李括号”运算。
伴随表示，不仅仅是作用在李群的元素上，它还可以作用在李代数的元素上。
如果 $g in G$，那么 $g$ 对应着李代数 $mathfrak{g}$ 中的一个元素，我们通常记作 $ ext{Ad}_g$。这个 $ ext{Ad}_g$ 就是一个线性映射，它作用在李代数 $mathfrak{g}$ 的元素 $X$ 上，变成 $g X g^{1}$。
这里的 $X$ 是李代数中的一个向量，比如一个速度或者一个微小扰动。$g$ 就像是一个“全局的变换”，它把李代数中的向量 $X$ “扭转”或者“拉伸”了，变成了 $g X g^{1}$。
想象一下，李代数 $mathfrak{g}$ 是一张网，网格里的每个点代表了群 $G$ 中一个元素的“方向”或者“运动趋势”。伴随表示 $ ext{Ad}_g$ 就是用 $g$ 这个“全局变换”来“重新调整这张网的网格”，看看原先在 $X$ 位置的“趋势”，在新的网格下会变成什么样。
为什么伴随表示这么重要？
1. 揭示群的内部结构： 伴随表示是理解李群内部对称性、子群结构以及群元素之间相互作用的关键。它就像是观察一个精密的机器，看看它内部的齿轮是如何互相咬合、互相传递动力的。
2. 研究李代数： 伴随表示提供了研究李代数结构的重要工具，特别是李括号是如何被群元素“变换”的。李代数上的伴随作用（记作 $ ext{ad}_X$）定义了李代数上的一个重要运算，也就是伴随括号。对于 $X, Y in mathfrak{g}$，$ ext{ad}_X(Y) = [X, Y]$。这个伴随括号非常重要，它包含了李代数最重要的结构信息。
3. 分类李群： 很多李群的性质，比如它的中心（commutation properties），都可以通过伴随表示来分析。例如，如果一个群的伴随表示“忠实”（faithful），也就是说不同的群元素对应着不同的伴随作用，那么这个群就有很多“有趣的”结构。
4. 几何解释： 在几何上，伴随表示描述了群 $G$ 如何作用在它自身的“切空间”（也就是李代数 $mathfrak{g}$）上。这种作用可以理解为群元素对“切向量”进行的“重整化”或者“参照系变换”。
举个例子：旋转群 SO(3)
我们再用旋转群 SO(3) 来具体说明一下。
SO(3) 是三维空间中的旋转构成的群。
它的李代数 $mathfrak{so}(3)$ 是所有三维反对称矩阵构成的向量空间。
我们可以选取一组基，比如 $J_x, J_y, J_z$，它们对应着绕 $x, y, z$ 轴的无穷小旋转。
现在，考虑一个绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 的元素 $R_z(2pi)$，它实际上就是单位元。
如果 $g$ 是一个任意的旋转，那么 $g J_x g^{1}$ 会是什么？
它其实就是 $J_x$ 绕着 $g$ 指定的轴旋转后的结果！
也就是说，伴随表示 $ ext{Ad}_g$ 告诉我们，当我们将观察“绕 $x$ 轴旋转”的参照系，通过 $g$ 旋转后，这个“绕 $x$ 轴旋转”的趋势会变成什么样。
总结一下，伴随表示：
是一种“内自同构”： 它不是将群 $G$ 的元素映射到另一个群，而是将 $G$ 的元素映射回 $G$ 自身，并且是一种“光滑”的映射。
是“变化参照系”的变换： $g mapsto ext{Ad}_g$，$h mapsto g h g^{1}$，这个过程就是用 $g$ 提供的“新视角”来观察 $h$ 的“行为”。
是理解李群“动力学”和“内部结构”的窗口： 它揭示了群元素之间如何相互“影响”和“扭转”。
在李代数层面，它表现为线性映射，定义了重要的伴随括号。
所以，下次再听到“伴随表示”，不妨想想那个教练 $g$ 如何通过改变视角来“重塑”舞者 $h$ 的舞姿，或者想一下全局变换 $g$ 如何“重新校准”我们对李代数中“方向”的理解。它不是什么神秘莫测的概念，而是李群用自身元素来“审视”和“塑造”自身的一种深刻方式。
网友意见
题主应该问的是伴随表示而不是伴随矩阵，李群的表示从几何的角度去理解尤其的自然，在这里安利一下。
1 李群的表示：
首先我们研究李群的表示是因为李群可以变得相当的抽象，所以我们需要看李群中的元素作用到某个流形（或者就是某个空间）得到什么结果，这种从李群的功能角度去看问题可以把抽象的李群进行简化。首先介绍李变换群的概念： . 如果固定了元素g,我们可以得到一个的微分同胚映射，这个微分同胚映射我们叫做李变换群. 特别的，如果作用到的流形M还是一个线性空间V, 我们可以看出这个映射的特征是从李群G到一个线性变换的映射，线性变换就是矩阵，也就是说我们用矩阵表示了李群的性质，就叫做G的表示， V叫做表示空间。
2 李群的伴随表示：
所以我们要寻找一个李群的表示，也就是要寻找一个线性空间作为一个表示空间。如果李群本身就是一个矩阵群的话，当然它本身也就构成了一个表示，叫做基本表示。但是除了基本表示，我们还能找到什么表示呢？ 你可以想到对于任意的李群有一个现成的线性表示空间，那就是这个李群的李代数。ps：李代数就是李群恒等元的切空间。
先说李群的伴随表示的定义：
从李群G到其李代数上的一个线性变换叫做这个李群的伴随表示。
下面我们进行一个简单的说明：
给定李代数中的一个元素A，我们可以由它通过指数映射生成李群中的一个单参子群， (一般的书中可能会多一个i来保证厄密性，不过这只是记号的问题）。
因为它是李群的元素，对于G，我们有一个自同构的映射，对于李群中的任意元素g,
.
如果让t作为参数，构成了一条在G上的另外的一条单参子群。我们求它的单位元上的矢量就可以得到另外一个李代数的元素，
第一步用到微分几何中的一条定理（曲线像的切矢等于切矢的像）， 第二步我们就是引入了记号Ad。 也就是说自同构映射让李代数A转了一转。
以上我们就得到了李代数上的一个线性映射. 所以根据表示的定义Ad也就成为了李群的一个表示，叫做伴随表示。
关于为什么要寻找伴随表示，我觉得和wigner定理有点关系，wigner定理说一个粒子对应于对称群的一个表示，为了在一个对称理论中加入更多的粒子，就要寻找更多的表示，如果寻找到了伴随表示，就可以将一部分的粒子放在伴随表示中，起到了一个扩充的作用，实际上量子场论就是这么干的。其它的因为我量子场的基础不好，就不多说了。
这种几何的理解可以和其它理解中（例如使用结构常数）完美的对应，并且更加直观和容易。所以推荐这么理解一下。
参考资料： 梁灿彬 《微分几何与广义相对论》中册附录G
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