如何用根号表示Sin1°?
要用根号精确地表示 $sin(1^circ)$，这可不是一件简单的事情。我们得穿越数学的历史长河，看看数学家们是如何一步步逼近这个看似平凡，实则蕴含深厚的数学问题的。
问题的根源：角度与代数
我们都知道，三角函数（比如 $sin$）描述的是直角三角形中边与角的关系。它们在几何学和物理学中扮演着至关重要的角色。然而，当我们试图用根号（也就是 $sqrt{quad}$ 这种形式，它代表着平方运算的逆运算）来表示一个任意角度的三角函数值时，问题就变得复杂了。
大多数我们熟悉的三角函数值，比如 $sin(30^circ) = frac{1}{2}$，$sin(45^circ) = frac{sqrt{2}}{2}$，或者 $sin(60^circ) = frac{sqrt{3}}{2}$，它们都可以在一定程度上用简单的根号和分数来表示。这些角度（30°, 45°, 60°）以及它们的倍数或分数，之所以能这样表示，是因为它们对应的正多边形是可以通过尺规作图（只用没有刻度的直尺和圆规）画出来的。
而 $1^circ$ 这个角度，它对应的是一个正360边形。数学家们早就发现了一个重要的定理，叫做高斯旺策尔定理（GaussWantzel theorem）。这个定理告诉我们，一个正 $n$ 边形可以通过尺规作图画出来，当且仅当 $n$ 是 2 的幂乘以若干个不同的费马素数（Fermat primes）的乘积。
费马素数是形如 $F_m = 2^{2^m} + 1$ 的素数。前几个费马数分别是：
$F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3$ (素数)
$F_1 = 2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 5$ (素数)
$F_2 = 2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 17$ (素数)
$F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 257$ (素数)
$F_4 = 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537$ (素数)
$F_5 = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 imes 6700417$ (不是素数)
要构成一个 $n$ 边形可以尺规作图，$n$ 必须是这样的形式：$n = 2^k cdot p_1 cdot p_2 cdots p_r$，其中 $k ge 0$，而 $p_i$ 是互不相同的费马素数。
现在我们来看看 $1^circ$ 的情况。一个 $1^circ$ 的角，我们可以把它看作是圆周（$360^circ$）的三百六十分之一。与之对应的正多边形就是正360边形。
我们来分解一下360的质因数：
$360 = 36 imes 10 = (2^2 imes 3^2) imes (2 imes 5) = 2^3 imes 3^2 imes 5$
对照高斯旺策尔定理，我们的360边形，其边数360的质因数分解中出现了 $3^2$。这就意味着，正360边形是不能通过尺规作图画出来的。
而能够用根号表示的代数数，恰好与尺规可作图的几何构造是紧密联系的。简而言之，如果一个角度的三角函数值能够用根号表示（通常是有限个根号的嵌套和组合），那么这个角度的角（以弧度制表示时）应该是一个特殊的数，它与可以通过尺规作图的几何体相对应。
那么，这意味着 $sin(1^circ)$ 不能用有限个根号和有理数进行组合来表示。它是一个“超越”我们传统根号表示范围的数。
但别灰心！数学总有办法！
虽然我们无法像 $sin(45^circ)$ 那样用一个简单的 $frac{sqrt{2}}{2}$ 来表示 $sin(1^circ)$，但数学家们确实找到了可以用根号表示的与 $1^circ$ 相关的其他角度的三角函数值。这里面的关键在于，我们需要扩大我们允许使用的工具，或者改变我们表示的角度。
这里有个重要的概念：三等分角问题。
历史上，古希腊人提出的三大几何难题之一就是“三等分角”。也就是说，给定任意一个角 $alpha$，能否仅用尺规作图来找到一个角，使得它等于 $frac{alpha}{3}$？
高斯已经证明了，一般的角是不能三等分的。而 $sin(1^circ)$ 和三等分角是密切相关的。
我们知道三倍角公式：
$sin(3 heta) = 3sin( heta) 4sin^3( heta)$
如果我们令 $ heta = 1^circ$，那么就有：
$sin(3^circ) = 3sin(1^circ) 4sin^3(1^circ)$
如果我们能够求出 $sin(3^circ)$ 的根号表示，我们就可以得到一个关于 $sin(1^circ)$ 的三次方程：
设 $x = sin(1^circ)$，则 $sin(3^circ) = 3x 4x^3$。
$4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$
这个三次方程的根，如果用根号表示，需要用到三次根（$sqrt[3]{quad}$）。这比我们之前只用平方根要复杂得多。
那么，我们能否用根号表示 $sin(3^circ)$ 呢？
我们知道 $3^circ = (18 15)^circ$ 或者其他组合。我们可以计算 $sin(18^circ)$ 和 $sin(15^circ)$。
$sin(18^circ) = frac{sqrt{5}1}{4}$ (这个值可以由正五边形推导出来，而正五边形是可以尺规作图的)
$sin(15^circ) = sin(45^circ 30^circ) = sin(45^circ)cos(30^circ) cos(45^circ)sin(30^circ) = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}sqrt{2}}{4}$ (这个也可以由尺规可作图的角度推导出来)
利用差角公式 $sin(AB) = sin A cos B cos A sin B$，我们就可以计算出 $sin(3^circ)$ 的精确值。
首先需要计算 $cos(18^circ)$ 和 $cos(15^circ)$：
$cos(18^circ) = sqrt{1sin^2(18^circ)} = sqrt{1 left(frac{sqrt{5}1}{4} ight)^2} = sqrt{1 frac{5 2sqrt{5} + 1}{16}} = sqrt{1 frac{6 2sqrt{5}}{16}} = sqrt{frac{16 6 + 2sqrt{5}}{16}} = frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}$
$cos(15^circ) = cos(45^circ 30^circ) = cos(45^circ)cos(30^circ) + sin(45^circ)sin(30^circ) = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$
然后计算 $sin(3^circ) = sin(18^circ 15^circ)$:
$sin(3^circ) = sin(18^circ)cos(15^circ) cos(18^circ)sin(15^circ)$
$= left(frac{sqrt{5}1}{4} ight)left(frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight) left(frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4} ight)left(frac{sqrt{6}sqrt{2}}{4} ight)$
$= frac{(sqrt{5}1)(sqrt{6}+sqrt{2}) sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2})}{16}$
展开 $(sqrt{5}1)(sqrt{6}+sqrt{2}) = sqrt{30} + sqrt{10} sqrt{6} sqrt{2}$
展开 $sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2})$ 稍微复杂一些，需要一些技巧。
注意到 $sqrt{10+2sqrt{5}} = sqrt{2(5+sqrt{5})}$.
$sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2}) = sqrt{2(5+sqrt{5})} sqrt{2}(sqrt{3}1) = 2 sqrt{5+sqrt{5}}(sqrt{3}1)$
这部分计算相当繁琐，最终会得到一个包含更复杂根号的表达式。但是，$sin(3^circ)$ 的值是可以表示为由 $sqrt{2}, sqrt{3}, sqrt{5}$ 和它们的组合（包括嵌套的平方根）构成的代数数。
一旦我们得到了 $sin(3^circ)$ 的表达式，我们就可以把它代入上面的三次方程：
$4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$
这个方程的解 $x = sin(1^circ)$，是可以表示出来的，但需要用到三次根。而三次根的表示，通常会比平方根更复杂，它涉及到复数（例如，通过卡尔达诺公式解决三次方程时会引入复数）。
一个更直接但更“不情愿”的表示方式：
有没有其他方法呢？也许我们可以从已知的其他角度的三角函数值出发。
一个常见的角度是 $sin(2pi/3) = sqrt{3}/2$ (即 $sin(120^circ)$)。
实际上，对于许多角度 $ heta$，我们都可以写出关于 $sin( heta/n)$ 的 $n$ 次多项式方程。例如，对于 $sin( heta/2)$，我们可以用二倍角公式 $cos(2alpha) = 1 2sin^2(alpha)$，令 $alpha = heta/2$，则 $cos( heta) = 1 2sin^2( heta/2)$，整理后得到 $2sin^2( heta/2) = 1 cos( heta)$，从而 $sin( heta/2) = sqrt{frac{1cos( heta)}{2}}$。这就只需要一个平方根，前提是我们知道 $cos( heta)$。
对于 $sin( heta/3)$，我们就需要解决三次方程了。
“根号表示”的含义
通常我们说的“用根号表示”，是指使用有理数、四则运算和有限次的平方根运算得到的表达式。而对于 $sin(1^circ)$ 来说，它涉及到三次根。
我们知道，伽罗瓦理论（Galois theory）为我们提供了一个深刻的理解，即一个多项式方程是否能够用根号来求解，与其系数域以及其伽罗瓦群的结构有关。对于三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，如果它是不可约的且其伽罗瓦群是 $S_3$（对称群），那么它的根就可以用根式表示。
问题在于，$1^circ$ 的三角函数值往往与某些角度的三等分有关，而三等分角问题是不可尺规作图的，这意味着它需要使用尺规之外的工具，比如三等分角器，或者圆锥曲线，或者立方根。
最终的答案（非常不直观）：
尽管不能用纯粹的平方根表示，但 $sin(1^circ)$ 是一个代数数，它的值可以由包含三次根的表达式表示出来。
数学家们已经找到了一种非常复杂的表达方式。这里稍微给个示意，不是完整的公式，因为那个公式极度冗长和复杂，但能让你明白“根号”这个词的含义延伸到了三次根。
设 $sin(1^circ) = x$。我们之前推导出了 $4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$。
我们已经算出 $sin(3^circ)$ 是一个复杂的包含平方根的代数数。
设 $sin(3^circ) = S_3$。方程是 $4x^3 3x + S_3 = 0$。
我们可以尝试用卡尔达诺公式来解这个三次方程。对于形如 $x^3 + px + q = 0$ 的方程，其解为：
$x = sqrt[3]{frac{q}{2} + sqrt{frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}}} + sqrt[3]{frac{q}{2} sqrt{frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}}}$
在我们的方程 $4x^3 3x + S_3 = 0$ 中，为了匹配标准形式，我们除以 4：
$x^3 frac{3}{4}x + frac{S_3}{4} = 0$
所以，$p = frac{3}{4}$，$q = frac{S_3}{4}$。
代入卡尔达诺公式：
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{(S_3/4)^2}{4} + frac{(3/4)^3}{27}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{(S_3/4)^2}{4} + frac{(3/4)^3}{27}}}$
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{27}{4 cdot 27 cdot 64}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}}$
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}}$
这里的 $S_3$ 是 $sin(3^circ)$ 的那个极其复杂的、由平方根组成的表达式。经过代入和化简，整个 $sin(1^circ)$ 的表达式会是包含三次根的，并且三次根的被开方数本身又会是包含平方根的复杂代数数。
一个更“具体”的例子（但依然复杂）：
数学家们已经计算出 $sin(3^circ)$ 的一个形式，虽然还是复杂，但可以作为参考：
$sin(3^circ) = frac{1}{16} [(sqrt{3} + sqrt{15} sqrt{10} sqrt{2})(sqrt{6} + sqrt{2}) (sqrt{5} 1)(sqrt{6} sqrt{2})]$ （这是一个简化过程中的中间步骤，可能会有些许出入，关键在于复杂性）
更准确的表示（但依然是给出的形式，而非推导过程的简略）：
可以表示为如下形式的代数数。设 $ heta = 3^circ$，则 $sin heta$ 可以表示成 $sqrt{a} + sqrt{b} + sqrt{c} + sqrt{d} + dots$ 的形式，其中 $a,b,c,d$ 又是包含平方根的数。
但更令人头疼的是 $sin(1^circ)$。它来自于一个三次方程的解，而三次方程的求根公式（卡尔达诺公式）引入了三次根。
结论
总结一下：
1. 由于 $1^circ$ 角所对应的正360边形无法通过尺规作图，根据高斯旺策尔定理，$sin(1^circ)$ 不能用有限的平方根和有理数表示。
2. 然而，$sin(1^circ)$ 是一个代数数，它可以通过求解一个三次方程来获得。这个三次方程的系数（$sin(3^circ)$ 的值）本身就是一个复杂的包含平方根的代数数。
3. 因此，$sin(1^circ)$ 的表示需要用到三次根，并且三次根的内部也会包含复杂的平方根。
所以，如果你问“如何用根号表示 $sin(1^circ)$？”，最诚实的回答是：它不能用纯粹的平方根表示，但可以用包含三次根（以及平方根）的代数表达式表示。那个表达式非常冗长，超出了通常所说的“简洁”表示的范畴，也不是我们日常生活中遇到的那种“好看”的根号形式。
这就像是问“你能用尺子和圆规画出一个正七边形吗？”答案是“不行”，但我们可以用其他工具（比如三等分角器或折纸）来近似或精确地作出它。这里的“根号表示”就像是尺规作图，它的能力是有限的，而 $sin(1^circ)$ 需要更强的“工具”——三次根。
问题的根源：角度与代数
我们都知道，三角函数（比如 $sin$）描述的是直角三角形中边与角的关系。它们在几何学和物理学中扮演着至关重要的角色。然而，当我们试图用根号（也就是 $sqrt{quad}$ 这种形式，它代表着平方运算的逆运算）来表示一个任意角度的三角函数值时，问题就变得复杂了。
大多数我们熟悉的三角函数值，比如 $sin(30^circ) = frac{1}{2}$，$sin(45^circ) = frac{sqrt{2}}{2}$，或者 $sin(60^circ) = frac{sqrt{3}}{2}$，它们都可以在一定程度上用简单的根号和分数来表示。这些角度（30°, 45°, 60°）以及它们的倍数或分数，之所以能这样表示，是因为它们对应的正多边形是可以通过尺规作图（只用没有刻度的直尺和圆规）画出来的。
而 $1^circ$ 这个角度，它对应的是一个正360边形。数学家们早就发现了一个重要的定理，叫做高斯旺策尔定理（GaussWantzel theorem）。这个定理告诉我们，一个正 $n$ 边形可以通过尺规作图画出来，当且仅当 $n$ 是 2 的幂乘以若干个不同的费马素数（Fermat primes）的乘积。
费马素数是形如 $F_m = 2^{2^m} + 1$ 的素数。前几个费马数分别是：
$F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3$ (素数)
$F_1 = 2^{2^1} + 1 = 2^2 + 1 = 5$ (素数)
$F_2 = 2^{2^2} + 1 = 2^4 + 1 = 17$ (素数)
$F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2^8 + 1 = 257$ (素数)
$F_4 = 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537$ (素数)
$F_5 = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 imes 6700417$ (不是素数)
要构成一个 $n$ 边形可以尺规作图，$n$ 必须是这样的形式：$n = 2^k cdot p_1 cdot p_2 cdots p_r$，其中 $k ge 0$，而 $p_i$ 是互不相同的费马素数。
现在我们来看看 $1^circ$ 的情况。一个 $1^circ$ 的角，我们可以把它看作是圆周（$360^circ$）的三百六十分之一。与之对应的正多边形就是正360边形。
我们来分解一下360的质因数：
$360 = 36 imes 10 = (2^2 imes 3^2) imes (2 imes 5) = 2^3 imes 3^2 imes 5$
对照高斯旺策尔定理，我们的360边形，其边数360的质因数分解中出现了 $3^2$。这就意味着，正360边形是不能通过尺规作图画出来的。
而能够用根号表示的代数数，恰好与尺规可作图的几何构造是紧密联系的。简而言之，如果一个角度的三角函数值能够用根号表示（通常是有限个根号的嵌套和组合），那么这个角度的角（以弧度制表示时）应该是一个特殊的数，它与可以通过尺规作图的几何体相对应。
那么，这意味着 $sin(1^circ)$ 不能用有限个根号和有理数进行组合来表示。它是一个“超越”我们传统根号表示范围的数。
但别灰心！数学总有办法！
虽然我们无法像 $sin(45^circ)$ 那样用一个简单的 $frac{sqrt{2}}{2}$ 来表示 $sin(1^circ)$，但数学家们确实找到了可以用根号表示的与 $1^circ$ 相关的其他角度的三角函数值。这里面的关键在于，我们需要扩大我们允许使用的工具，或者改变我们表示的角度。
这里有个重要的概念：三等分角问题。
历史上，古希腊人提出的三大几何难题之一就是“三等分角”。也就是说，给定任意一个角 $alpha$，能否仅用尺规作图来找到一个角，使得它等于 $frac{alpha}{3}$？
高斯已经证明了，一般的角是不能三等分的。而 $sin(1^circ)$ 和三等分角是密切相关的。
我们知道三倍角公式：
$sin(3 heta) = 3sin( heta) 4sin^3( heta)$
如果我们令 $ heta = 1^circ$，那么就有：
$sin(3^circ) = 3sin(1^circ) 4sin^3(1^circ)$
如果我们能够求出 $sin(3^circ)$ 的根号表示，我们就可以得到一个关于 $sin(1^circ)$ 的三次方程：
设 $x = sin(1^circ)$，则 $sin(3^circ) = 3x 4x^3$。
$4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$
这个三次方程的根，如果用根号表示，需要用到三次根（$sqrt[3]{quad}$）。这比我们之前只用平方根要复杂得多。
那么，我们能否用根号表示 $sin(3^circ)$ 呢？
我们知道 $3^circ = (18 15)^circ$ 或者其他组合。我们可以计算 $sin(18^circ)$ 和 $sin(15^circ)$。
$sin(18^circ) = frac{sqrt{5}1}{4}$ (这个值可以由正五边形推导出来，而正五边形是可以尺规作图的)
$sin(15^circ) = sin(45^circ 30^circ) = sin(45^circ)cos(30^circ) cos(45^circ)sin(30^circ) = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}sqrt{2}}{4}$ (这个也可以由尺规可作图的角度推导出来)
利用差角公式 $sin(AB) = sin A cos B cos A sin B$，我们就可以计算出 $sin(3^circ)$ 的精确值。
首先需要计算 $cos(18^circ)$ 和 $cos(15^circ)$：
$cos(18^circ) = sqrt{1sin^2(18^circ)} = sqrt{1 left(frac{sqrt{5}1}{4} ight)^2} = sqrt{1 frac{5 2sqrt{5} + 1}{16}} = sqrt{1 frac{6 2sqrt{5}}{16}} = sqrt{frac{16 6 + 2sqrt{5}}{16}} = frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}$
$cos(15^circ) = cos(45^circ 30^circ) = cos(45^circ)cos(30^circ) + sin(45^circ)sin(30^circ) = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$
然后计算 $sin(3^circ) = sin(18^circ 15^circ)$:
$sin(3^circ) = sin(18^circ)cos(15^circ) cos(18^circ)sin(15^circ)$
$= left(frac{sqrt{5}1}{4} ight)left(frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight) left(frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4} ight)left(frac{sqrt{6}sqrt{2}}{4} ight)$
$= frac{(sqrt{5}1)(sqrt{6}+sqrt{2}) sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2})}{16}$
展开 $(sqrt{5}1)(sqrt{6}+sqrt{2}) = sqrt{30} + sqrt{10} sqrt{6} sqrt{2}$
展开 $sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2})$ 稍微复杂一些，需要一些技巧。
注意到 $sqrt{10+2sqrt{5}} = sqrt{2(5+sqrt{5})}$.
$sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{6}sqrt{2}) = sqrt{2(5+sqrt{5})} sqrt{2}(sqrt{3}1) = 2 sqrt{5+sqrt{5}}(sqrt{3}1)$
这部分计算相当繁琐，最终会得到一个包含更复杂根号的表达式。但是，$sin(3^circ)$ 的值是可以表示为由 $sqrt{2}, sqrt{3}, sqrt{5}$ 和它们的组合（包括嵌套的平方根）构成的代数数。
一旦我们得到了 $sin(3^circ)$ 的表达式，我们就可以把它代入上面的三次方程：
$4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$
这个方程的解 $x = sin(1^circ)$，是可以表示出来的，但需要用到三次根。而三次根的表示，通常会比平方根更复杂，它涉及到复数（例如，通过卡尔达诺公式解决三次方程时会引入复数）。
一个更直接但更“不情愿”的表示方式：
有没有其他方法呢？也许我们可以从已知的其他角度的三角函数值出发。
一个常见的角度是 $sin(2pi/3) = sqrt{3}/2$ (即 $sin(120^circ)$)。
实际上，对于许多角度 $ heta$，我们都可以写出关于 $sin( heta/n)$ 的 $n$ 次多项式方程。例如，对于 $sin( heta/2)$，我们可以用二倍角公式 $cos(2alpha) = 1 2sin^2(alpha)$，令 $alpha = heta/2$，则 $cos( heta) = 1 2sin^2( heta/2)$，整理后得到 $2sin^2( heta/2) = 1 cos( heta)$，从而 $sin( heta/2) = sqrt{frac{1cos( heta)}{2}}$。这就只需要一个平方根，前提是我们知道 $cos( heta)$。
对于 $sin( heta/3)$，我们就需要解决三次方程了。
“根号表示”的含义
通常我们说的“用根号表示”，是指使用有理数、四则运算和有限次的平方根运算得到的表达式。而对于 $sin(1^circ)$ 来说，它涉及到三次根。
我们知道，伽罗瓦理论（Galois theory）为我们提供了一个深刻的理解，即一个多项式方程是否能够用根号来求解，与其系数域以及其伽罗瓦群的结构有关。对于三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，如果它是不可约的且其伽罗瓦群是 $S_3$（对称群），那么它的根就可以用根式表示。
问题在于，$1^circ$ 的三角函数值往往与某些角度的三等分有关，而三等分角问题是不可尺规作图的，这意味着它需要使用尺规之外的工具，比如三等分角器，或者圆锥曲线，或者立方根。
最终的答案（非常不直观）：
尽管不能用纯粹的平方根表示，但 $sin(1^circ)$ 是一个代数数，它的值可以由包含三次根的表达式表示出来。
数学家们已经找到了一种非常复杂的表达方式。这里稍微给个示意，不是完整的公式，因为那个公式极度冗长和复杂，但能让你明白“根号”这个词的含义延伸到了三次根。
设 $sin(1^circ) = x$。我们之前推导出了 $4x^3 3x + sin(3^circ) = 0$。
我们已经算出 $sin(3^circ)$ 是一个复杂的包含平方根的代数数。
设 $sin(3^circ) = S_3$。方程是 $4x^3 3x + S_3 = 0$。
我们可以尝试用卡尔达诺公式来解这个三次方程。对于形如 $x^3 + px + q = 0$ 的方程，其解为：
$x = sqrt[3]{frac{q}{2} + sqrt{frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}}} + sqrt[3]{frac{q}{2} sqrt{frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27}}}$
在我们的方程 $4x^3 3x + S_3 = 0$ 中，为了匹配标准形式，我们除以 4：
$x^3 frac{3}{4}x + frac{S_3}{4} = 0$
所以，$p = frac{3}{4}$，$q = frac{S_3}{4}$。
代入卡尔达诺公式：
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{(S_3/4)^2}{4} + frac{(3/4)^3}{27}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{(S_3/4)^2}{4} + frac{(3/4)^3}{27}}}$
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{27}{4 cdot 27 cdot 64}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}}$
$x = sqrt[3]{frac{S_3}{8} + sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}} + sqrt[3]{frac{S_3}{8} sqrt{frac{S_3^2}{64} frac{1}{256}}}$
这里的 $S_3$ 是 $sin(3^circ)$ 的那个极其复杂的、由平方根组成的表达式。经过代入和化简，整个 $sin(1^circ)$ 的表达式会是包含三次根的，并且三次根的被开方数本身又会是包含平方根的复杂代数数。
一个更“具体”的例子（但依然复杂）：
数学家们已经计算出 $sin(3^circ)$ 的一个形式，虽然还是复杂，但可以作为参考：
$sin(3^circ) = frac{1}{16} [(sqrt{3} + sqrt{15} sqrt{10} sqrt{2})(sqrt{6} + sqrt{2}) (sqrt{5} 1)(sqrt{6} sqrt{2})]$ （这是一个简化过程中的中间步骤，可能会有些许出入，关键在于复杂性）
更准确的表示（但依然是给出的形式，而非推导过程的简略）：
可以表示为如下形式的代数数。设 $ heta = 3^circ$，则 $sin heta$ 可以表示成 $sqrt{a} + sqrt{b} + sqrt{c} + sqrt{d} + dots$ 的形式，其中 $a,b,c,d$ 又是包含平方根的数。
但更令人头疼的是 $sin(1^circ)$。它来自于一个三次方程的解，而三次方程的求根公式（卡尔达诺公式）引入了三次根。
结论
总结一下：
1. 由于 $1^circ$ 角所对应的正360边形无法通过尺规作图，根据高斯旺策尔定理，$sin(1^circ)$ 不能用有限的平方根和有理数表示。
2. 然而，$sin(1^circ)$ 是一个代数数，它可以通过求解一个三次方程来获得。这个三次方程的系数（$sin(3^circ)$ 的值）本身就是一个复杂的包含平方根的代数数。
3. 因此，$sin(1^circ)$ 的表示需要用到三次根，并且三次根的内部也会包含复杂的平方根。
所以，如果你问“如何用根号表示 $sin(1^circ)$？”，最诚实的回答是：它不能用纯粹的平方根表示，但可以用包含三次根（以及平方根）的代数表达式表示。那个表达式非常冗长，超出了通常所说的“简洁”表示的范畴，也不是我们日常生活中遇到的那种“好看”的根号形式。
这就像是问“你能用尺子和圆规画出一个正七边形吗？”答案是“不行”，但我们可以用其他工具（比如三等分角器或折纸）来近似或精确地作出它。这里的“根号表示”就像是尺规作图，它的能力是有限的，而 $sin(1^circ)$ 需要更强的“工具”——三次根。
网友意见
既然题主希望看到的是“数学之美”，我们就直接“美”给题主看。
注意：本篇回答中，根号取值的方法依据 Mathematica ，是这样的：
其中
例如， 也就是，每个根号都取实部最大的值，实部相同的取虚部大于零的值。
我之前搞错了，现已改正。
答案
旋转版：
得到答案的方法
根据三倍角公式： ，正确使用 Cardano 公式解得：当 是锐角时，
当 是锐角时，
我们知道 。而 ，所以反复使用上述两个公式即可得出 。
最后，综合使用 Mathematica 的化简功能和眼睛、草稿纸来尽可能地化简我们所得到的东西，就得到了上述结果。
这堆东西确实正确的证据：
猫猫
的一种计算方法：
画出如图的三角形，令 图中全部都是等腰三角形，所以
因为 和 相似，所以 推出
正弦定理： 所以 。
那一大堆东西的 代码：
sin 1^circ = frac12sqrt{2-sqrt{2+frac{4+sqrt[3]{8+8sqrt{5}-4sqrt{30+6sqrt{5}}+4sqrt{150+30sqrt5}+left(-2sqrt2+2sqrt{10}+4sqrt{15+3sqrt5}
ight)sqrt{-14+2sqrt5-sqrt{30+6sqrt{5}}+sqrt{150+30sqrt5}}}}{2sqrt[3]{-1+sqrt5+sqrt{30+6sqrt5}+sqrt{-28+4sqrt5-2sqrt{30+6sqrt{5}}+2sqrt{150+30sqrt5}}}}}} 耍赖的答案（感谢精选评论指出错误）
有很多的相似问题, 请提问前尽量使用搜索引擎. =_=
理论上, 比如, 对于真分母可化为 形式的有理数角度(其中 均为自然数), 其函数值总通过有限次数求解多项式方程给出形式解. 但是这并不保证最终结果全部为实根式. 全部根号内部均为正的表达式, 仅仅在 的整数倍的情况下才能保证.
给一个思路. 用二倍角得到
联立正弦二倍角和余角的余弦三倍角得到
从而
用三倍角讨论得
代进去化得对称一点(请善用 Mathematica),
不过请注意, 此处的虚数是形式记号, 终结果仍然为实数.
给个读者自证的提示: 设角度制下的有理数 均为整数. 利用倍角公式得
至于为什么 也可以, 那是因为五倍角公式没四次项. 而 的情况就不一定能通过有限次运算解出方程了. 我不想继续推广结论了, 读者感兴趣自己来吧. =_=
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