为什么浮力等于排开水的重量？
咱们先来想想一个最简单的场景：你把一个漂浮在水中的木块拿起来。你是不是能感觉到一股向上的力在“托”着它？这就是浮力。那这个力是怎么来的呢？
想象一下，当物体沉入水中时，它占据了水的一部分空间。原本这部分空间里是有水的，但现在它被物体占了，水就得“让开”，往旁边流去，这就是“排开”了水。
关键就在这里：物体沉入水中后，它受到的水压就不再是均匀的了。你想想，水越深，水给你的压强就越大，对吧？这是因为水柱越高，它本身的重力就越大，压在下面的水就越受力。
所以，当物体浸在水里时，它受到的水压力是不平衡的。物体底部的受力会比它顶部的受力要大。为什么呢？因为物体底部比它顶部更深，所以底部受到的水压更大。
打个比方，你就想你把一个空瓶子倒扣着往水里按。你按瓶底，你会觉得水在往上顶你。如果你只按瓶口，感觉就没那么明显。这就是因为瓶子下面（也就是水深的地方）受到的水压力比上面大。
那么，这个不平衡的压力差到底有多大呢？咱们来仔细分析一下。
假设我们有一个立方体，完全浸没在水中。
向下的力： 主要是物体顶面受到的水压力。这个压力是顶面单位面积上受到的力，乘以顶面的面积。
向上的力： 主要是物体底面受到的水压力。这个压力是底面单位面积上受到的力，乘以底面的面积。
因为底面比顶面深，所以底面受到的水压比顶面大。那么，在这个立方体上，向上总的压力就会大于 向下总的压力。这个“向上总压力”减去“向下总压力”，就是物体受到的合的向上的力，也就是浮力。
现在问题来了，这个浮力到底等于多少呢？这就是阿基米德说的精妙之处：
我们把物体在水中占据的那部分空间想象成一个“空腔”。如果这个空腔里原本是水，那么这些水会受到周围水施加的压力。而且，这些水本身也会有自己的重力。
考虑一下，如果物体没有被放进去，那部分被物体占据的空间本来是水。这部分水会受到来自它上方、下方、左边、右边所有水的挤压。而且，因为是水，它还会受自身重力的影响。
但现在，这部分空间被物体占了。物体对这些水说了声“拜拜”，这些水就只好挪开了。但物体虽然占据了空间，它也得承受原来那部分水在相同位置受到的压力。
关键是，原来那部分水之所以能保持稳定（如果你不扰动它的话），是因为它上面和下面的水作用在其上的力是平衡的（忽略重力的向上分量，因为我们主要考虑侧向和垂直向的压力差）。但现在物体进来了，它的形状可能跟那部分水不一样。
我们可以把浮力看作是：物体底部受到的向上的总水压力，减去物体顶部受到的向下的总水压力。
让咱们再进一步思考：如果我们将物体占据的那部分空间里的水单独拿出来，让它处于一个和物体在水中时一模一样的空间里，而且不让它受其他外力的影响。那么，这部分水受到的压力分布跟原来一模一样。这些压力来自周围的水。
对这部分水来说，它受到的来自四面八方的压力合起来，会有一个向上的净作用力。这个净作用力恰好就是原来那部分水所受的“浮力”，它使这部分水保持平衡（如果它没有重力的话）。
但是，这部分水是有重力的！这部分水自身的重力是向下的。所以，如果这部分水能够保持平衡地悬浮在那里，那么作用在它上面的所有压力合起来，必须恰好抵消掉它自身的重力。
这就太有意思了！这意味着，周围的水作用在这部分（原本是水占据的）空间上的总的向上的压力，必须等于这部分水自身的重力。
而我们知道，浮力就是物体底部向上压力减去顶部向下的压力。物理学家们证明了，这个差值，这个浮力，就等于物体在水中占据的那部分空间的体积所对应的水的重量。
换句话说，物体排开了多少水，这排开的水就有一个重量。而物体受到的浮力，就是跟这排开的水的重量完全一样大，并且方向是向上的。
所以，阿基米德原理说得非常简洁：浸在流体中的物体，受到向上的浮力，浮力的大小等于物体排开的流体的重量。
为什么是“重量”呢？因为我们之前分析的不平衡压力，最终计算出来就是这个。想象一下，如果你把排开的那一堆水拿出来放在一个秤上称，秤显示的读数就是这堆水的重量。而阿基米德原理告诉你，物体在水里时，受到一个大小完全一样的向上的力。
这就像是，你把一堆砖头放进一个装满水的桶里，水溢出来了。溢出来的水就是你排开的水。你把这些溢出来的水重新收集起来，称一下它的重量。然后，你再把那堆砖头（或者其他物体）放进水里，你会感觉到一股力量在托着它，而这股托力的大小，就等于你刚才称的那些溢出水的重量。
这个原理非常有普适性，不仅适用于水，也适用于空气等其他流体。所以，为什么热气球能升空？因为加热空气后，它比周围的冷空气轻，排开的冷空气的重量大于热气球自身的重量，它就受到了向上的浮力。
简单来说，就是物体占了水的地盘，水就得给物体一个“补偿”，这个补偿就是把物体排开的那部分水搬走（让它流开），而这搬走的这部分水的重量，就变成了物体受到的向上托力。
希望我这样解释，让你觉得不那么“官方”，更能理解其中的奥妙。这就像是水在“照顾”它被挤占的空间一样，用它自身的重量作为一种“补偿”来支撑着物体。
网友意见
我们从简单到复杂考虑.
假设现在有一个立方体, 完全浸入水中. 立方米上表面和下表面平行于液面.
对于这个立方体来说, 有高为 , 底面积为 .
上表面距离液面的高度差为 , 下表面距离液面的高度差为 , 有 .
液体在深度为 处的压强为 ,
所以下表面受到水对其施加的竖直向上的力
所以上表面受到水对其施加的竖直向下的力
所以立方体整体受到水竖直向上的力
所以对于一个立方体来说, 其所受浮力等于排开水的重力.
而对于任意一个物体来说, 无论其是悬浮还是漂浮, 是匀速直线运动或者静止, 或者变速运动.
都可以视为无穷个小立方体的组合.
所以物体所受浮力等于排开水的重力.
这是高中的物理题啊。
学玩牛1牛2牛3， 您自己就可以解答。
即使您没有学过高中物理，
找个透明的器皿， 挂上一个弹簧，挂上一块泡沫塑料。
用有刻度的烧杯量出泡沫塑料体积。
灌水。记录室温和大气压。
您应该得到答案。
浮力等于排开水的重量。
记得我上初中的时候，物理老师说这个问题无法在数学上证明，因为物体形状太复杂，只有简单形状才能证明。
高中之后，发现其实就是个数学上的高斯定理(梯度形式)。
通俗说一下，就是一个面积积分(压强在表面的面积积分，就是浮力)，等于梯度的体积积分。这里取负号是因为 在数学上一般习惯上是指向外的，但是水的压力是指向内的。
这个证明有一点缺陷，那就是，如果物体浮在水面上的话，积分将不是环路。但是你可以凑一个压强为零放在水面上，让它变成环路。
学物理的过程中，掌握定理的证明过程极其重要。因为它可以帮助你解决很多疑惑。例如举个例子，如果把一块砖的下面沾满水泥，然后放在盛满水的游泳池里面。过几天砖就跟游泳池凝固在一起了。请问，阿基米德原理能否继续对砖成立？表面上看起来“物体所受的浮力等于其排开水的重力”这句话并没有否定砖仍然排开了水。可是按照以上的证明过程，一个二维积分转化成三维积分的过程中，必须保证是环路积分 。这样子的话，一旦水泥凝固，水进不去砖块的下面，围绕砖的环路被水泥破坏了，阿基米德原理不再成立。但是浮力仍然可能存在，不等于排开水的重力。因此，学物理的时候，千万不要死记硬背，要搞清楚定理的证明过程和成立条件。没有任何物理定律可以无条件成立，物理的定律适用范围非常窄，不清楚证明过程，往往就用错了地方。这是物理和数学的最大区别。
高斯定理是最伟大的数学定理，它把两个不同维度的积分联系在一起，这种定理直击微积分的本质。
一个物体受到的浮力二维的，它排开水的重力正比于体积是三维的。打个比方就是说，你们班第一名男孩表面散发的魅力(二维)，等于他内在的才华(三维)。再打个比方，一个灯泡的玻璃的表面接收到多少光(二维)，等于灯丝发出了多少光（三维）。
从某种意义上说微积分基本定理
也是把1重积分与0重积分联系在一起。在微分几何领域有个万能公式
这个定理叫做斯托克斯定理，可以直接推导出高斯定理。这是数学中最美的定理. 这个定理是把两个不同维度的形式(form)联系在一起。这是微积分中最本质的东西，是大量物理现象的之母。从某种意义上说，由于这个公式的存在，物理定律出现了微分形式和积分形式。
阿基米德原理的微分形式可以这么推导，假设 为浮力密度，则
所以
就是浮力的密度，大小等于压强的梯度，方向相反。一个物理原理的微分形式，往往比积分形式更靠近物理实质。比如说这个阿基米德原理的微分形式告诉我们，浮力产生的根源，在于压强存在梯度。按照这个说法，哪怕不存在重力场，只要存在压强梯度，就会有浮力。
如果同学们意识不到这个微分形式的威力，我们不妨做一道题看看。在无重力场的太空中，一个装满水瓶子装满水，瓶子水平放置，瓶口固定在一个竖直的轴上，轴以 角速度快速旋转。请问瓶子里的一个物体受到多大的浮力？
由于存在惯性离心力，可以算出距离轴 距离处的压强为 ，所以压强在 处的梯度为 . 所以一个体积为 的物体说受到的浮力大约为 ，其中 为物体质心距离轴的距离。所以物体受到的浮力，竟然跟位置有关，还跟旋转的速度有关。这个结论，用传统的阿基米德原理是得不出来的。
这道题看似远离实际生活，其实不然。在新闻中，我们经常看到一种提纯铀制作核武器的机器，叫做离心机。离心机，就是通过高速旋转，制造气体的压强梯度，从而产生浮力。由于根据我们刚才的推导，浮力跟转速相关，所以浮力的大小可以调整，使得不同的物质可以上浮(靠近转轴)或者下沉(远离转轴)，从而起到提纯铀元素的效果。
再出一道题：一个水柜的的右侧有个出水口，因为出水口的位置，导致水柜内水的流速随着深度的函数关系是 , 一个物体悬浮在深度为 处与水柜相对静止，求它的密度。
这个题不是静止液体，需要利用帕斯卡定律。帕斯卡定律认为，流动的液体满足一个恒等式 由此可以求出压强随深度的关系是 所以压强的梯度就是 。所以如果物体保持悬浮，它的重力和浮力应当平衡，它的密度应当是 。也就是说，在这道题里面，由于液体存在流速，浮力跟深度有关。
这个题跟现实生活关系更加紧密，这个场景，工程上叫做风洞试验。飞机设计中，就是故意让上下机身的形状不同，使得空气的流速不同，而产生了额外的压强梯度，从而产生浮力，也就是升力。从这个角度来说，飞机也是利用了阿基米德原理。
从更本质的角度说，这个高斯定理实际上跟 cohomology 上同调有渊源。直指数学前沿。
阿基米德原理，是数学和物理的合体，背后的本质，足可以完成一个博士学位！
阿基米德原理，是初中生在学物理的过程中遇到的第一个非平庸的定理，从某种意义上说，到了阿基米德原理，让初中物理从“文科”变成了“理科”。这是初中物理最精华的地方。高中会遇到更多的非平庸定理，真正进入物理学世界。
最后补充一个笑话：
俺初中物理老师说，有同学说幸亏中国在地球上半边，可为啥南极的企鹅不会往下掉？因为地球太大啦！
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