数学中，类似 π、e 的独立的常数还有哪些？
超越数量的象征：数论中的“魔术师”
当我们谈论独立常数，首先会想到那些出现在定义中的、无法从更基本概念推导出来的数值。在数论领域，有一个名字绕不开：欧拉马斯刻里特常数 (EulerMascheroni constant)，通常用希腊字母 γ (gamma) 来表示。
γ 的定义，看起来就带着一丝哲学意味：它是调和级数（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...）与自然对数级数（ln(1) + ln(2) + ln(3) + ln(4) + ...）在无穷远处“相遇”的那个精确距离。更具体地说，它是以下极限的值：
γ = lim (n→∞) [ (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) ln(n) ]
这个值大约是 0.5772156649...。它的独立性在于，它并非由 π 或 e 这样的几何或分析概念直接产生，而是源自于数本身的结构和级数的性质。
γ 为什么重要？它像一个“魔术师”，出现在许多意想不到的地方。
数论的脉络： 在分析数论中，γ 是连接离散数世界和连续分析世界的桥梁。例如，在研究素数分布的黎曼 zeta 函数 ζ(s) 中，它就扮演着关键角色。黎曼 zeta 函数在 s=1 处有一个极点，其“残留项”就与 γ 相关。
函数方程的“签名”： 许多重要的函数，例如伽马函数（Γ(z)，可以看作是阶乘的推广），在处理整数和复数时，都离不开 γ。伽马函数满足 Γ(z+1) = zΓ(z)，并且 Γ(1) = 1。通过这些性质，我们可以推导出 Γ(n+1) = n! 对于正整数 n。而对于实数和复数，伽马函数的行为则更加复杂，γ 便成了描述这种复杂性的一个重要标记。
概率与统计的“影子”： 即使在概率论和统计学中，γ 也会悄悄现身。例如，在一些特定分布的期望值或方差的计算中，你可能会遇到它。
γ 的一个令人着迷的特点是，尽管它在数论中如此“自然”地出现，但至今为止，数学家们仍未证明 γ 是一个有理数（可以表示为两个整数之比），更不用说证明它是一个超越数（不是任何整系数多项式的根）。它就像数学世界里的一个未解之谜，既熟悉又陌生。
超越几何的界限：黄金分割率
提到独立常数，很多人会想到黄金分割率 (Golden Ratio)，通常用希腊字母 φ (phi) 来表示。它也常常被缩写为 Φ，有时也用 phi 的小写。
φ 的定义，则与比例有关，它描述了一种“和谐”的分割方式。如果一条线段被分成两部分，使得长线段与短线段之比等于整个线段与长线段之比，那么这个比值就是黄金分割率。这个比值可以表示为：
φ = (1 + √5) / 2
它的数值大约是 1.6180339887...。
φ 的独立性在于，它并非由 π 的圆周率那样基于圆的几何定义，也不是 e 的自然增长率那样基于连续变化。它的根源在于纯粹的比例关系，一种内在的、和谐的美学比例。
φ 的“魔力”也体现在生活的方方面面：
数学的美学： φ 常常出现在几何学中，例如正五边形和正十二面体中，它们的边长和对角线之间就存在着黄金分割的关系。在斐波那契数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...，每个数是前两个数的和）中，相邻两项的比值会越来越接近 φ。这种现象让 φ 成为连接数学结构和艺术美学的桥梁。
艺术与设计的“密码”： 从古希腊的帕特农神庙到文艺复兴时期的达芬奇作品，许多艺术家和设计师都或多或少地运用了黄金分割率，相信它能带来视觉上的和谐与愉悦。
自然界的“蓝图”： 在自然界中，φ 也是无处不在的。例如，向日葵的花盘上的种子排列，鹦鹉螺的壳的螺旋生长，甚至人体的一些比例，都与黄金分割率有着惊人的联系。这使得 φ 成为连接数学、艺术和生命现象的一个神秘纽带。
与 π 和 e 不同，φ 是一个代数数，它是二次方程 x² x 1 = 0 的正根。但它的出现和应用之广泛，足以让它与 π、e 并列为数学中最重要的独立常数之一。
超越代数的边界：费根鲍姆常数
当我们进入更现代的数学领域，尤其是在混沌理论和非线性动力学中，还会遇到一些“新面孔”。费根鲍姆常数 (Feigenbaum constants) 就是其中两个 remarkable 的例子，它们通常用 δ (delta) 和 α (alpha) 来表示。
它们的名字源于物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum），他发现这些常数出现在描述从周期性行为向混沌行为转变的过程中。
费根鲍姆常数 δ (delta): 它描述了倍周期分岔（perioddoubling bifurcation）发生时，相邻分岔点之间间隔的收敛率。简单来说，在一个非线性系统中，当一个参数缓慢变化时，系统的行为会从一个稳定的周期一（振动一次）变成周期二（振动两次），再变成周期四、周期八，如此循环。δ 就是这个循环的“速度”常数。
δ ≈ 4.6692016091...
这个常数表明，每当你将一个参数调整到使系统从一个周期翻倍到下一个周期时，你需要将参数调整的范围缩小大约 4.669 倍。
费根鲍姆常数 α (alpha): 它与倍周期分岔的“自相似性”有关，描述了在某个特定类型的分岔过程中，结构在不同尺度下的相似性。
α ≈ 2.5029078750...
费根鲍姆常数的独立性在于，它们并非由数学本身的某个公理或定义直接产生，而是从复杂的动态系统行为中涌现出来的。它们似乎是混沌系统的“通用语言”，适用于许多看似不同的非线性系统。
混沌理论的“基石”： δ 和 α 的发现，是混沌理论发展中的一个里程碑。它们揭示了在看似随机的混沌现象背后，存在着深刻的、普适的数学规律。无论你研究的是天气模式、流体动力学，还是生物种群动态，你都有可能在这些系统中找到费根鲍姆常数的影子。
“普适性”的奥秘： 最令人惊叹的是，这两个常数具有惊人的“普适性”。这意味着，对于许多不同类型的非线性系统，只要它们经历倍周期分岔，那么 δ 和 α 的值几乎是相同的！这就像是宇宙为混沌系统设定了一套共通的“开关”和“缩放比例”。
与 π、e、φ 不同，费根鲍姆常数是最近才被发现的，并且它们的数学性质（例如它们是否是有理数或超越数）仍然是研究的活跃领域。
其他值得关注的常数
除了上面提到的这些，数学中还有许多其他具有重要独立性的常数，它们在各自的领域扮演着不可或缺的角色：
阿贝尔常数 (Abel constant): 出现在一些特殊积分或级数的求值中，例如对函数 f(x) = e^(x) 的拉普拉斯变换。
西格玛常数 (Sigma constant), 也称数学常数 S: 定义为 π/2 arctan(1) / 2 ≈ 1.3506。它出现在一些积分计算和概率问题中。
布朗常数 (Brownian constant): 在布朗运动的数学模型中，与粒子的扩散速率有关。
这些常数或许不如 π、e 那样耳熟能详，但它们同样是数学知识体系中重要的组成部分，反映了数学家们对数、形、变化的深刻洞察。
总结：独立常数的意义
π、e、γ、φ、δ、α……这些独立的常数，它们之所以重要，并不仅仅因为它们是特殊的数值。它们代表了数学思想的某种“本质”或“规律”，是连接不同数学分支、甚至连接数学与现实世界的关键节点。
它们是数学的“基石”： 许多数学理论的构建，都离不开这些常数作为基础。
它们是“通用语言”： 它们能够出现在看似不相关的领域，揭示了数学的普适性和深刻的统一性。
它们是“未解之谜”： 很多常数的性质（是否为有理数、超越数等）至今仍是数学研究的前沿，激发着数学家们不断探索。
当我们谈论这些独立的常数时，我们看到的不仅仅是枯燥的数字，而是数学家们通过观察、推理、抽象和创造，从宇宙的规律中提炼出来的智慧结晶。它们的存在，让数学这门学科更加迷人，也更加强大。
网友意见
假装自己真的很懂地来说一个：费根堡姆常数（Feigenbaum Constant）。
这个意想不到的地常数来自于混沌研究中著名的倍周期分叉现象（period-doubling bifurcations）。美国数学物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）在研究中发现，对于所有一维单峰映射，相邻分叉点间隔都会逐渐趋于一个特定常数，这个常数现被称作费根堡姆常数：
最著名的例子莫过于生物学家 Robert May 为了模拟生物种群数量变化而提出的逻辑斯蒂映射（logistic map），其数值序列可以由下述递推关系式表示：
其中 的取值介于0和1之间， 是一个介于0到4之间的常数。
可以验证，在 时，多次迭代后， 的值总会收敛到一个特定值，或者称为不动点（fixed point）。比如若取 ， 会迅速收敛到 0.5；若取 ， 会收敛到 0.6；更一般的，此类情况下总有
但是当 时，序列的行为就变得有意思起来了。例如取 ，最终 的值总会在 0.513... 和 0.799... 两个数值之间跳跃，可以成为系统的吸引子（attractor）。同样可以验证，一直到 前， 多次迭代后的 总会在两个数值间振荡，即系统的周期等于 2。
当 进一步增大超过 3.45，情况又会发生变化。例如取 ， 最终会在 0.383、0.827、0.501、0.875（精确到3位有效数字）这四个值之间振荡。类似的行为可以持续到 。也就是说在大约 3.45 至 3.544 的区间内，系统的周期较之前翻倍，变成了4。
继续增大 的取值，可以进一步发现在大约 3.544 到 3.564 的区间内，系统的周期再次翻倍，变成8。在大约 3.564 到 3.569 的区间内，系统的周期会变成16。。。
如果记 为系统的周期首次变成 时的临界值，精确的计算可以得到如下结果：
随着周期倍增，代表分叉的 之间的间隔也越来越小，直到系统完全进入混沌行为。进一步计算发现，相邻分叉点间隔逐渐趋于 ，即上文提到的费根堡姆常数。
很快，费根堡姆和合作者又发现，除了逻辑斯蒂映射以外，在其他单峰映射的系统里，倍周期现象分叉的收敛速度同样趋于了这个数字。比如下面的形式上非常简单的映射：
随着 的增长，同样会出现类似的倍周期分叉现象。其数值结果有
在诸如正弦映射 、复数域上的 等其他单峰映射中，费根堡姆也观察到了同样的收敛常数。作出了这个发现后，费根堡姆着手从原理上给出了数学证明。他用了场论中被称为重整化（renormalisation）的计算技巧，揭示了这个常数的普适性，也揭开了这些非线性动力学系统中看似无序背后的有序现象，在混沌系统研究的早期迈出了重要的一步。
更神奇的是，后来的发现表明，费根堡姆的理论不仅仅是单纯的数学现象，这套理论在不少物理系统内也得到了证实。例如在一个激光动力学的模型中，电场强度 跟激光增益 之间可以由一个双曲正切映射 来描述，模型预言的倍周期分叉现象可以由实验测量，得到的费根堡姆常数非常接近于 4.6692。这类倍周期分叉现象也在流体、电力系统、化学反应等等令人意想不到的地方得到了证实。
参考资料：
- 维基百科词条：logistic map / Feigenbaum constants
- 梅拉妮·米歇尔，《复杂》，湖南科学技术出版社
说一个跟 类似的常数 ！我们都知道圆周率 是圆的周长与直径的比，其实数学中还有下面这种曲线：
这种曲线称为半径为 的 Bernoulli 双纽线，简称为 双纽线.
现在我们也可以考虑 双纽线 的周长与直径的比. 我们不难得到 双纽线 在极坐标下的方程为 ，现以极径 为参数，可得 双纽线 的周长为
从而 双纽线 的周长与直径的比为
由此可知 双纽线 的周长与直径的比为一个常数，我们称这个常数为 双纽线周率，记为 . 由上面的推导可知
由定义可知 和 长的像两兄弟，不仅如此，它们还有类似的积分表达式
更有意思的是 还与下面这些级数有关系.
1、Khinchin 常数
记实数 的简单连分数展开 ，其中 ， 时
同时令
则对几乎所有实数(随便在数轴上取一个实数，不符合的概率为0)，均有
存在且趋近于同一常数，此常数称为Khinchin常数，记作
的无理性和超越性目前仍不知道
与 类似的有关连分数的常数还有一个Lévy常数：
对某实数 进行 阶连分数近似，也就是把 通分成 的形式，则可以证明对几乎所有实数，均有 ，这里的 就是Lévy常数，不过它不是独立于 的，故不单独列出。
2.Viswanath常数
这个常数和随机斐波那切数列有关，定义 ， ，其中的正负号各自都有 的概率取到，则几乎必然(概率为1) 会趋近于一特定常数 ，这个常数就是Viswanath常数
3.Foias常数
考虑数列 ，则是否存在某个 ，使得 发散到正无穷？
神奇的是，恰恰存在唯一的 满足条件，这个 就被称为Foias常数
4.Grossman常数
考虑数列 ， ，则是否存在某个实数 ，使得数列 收敛？答案是，仅存在唯一的 满足条件，其他条件下， 会在两个值之间震荡，但不收敛，这个常数就被称作Grossman常数。
这个的证明知乎上有，可以看：
5.Glaisher-Kinkelin常数
定义超阶乘(Hyperfactorial)函数 ,估算其增长阶可以得到：
是一个常数，这个常数就是Glaisher-Kinkelin常数，记作 ，大概是
它在一些定积分中经常出现，比如：
它有封闭形式： ，其中 表示黎曼zeta函数在 处的导数值
6.素数相关常数
这类常数有很多，就专门分出一个类来整理它们吧
1.Artin常数
记 是第 个素数，则
2.Backhouse常数
记系数为素数的幂级数
再令 ，将 进行幂级数展开，即
则相邻两项系数之比的绝对值趋近于一个定值，即 存在，大概是 ，这个数便是Backhouse常数
3.Brun常数
若两个素数相差2，则称两个素数为一对孪生素数，如3和5，5和7，11和13等。
Brun证明了所有孪生素数对的倒数和是收敛的，即 收敛，大概是 ，这个数便是Brun常数
而注意到所有素数的倒数和是发散的，因此孪生素数数量很少。如果这个求和是发散的，那就相当于证明了孪生素数猜想，即孪生素数对有无限个，但结果收敛就无法说明问题。
4.Mertens常数
和欧拉常数类似，极限 存在，大概是 ，这个数便是Mertens常数
5.Mills常数
Mills常数定义为最小的正数 使得对所有正整数 ， 都是素数，其中 表示向下取整，这个常数大概是
值得注意的是，有这个特性的常数不止一个，而Mills常数是其中最小的那个
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