为什么规定 0 的阶乘为 1？
咱们来聊聊为啥 0 的阶乘（也就是 0!）被规定为 1 这件事儿。其实这事儿不是凭空拍脑袋想出来的，而是经过深思熟虑，并且是为了让数学里的很多规律和公式能顺畅地运作下去。
什么是阶乘？
首先，咱得明白阶乘是个啥。最常见的定义是，一个正整数 n 的阶乘，记作 n!，就是所有小于及等于 n 的正整数的乘积。
比如：
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
从这个定义看，阶乘是跟“顺序”、“排列”这些概念紧密相关的。比如，4 个人排成一队，有多少种排法？这就是 4! = 24 种。
那 0 呢？
问题来了，按照上面的定义，0 不是正整数，那 0! 还能不能这样算？显然不行。所以，0! = 1 是一个“规定”，但这个规定是有道理的，不是随意乱来的。
为什么是 1？有几个重要的原因：
1. 扩展和一致性：递推关系
阶乘有一个很重要的递推关系：
n! = n × (n1)!
咱们试试这个关系：
4! = 4 × 3! (24 = 4 × 6)
3! = 3 × 2! (6 = 3 × 2)
2! = 2 × 1! (2 = 2 × 1)
现在，咱们把这个关系反过来，看看如果我们要推算 (n1)!：
(n1)! = n! / n
咱们用这个关系来推算 0!：
要算 1!，可以用 2! / 2 = 2 / 2 = 1。
要算 0!，咱们就可以用 1! / 1。
如果咱们规定 0! = 1，那么：
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
这个结果就完美地衔接了 1! 的计算，使得递推关系在 n=1 的时候也成立。如果 0! 不是 1，比如是 0，那 1! = 1 × 0! = 1 × 0 = 0，这就跟 1! 本身是 1 矛盾了。所以，为了保持这个递推关系的普遍性，0! 必须是 1。
2. 组合数和排列数
在组合数学里，排列数和组合数是核心概念。
排列数 P(n, k)：从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列的方案数。公式是 P(n, k) = n! / (nk)!
组合数 C(n, k)：从 n 个不同元素中取出 k 个进行组合（不考虑顺序）的方案数。公式是 C(n, k) = n! / (k! (nk)!)
现在咱们来看看当 k=0 或 k=n 的情况：
C(n, 0)：从 n 个元素中取出 0 个有多少种方法？答案显然只有一种方法，就是什么都不取。
按照公式 C(n, 0) = n! / (0! (n0)!) = n! / (0! n!)。
为了让 C(n, 0) = 1，咱们必须规定 0! = 1。
C(n, 0) = n! / (1 n!) = 1。
C(n, n)：从 n 个元素中取出 n 个有多少种方法？答案也只有一种方法，就是把所有元素都取出来。
按照公式 C(n, n) = n! / (n! (nn)!) = n! / (n! 0!)。
同样，为了让 C(n, n) = 1，咱们也必须规定 0! = 1。
C(n, n) = n! / (n! 1) = 1。
所以，在组合数这个非常重要的数学工具里，0! = 1 是必不可少的，它让 C(n, 0) 和 C(n, n) 都能够得到正确的、符合实际意义的答案。
3. 泰勒级数
在微积分里，泰勒级数（或麦克劳林级数）是表示函数的重要方法。很多函数的泰勒展开式都涉及到阶乘。
比如，指数函数 e^x 的麦克劳林级数是：
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... = Σ (x^n / n!) （从 n=0 到无穷大）
如果咱们把 x=0 代入：
e^0 = 1 + 0/1! + 0²/2! + 0³/3! + ...
根据数学常识，e^0 应该等于 1。
e^0 = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
观察这个级数，当 n=0 的那一项是 x⁰ / 0!。
如果 x=0，这一项是 0⁰ / 0!。
这里有个细节，0⁰ 的值在不同的上下文中可能有争议，但在这里，当它是“x 的 n 次方”且 n=0 时，一般被定义为 1，以保持幂运算的某些性质。
所以，对于 e^x 的级数，第零项（n=0）是 x⁰ / 0!。
如果 x=0，这一项就是 0⁰ / 0!。
为了使整个级数在 x=0 时等于 e⁰ = 1，那么 0⁰ / 0! 这一项就必须等于 1。
如果 0⁰ = 1，那么 1 / 0! = 1，这就又导出了 0! = 1。
4. 空积（Empty Product）
有时候，数学上的定义会从“有限”推广到“无限”或“零”的情况，这时候会用到“空积”的概念。
“空积”是指将一组数字相乘，但这组数字是空的，没有元素。
例如：
1 × 2 × 3 = 6 （这是乘积）
1 × 2 = 2
1 = 1
（空积）= ？
乘法运算的单位元是 1。任何数乘以 1 都等于它本身。
如果咱们把一个空集合的乘积定义为乘法单位元 1，那么：
（空积） × x = x
1 × x = x
这和阶乘也有联系。n! 可以看作是从 1 到 n 的整数序列的乘积。
那么 0! 就可以看作是“空集”的乘积，即没有任何数字相乘。按照空积的定义，这就应该是 1。
总结一下：
保持数学公式的连续性和一致性：特别是阶乘的递推关系 n! = n × (n1)!，规定 0! = 1 能让这个关系在 n=1 时也成立。
保证组合数学的准确性：C(n, 0) = 1 和 C(n, n) = 1，这是组合数最基础也是最重要的两个性质，0! = 1 是实现它们不可或缺的条件。
使函数展开式等高级数学工具通用：如指数函数 e^x 的泰勒级数，0! = 1 是其展开式正确运作的基础。
契合空积的数学定义：作为“无乘法”的结果，它被定义为乘法的单位元，即 1。
所以，0! = 1 不是一个随意的规定，而是为了让数学体系能够更完整、更和谐、更普适而做出的一个非常合理的定义。就好比咱们规定“1 减 1 等于 0”，是为了让减法能自洽一样。
什么是阶乘？
首先，咱得明白阶乘是个啥。最常见的定义是，一个正整数 n 的阶乘，记作 n!，就是所有小于及等于 n 的正整数的乘积。
比如：
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
从这个定义看，阶乘是跟“顺序”、“排列”这些概念紧密相关的。比如，4 个人排成一队，有多少种排法？这就是 4! = 24 种。
那 0 呢？
问题来了，按照上面的定义，0 不是正整数，那 0! 还能不能这样算？显然不行。所以，0! = 1 是一个“规定”，但这个规定是有道理的，不是随意乱来的。
为什么是 1？有几个重要的原因：
1. 扩展和一致性：递推关系
阶乘有一个很重要的递推关系：
n! = n × (n1)!
咱们试试这个关系：
4! = 4 × 3! (24 = 4 × 6)
3! = 3 × 2! (6 = 3 × 2)
2! = 2 × 1! (2 = 2 × 1)
现在，咱们把这个关系反过来，看看如果我们要推算 (n1)!：
(n1)! = n! / n
咱们用这个关系来推算 0!：
要算 1!，可以用 2! / 2 = 2 / 2 = 1。
要算 0!，咱们就可以用 1! / 1。
如果咱们规定 0! = 1，那么：
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
这个结果就完美地衔接了 1! 的计算，使得递推关系在 n=1 的时候也成立。如果 0! 不是 1，比如是 0，那 1! = 1 × 0! = 1 × 0 = 0，这就跟 1! 本身是 1 矛盾了。所以，为了保持这个递推关系的普遍性，0! 必须是 1。
2. 组合数和排列数
在组合数学里，排列数和组合数是核心概念。
排列数 P(n, k)：从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列的方案数。公式是 P(n, k) = n! / (nk)!
组合数 C(n, k)：从 n 个不同元素中取出 k 个进行组合（不考虑顺序）的方案数。公式是 C(n, k) = n! / (k! (nk)!)
现在咱们来看看当 k=0 或 k=n 的情况：
C(n, 0)：从 n 个元素中取出 0 个有多少种方法？答案显然只有一种方法，就是什么都不取。
按照公式 C(n, 0) = n! / (0! (n0)!) = n! / (0! n!)。
为了让 C(n, 0) = 1，咱们必须规定 0! = 1。
C(n, 0) = n! / (1 n!) = 1。
C(n, n)：从 n 个元素中取出 n 个有多少种方法？答案也只有一种方法，就是把所有元素都取出来。
按照公式 C(n, n) = n! / (n! (nn)!) = n! / (n! 0!)。
同样，为了让 C(n, n) = 1，咱们也必须规定 0! = 1。
C(n, n) = n! / (n! 1) = 1。
所以，在组合数这个非常重要的数学工具里，0! = 1 是必不可少的，它让 C(n, 0) 和 C(n, n) 都能够得到正确的、符合实际意义的答案。
3. 泰勒级数
在微积分里，泰勒级数（或麦克劳林级数）是表示函数的重要方法。很多函数的泰勒展开式都涉及到阶乘。
比如，指数函数 e^x 的麦克劳林级数是：
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... = Σ (x^n / n!) （从 n=0 到无穷大）
如果咱们把 x=0 代入：
e^0 = 1 + 0/1! + 0²/2! + 0³/3! + ...
根据数学常识，e^0 应该等于 1。
e^0 = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
观察这个级数，当 n=0 的那一项是 x⁰ / 0!。
如果 x=0，这一项是 0⁰ / 0!。
这里有个细节，0⁰ 的值在不同的上下文中可能有争议，但在这里，当它是“x 的 n 次方”且 n=0 时，一般被定义为 1，以保持幂运算的某些性质。
所以，对于 e^x 的级数，第零项（n=0）是 x⁰ / 0!。
如果 x=0，这一项就是 0⁰ / 0!。
为了使整个级数在 x=0 时等于 e⁰ = 1，那么 0⁰ / 0! 这一项就必须等于 1。
如果 0⁰ = 1，那么 1 / 0! = 1，这就又导出了 0! = 1。
4. 空积（Empty Product）
有时候，数学上的定义会从“有限”推广到“无限”或“零”的情况，这时候会用到“空积”的概念。
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1 = 1
（空积）= ？
乘法运算的单位元是 1。任何数乘以 1 都等于它本身。
如果咱们把一个空集合的乘积定义为乘法单位元 1，那么：
（空积） × x = x
1 × x = x
这和阶乘也有联系。n! 可以看作是从 1 到 n 的整数序列的乘积。
那么 0! 就可以看作是“空集”的乘积，即没有任何数字相乘。按照空积的定义，这就应该是 1。
总结一下：
保持数学公式的连续性和一致性：特别是阶乘的递推关系 n! = n × (n1)!，规定 0! = 1 能让这个关系在 n=1 时也成立。
保证组合数学的准确性：C(n, 0) = 1 和 C(n, n) = 1，这是组合数最基础也是最重要的两个性质，0! = 1 是实现它们不可或缺的条件。
使函数展开式等高级数学工具通用：如指数函数 e^x 的泰勒级数，0! = 1 是其展开式正确运作的基础。
契合空积的数学定义：作为“无乘法”的结果，它被定义为乘法的单位元，即 1。
所以，0! = 1 不是一个随意的规定，而是为了让数学体系能够更完整、更和谐、更普适而做出的一个非常合理的定义。就好比咱们规定“1 减 1 等于 0”，是为了让减法能自洽一样。
网友意见
因为n!=n*(n-1)!，令n=1，则，1！=1*0！，0!=1
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