1³+2³+3³+......+n³=多少？
这道题问的是：1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ 的和是多少？
咱们来一步一步拆解这个问题。
一、 理解问题：立方和
首先，我们看到的是一系列数字的立方相加。比如：
n=1 时，和是 1³ = 1
n=2 时，和是 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9
n=3 时，和是 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
你能发现什么规律吗？（先别急着找答案，自己先观察一下）
二、 寻找规律（尝试与已知公式关联）
很多人第一次接触这个问题，可能会尝试着去寻找数字上的规律。比如：
1³ = 1 = 1² = (1)²
1³ + 2³ = 9 = 3² = (1+2)²
1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6² = (1+2+3)²
诶！是不是有点意思？ parece que el resultado es siempre un cuadrado perfecto. Y la base de ese cuadrado… ¡parece ser la suma de los números naturales hasta n!
让我们来验证一下这个猜想：
n=4 时，我们猜的和应该是 (1+2+3+4)² = 10² = 100。
实际计算：1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100。
Bingo！这个规律看起来非常强大！
三、 引入“等差数列求和”的知识
你可能会问，为什么这个规律会和“等差数列求和”有关呢？
还记得我们小学（或者初中）学过的等差数列求和公式吗？
1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)/2
根据我们刚才观察到的规律，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ 的和，好像就是 (1 + 2 + 3 + …… + n)²
所以，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
四、 为什么会是这样？（更深入的理解）
这个公式是怎么来的呢？如果只是观察数字，我们很容易发现规律，但证明它需要一些更严谨的方法。这里介绍一种比较直观（但不是唯一的）的证明思路：
一种几何的解释（想象一下）：
想象一下，我们用小方块来搭建一个“立方体”。
1³ 是一个 1x1x1 的小立方体。
2³ 是一个 2x2x2 的立方体。
我们要怎么把这些不同大小的立方体堆叠起来，变成一个更大的“立方体”呢？这个想法有点抽象，咱们换个角度。
另一种思路：利用代数恒等式（稍微有点数学味道，但很有意思）
我们可以考虑一个恒等式：
(k+1)⁴ k⁴ = 4k³ + 6k² + 4k + 1
这是一个非常有用的工具。如果我们把 k 从 1 取到 n，然后把所有这些等式加起来：
当 k=1 时：2⁴ 1⁴ = 4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1
当 k=2 时：3⁴ 2⁴ = 4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1
当 k=3 时：4⁴ 3⁴ = 4(3)³ + 6(3)² + 4(3) + 1
...
当 k=n 时：(n+1)⁴ n⁴ = 4(n)³ + 6(n)² + 4(n) + 1
现在，把所有这些等式的左边加起来：
(2⁴ 1⁴) + (3⁴ 2⁴) + (4⁴ 3⁴) + …… + ((n+1)⁴ n⁴)
这是一个 “裂项求和” 的过程，你会发现很多项会抵消掉：
1⁴ + 2⁴ 2⁴ + 3⁴ 3⁴ + …… + n⁴ n⁴ + (n+1)⁴
= (n+1)⁴ 1⁴
= (n+1)⁴ 1
再把所有等式的右边加起来：
[4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1] + [4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1] + …… + [4(n)³ + 6(n)² + 4(n) + 1]
我们可以把同类项组合起来：
4(1³ + 2³ + …… + n³) + 6(1² + 2² + …… + n²) + 4(1 + 2 + …… + n) + (1 + 1 + …… + 1) （这里有 n 个 1）
所以，我们得到了一个等式：
(n+1)⁴ 1 = 4(1³ + 2³ + …… + n³) + 6(1² + 2² + …… + n²) + 4(1 + 2 + …… + n) + n
现在，我们知道 (1 + 2 + …… + n) = n(n+1)/2。
我们也知道 (1² + 2² + …… + n²) = n(n+1)(2n+1)/6 （这个公式也需要单独证明，但我们先用它）。
把这些代入等式，然后解出 1³ + 2³ + …… + n³ 这一项，你最终会得到：
1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
五、 总结
所以，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ 的和，就是 从 1 加到 n 的和的平方。
用更数学的语言来说，这个公式叫做 “平方和公式”（虽然我们通常说的平方和是 1² + 2² + …… + n²，但这个关于立方和的公式也非常有名）。
记住这个公式：1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
这个公式真是巧妙，将看似复杂的立方和问题，转化成了简单的等差数列求和问题。
咱们来一步一步拆解这个问题。
一、 理解问题：立方和
首先，我们看到的是一系列数字的立方相加。比如：
n=1 时，和是 1³ = 1
n=2 时，和是 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9
n=3 时，和是 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
你能发现什么规律吗？（先别急着找答案，自己先观察一下）
二、 寻找规律（尝试与已知公式关联）
很多人第一次接触这个问题，可能会尝试着去寻找数字上的规律。比如：
1³ = 1 = 1² = (1)²
1³ + 2³ = 9 = 3² = (1+2)²
1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6² = (1+2+3)²
诶！是不是有点意思？ parece que el resultado es siempre un cuadrado perfecto. Y la base de ese cuadrado… ¡parece ser la suma de los números naturales hasta n!
让我们来验证一下这个猜想：
n=4 时，我们猜的和应该是 (1+2+3+4)² = 10² = 100。
实际计算：1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100。
Bingo！这个规律看起来非常强大！
三、 引入“等差数列求和”的知识
你可能会问，为什么这个规律会和“等差数列求和”有关呢？
还记得我们小学（或者初中）学过的等差数列求和公式吗？
1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)/2
根据我们刚才观察到的规律，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ 的和，好像就是 (1 + 2 + 3 + …… + n)²
所以，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
四、 为什么会是这样？（更深入的理解）
这个公式是怎么来的呢？如果只是观察数字，我们很容易发现规律，但证明它需要一些更严谨的方法。这里介绍一种比较直观（但不是唯一的）的证明思路：
一种几何的解释（想象一下）：
想象一下，我们用小方块来搭建一个“立方体”。
1³ 是一个 1x1x1 的小立方体。
2³ 是一个 2x2x2 的立方体。
我们要怎么把这些不同大小的立方体堆叠起来，变成一个更大的“立方体”呢？这个想法有点抽象，咱们换个角度。
另一种思路：利用代数恒等式（稍微有点数学味道，但很有意思）
我们可以考虑一个恒等式：
(k+1)⁴ k⁴ = 4k³ + 6k² + 4k + 1
这是一个非常有用的工具。如果我们把 k 从 1 取到 n，然后把所有这些等式加起来：
当 k=1 时：2⁴ 1⁴ = 4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1
当 k=2 时：3⁴ 2⁴ = 4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1
当 k=3 时：4⁴ 3⁴ = 4(3)³ + 6(3)² + 4(3) + 1
...
当 k=n 时：(n+1)⁴ n⁴ = 4(n)³ + 6(n)² + 4(n) + 1
现在，把所有这些等式的左边加起来：
(2⁴ 1⁴) + (3⁴ 2⁴) + (4⁴ 3⁴) + …… + ((n+1)⁴ n⁴)
这是一个 “裂项求和” 的过程，你会发现很多项会抵消掉：
1⁴ + 2⁴ 2⁴ + 3⁴ 3⁴ + …… + n⁴ n⁴ + (n+1)⁴
= (n+1)⁴ 1⁴
= (n+1)⁴ 1
再把所有等式的右边加起来：
[4(1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1] + [4(2)³ + 6(2)² + 4(2) + 1] + …… + [4(n)³ + 6(n)² + 4(n) + 1]
我们可以把同类项组合起来：
4(1³ + 2³ + …… + n³) + 6(1² + 2² + …… + n²) + 4(1 + 2 + …… + n) + (1 + 1 + …… + 1) （这里有 n 个 1）
所以，我们得到了一个等式：
(n+1)⁴ 1 = 4(1³ + 2³ + …… + n³) + 6(1² + 2² + …… + n²) + 4(1 + 2 + …… + n) + n
现在，我们知道 (1 + 2 + …… + n) = n(n+1)/2。
我们也知道 (1² + 2² + …… + n²) = n(n+1)(2n+1)/6 （这个公式也需要单独证明，但我们先用它）。
把这些代入等式，然后解出 1³ + 2³ + …… + n³ 这一项，你最终会得到：
1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
五、 总结
所以，1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ 的和，就是 从 1 加到 n 的和的平方。
用更数学的语言来说，这个公式叫做 “平方和公式”（虽然我们通常说的平方和是 1² + 2² + …… + n²，但这个关于立方和的公式也非常有名）。
记住这个公式：1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ = [n(n+1)/2]²
这个公式真是巧妙，将看似复杂的立方和问题，转化成了简单的等差数列求和问题。
网友意见
Proof 1:
This picture implies
Proof 2:
Firstly, we have
then we assume
next, there has
hence, by Mathematical Induction, we can assert that
Proof 3:
Initially, note that
thus
where the red summation can be refered in the nether answer
therefore
Proof 4:
Let
then
It's characteristic equation is
which means
so we can set
Note that
, , , ,
We could solve by the above informtion, finally we get
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