在经典力学的体系下，有没有可能用实验模拟的方法来解决三体问题？
在经典力学的框架下，我们能否通过实验模拟的方式来“解决”三体问题？这是一个引人入胜的问题，涉及到我们对“解决”的定义，以及实验模拟的本质。要详细地探讨这一点，我们需要深入理解三体问题的本质，以及实验模拟的局限与可能性。
首先，让我们明确一下“三体问题”。简单来说，它描述的是三个具有质量的物体，在它们相互之间的万有引力作用下，如何运动的问题。与两体问题（如行星绕恒星运动）能够得到解析解（即可以用数学公式精确描述运动轨迹）不同，三体问题在绝大多数情况下是无法得到一般性的解析解的。这意味着，我们很难用一套统一的数学公式来预测任意三个初始条件下的三体运动。正因如此，三体问题成为了经典力学中最著名、也是最棘手的未解之谜之一。
那么，什么是“解决”三体问题？通常，当我们说解决一个物理问题时，意味着我们能够通过数学模型或理论来预测物体的行为，知道它在任何时刻的位置和速度。对于三体问题，由于其混沌的特性，即使是微小的初始条件变化，也会导致后续运动轨迹的巨大差异。因此，我们无法像两体问题那样找到一个简单的、普适的解析表达式。
在这种情况下，实验模拟扮演了一个非常重要的角色。如果我们无法通过解析的方法找到普适的解，那么我们能否通过数值模拟来“解决”它？答案是肯定的，但这种“解决”是有条件的，并且与我们对“解决”的期望可能有所不同。
数值模拟：一步一步的“解决”
经典力学中的三体问题，其核心是牛顿万有引力定律以及牛顿第二定律。这些定律本身是明确的、可以用于计算的。如果给定三个物体的初始位置和速度，以及它们的质量，我们就可以根据这些定律，计算出它们在下一个极短时间间隔内的位置和速度变化。这个过程可以迭代地进行下去，就像播放一段连续的电影，每一帧都是根据上一帧的状态计算出来的。
这就是数值模拟的本质。我们并非找到一个能预测未来的“公式”，而是通过大量的数值计算，来模拟三体运动的过程。
基本原理：
牛顿第二定律 (F=ma): 对于任意一个物体 i，其受到的合外力 $F_i$ 等于其质量 $m_i$ 乘以其加速度 $a_i$。
万有引力定律: 物体 i 受到的来自物体 j 的引力 $F_{ij}$ 的大小与两个物体的质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，方向指向物体 j。 $F_{ij} = G frac{m_i m_j}{r_{ij}^2} hat{r}_{ij}$，其中 G 是引力常数，$r_{ij}$ 是它们之间的距离，$hat{r}_{ij}$ 是从 i 指向 j 的单位向量。
矢量求和: 物体 i 的加速度 $a_i$ 是所有其他物体 j 对它施加的引力的合力除以其质量。 $a_i = frac{1}{m_i} sum_{j eq i} F_{ij}$。
积分: 加速度是速度对时间的一阶导数，速度是位置对时间的一阶导数。通过对加速度进行数值积分，可以得到速度的变化；再对速度进行数值积分，可以得到位置的变化。
数值积分方法： 由于我们无法直接找到解析积分，就需要使用数值积分方法，例如：
欧拉法 (Euler Method): 最简单的方法，将速度和位置的改变近似为常数。例如，在时间步长 $Delta t$ 内，$v_{new} = v_{old} + a Delta t$， $r_{new} = r_{old} + v Delta t$。这种方法简单易懂，但精度较低，容易累积误差。
龙格库塔法 (RungeKutta Methods): 更复杂但更精确的方法，通过在时间步长内计算多个中间点的斜率来提高精度。例如，四阶龙格库塔法 (RK4) 是最常用的方法之一，它能够在保持一定计算量的前提下提供较高的精度。
岁差修正积分器 (Symplectic Integrators): 对于力学问题，特别是涉及到能量守恒和动量守恒的系统，岁差修正积分器（如 Leapfrog 积分器）往往是更好的选择。它们能更好地保持系统的长期稳定性，减少能量的漂移，这对于模拟长时间尺度下的天体运动至关重要。
实验模拟的“可操作性”
现在，我们来谈谈“实验模拟”。在经典力学语境下，这通常意味着用物理系统来重现三体运动的规律。
1. 物理实验模拟的可能性（及其局限）：
概念验证： 理论上，我们可以构建一个物理系统来模拟三体问题。例如，设想三个带有某种相互作用力的滑块在光滑的平面上运动，这个相互作用力模拟万有引力。或者，使用电磁力来模拟引力，比如带有磁性的球体，它们之间的吸引力可以近似为某种形式的“引力”。
巨大的挑战： 然而，要用真实可控的物理实验来精确模拟经典力学下的三体问题，会面临巨大的技术和理论障碍：
精确的相互作用力： 万有引力与距离的平方成反比，并且非常微弱。要制造出能够精确模仿这种引力作用，并且能够在一个相对小的实验空间内进行精确控制的物理系统，极其困难。例如，用磁铁模拟引力，磁力的衰减规律与 $1/r^2$ 不同，而且磁力比引力强大得多，控制起来也更复杂，容易引入非预期的效应。
无摩擦、无阻力： 为了符合经典力学的理想化条件，实验环境需要尽可能地消除摩擦、空气阻力等外部干扰。在宏观的物理实验中，这是非常难实现的。即使是最光滑的表面，也存在微小的摩擦；即使是真空环境，也存在残余气体。这些微小的影响，在三体问题这种对初始条件极其敏感的混沌系统中，会很快被放大，导致模拟结果与理论预测产生巨大偏差。
精确的初始条件： 三体问题对初始位置和速度极其敏感。要将三个物体的初始状态（位置、速度、方向）设置到实验上极其精确的程度，也是一个巨大的挑战。任何微小的误差都会导致结果的巨大差异。
观测的精度： 即使我们能设置好实验，如何高精度地实时观测到这三个物体的运动轨迹，并与数值模拟结果进行对比，也是一个技术难题。
时空尺度： 我们日常接触的宏观物体，其相互作用力（如引力）非常微弱，而且需要非常大的质量才能产生明显的运动。如果我们试图用日常物体来模拟，可能需要非常大的尺度和非常长的时间。
“模拟”而非“解决”： 即使我们能克服上述困难，我们做的也仍然是“模拟”，而不是“解决”。我们只是在用一个物理系统“演绎”三体运动的特定实例，而不能像解析解那样提供一个通用的公式来描述所有可能的情况。
2. 数值模拟是更现实的“实验模拟”
事实上，在经典力学研究三体问题时，数值模拟才是我们实际进行“实验模拟”的主要手段。计算机成为了我们进行这类“实验”的强大工具。
计算机模拟的优势：
精确控制： 我们可以非常精确地设定初始条件、物体的质量、相互作用的精确形式（完全按照牛顿定律）。
理想化环境： 我们可以模拟一个完全没有摩擦、没有阻力、没有外部干扰的理想环境。
超高精度计算： 通过使用高精度的数值积分算法，可以极大地提高模拟结果的精度。
任意时间尺度： 我们可以模拟非常长的时间，观察系统的长期演化。
可视化分析： 我们可以将模拟结果进行可视化，方便我们观察和分析三体运动的复杂动态，例如发现周期性、准周期性或混沌行为。
“解决”的含义在数值模拟中的体现： 在这种意义下，“解决”三体问题意味着：
给定一组特定的初始条件，能够通过数值模拟精确计算出其在任意时刻的位置和速度。 这意味着我们对这个特定三体系统的行为有了“了解”和“预测能力”。
通过大量的数值模拟，发现三体问题中存在的各种运动模式，例如周期解、混沌解，并尝试对这些模式进行分类和理解。 例如，我们无法找到一个适用于所有三体系统的“公式”，但我们可以通过模拟发现某些特殊的“三体轨道”，如雅科比积分等。
总结
在经典力学的体系下，用物理实验直接、精确地“解决”三体问题，使其结果与理论预测完美吻合，是极其困难，甚至可以说是不切实际的。其困难主要来源于实现精确的相互作用力、排除环境干扰以及精确控制初始条件的挑战。
然而，如果我们把“实验模拟”的范畴扩展到数值模拟，那么答案是肯定的。数值模拟是目前我们能够以最接近“解决”三体问题的方式来进行研究的手段。 它允许我们在计算机上建立一个理想化的、受控的“实验环境”，用精确的数学模型（牛顿定律）来计算并预测特定三体系统的运动轨迹。
尽管如此，需要强调的是，即使通过数值模拟，我们通常也无法找到一个普适的解析公式来描述所有三体问题的解。我们解决的是“特定实例”的三体问题，并通过大量实例的模拟来探索三体运动的复杂性和混沌特性。因此，我们是在用一种“计算实验”的方式来“解决”它，而不是找到一个简洁优雅的数学表达式。
最终，我们对三体问题的“解决”，更多体现在通过数值模拟，我们可以理解并预测特定三体系统在给定初始条件下的行为，揭示其内在的复杂性，而不是像两体问题那样找到一个适用于一切情况的“银弹”公式。
首先，让我们明确一下“三体问题”。简单来说，它描述的是三个具有质量的物体，在它们相互之间的万有引力作用下，如何运动的问题。与两体问题（如行星绕恒星运动）能够得到解析解（即可以用数学公式精确描述运动轨迹）不同，三体问题在绝大多数情况下是无法得到一般性的解析解的。这意味着，我们很难用一套统一的数学公式来预测任意三个初始条件下的三体运动。正因如此，三体问题成为了经典力学中最著名、也是最棘手的未解之谜之一。
那么，什么是“解决”三体问题？通常，当我们说解决一个物理问题时，意味着我们能够通过数学模型或理论来预测物体的行为，知道它在任何时刻的位置和速度。对于三体问题，由于其混沌的特性，即使是微小的初始条件变化，也会导致后续运动轨迹的巨大差异。因此，我们无法像两体问题那样找到一个简单的、普适的解析表达式。
在这种情况下，实验模拟扮演了一个非常重要的角色。如果我们无法通过解析的方法找到普适的解，那么我们能否通过数值模拟来“解决”它？答案是肯定的，但这种“解决”是有条件的，并且与我们对“解决”的期望可能有所不同。
数值模拟：一步一步的“解决”
经典力学中的三体问题，其核心是牛顿万有引力定律以及牛顿第二定律。这些定律本身是明确的、可以用于计算的。如果给定三个物体的初始位置和速度，以及它们的质量，我们就可以根据这些定律，计算出它们在下一个极短时间间隔内的位置和速度变化。这个过程可以迭代地进行下去，就像播放一段连续的电影，每一帧都是根据上一帧的状态计算出来的。
这就是数值模拟的本质。我们并非找到一个能预测未来的“公式”，而是通过大量的数值计算，来模拟三体运动的过程。
基本原理：
牛顿第二定律 (F=ma): 对于任意一个物体 i，其受到的合外力 $F_i$ 等于其质量 $m_i$ 乘以其加速度 $a_i$。
万有引力定律: 物体 i 受到的来自物体 j 的引力 $F_{ij}$ 的大小与两个物体的质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，方向指向物体 j。 $F_{ij} = G frac{m_i m_j}{r_{ij}^2} hat{r}_{ij}$，其中 G 是引力常数，$r_{ij}$ 是它们之间的距离，$hat{r}_{ij}$ 是从 i 指向 j 的单位向量。
矢量求和: 物体 i 的加速度 $a_i$ 是所有其他物体 j 对它施加的引力的合力除以其质量。 $a_i = frac{1}{m_i} sum_{j eq i} F_{ij}$。
积分: 加速度是速度对时间的一阶导数，速度是位置对时间的一阶导数。通过对加速度进行数值积分，可以得到速度的变化；再对速度进行数值积分，可以得到位置的变化。
数值积分方法： 由于我们无法直接找到解析积分，就需要使用数值积分方法，例如：
欧拉法 (Euler Method): 最简单的方法，将速度和位置的改变近似为常数。例如，在时间步长 $Delta t$ 内，$v_{new} = v_{old} + a Delta t$， $r_{new} = r_{old} + v Delta t$。这种方法简单易懂，但精度较低，容易累积误差。
龙格库塔法 (RungeKutta Methods): 更复杂但更精确的方法，通过在时间步长内计算多个中间点的斜率来提高精度。例如，四阶龙格库塔法 (RK4) 是最常用的方法之一，它能够在保持一定计算量的前提下提供较高的精度。
岁差修正积分器 (Symplectic Integrators): 对于力学问题，特别是涉及到能量守恒和动量守恒的系统，岁差修正积分器（如 Leapfrog 积分器）往往是更好的选择。它们能更好地保持系统的长期稳定性，减少能量的漂移，这对于模拟长时间尺度下的天体运动至关重要。
实验模拟的“可操作性”
现在，我们来谈谈“实验模拟”。在经典力学语境下，这通常意味着用物理系统来重现三体运动的规律。
1. 物理实验模拟的可能性（及其局限）：
概念验证： 理论上，我们可以构建一个物理系统来模拟三体问题。例如，设想三个带有某种相互作用力的滑块在光滑的平面上运动，这个相互作用力模拟万有引力。或者，使用电磁力来模拟引力，比如带有磁性的球体，它们之间的吸引力可以近似为某种形式的“引力”。
巨大的挑战： 然而，要用真实可控的物理实验来精确模拟经典力学下的三体问题，会面临巨大的技术和理论障碍：
精确的相互作用力： 万有引力与距离的平方成反比，并且非常微弱。要制造出能够精确模仿这种引力作用，并且能够在一个相对小的实验空间内进行精确控制的物理系统，极其困难。例如，用磁铁模拟引力，磁力的衰减规律与 $1/r^2$ 不同，而且磁力比引力强大得多，控制起来也更复杂，容易引入非预期的效应。
无摩擦、无阻力： 为了符合经典力学的理想化条件，实验环境需要尽可能地消除摩擦、空气阻力等外部干扰。在宏观的物理实验中，这是非常难实现的。即使是最光滑的表面，也存在微小的摩擦；即使是真空环境，也存在残余气体。这些微小的影响，在三体问题这种对初始条件极其敏感的混沌系统中，会很快被放大，导致模拟结果与理论预测产生巨大偏差。
精确的初始条件： 三体问题对初始位置和速度极其敏感。要将三个物体的初始状态（位置、速度、方向）设置到实验上极其精确的程度，也是一个巨大的挑战。任何微小的误差都会导致结果的巨大差异。
观测的精度： 即使我们能设置好实验，如何高精度地实时观测到这三个物体的运动轨迹，并与数值模拟结果进行对比，也是一个技术难题。
时空尺度： 我们日常接触的宏观物体，其相互作用力（如引力）非常微弱，而且需要非常大的质量才能产生明显的运动。如果我们试图用日常物体来模拟，可能需要非常大的尺度和非常长的时间。
“模拟”而非“解决”： 即使我们能克服上述困难，我们做的也仍然是“模拟”，而不是“解决”。我们只是在用一个物理系统“演绎”三体运动的特定实例，而不能像解析解那样提供一个通用的公式来描述所有可能的情况。
2. 数值模拟是更现实的“实验模拟”
事实上，在经典力学研究三体问题时，数值模拟才是我们实际进行“实验模拟”的主要手段。计算机成为了我们进行这类“实验”的强大工具。
计算机模拟的优势：
精确控制： 我们可以非常精确地设定初始条件、物体的质量、相互作用的精确形式（完全按照牛顿定律）。
理想化环境： 我们可以模拟一个完全没有摩擦、没有阻力、没有外部干扰的理想环境。
超高精度计算： 通过使用高精度的数值积分算法，可以极大地提高模拟结果的精度。
任意时间尺度： 我们可以模拟非常长的时间，观察系统的长期演化。
可视化分析： 我们可以将模拟结果进行可视化，方便我们观察和分析三体运动的复杂动态，例如发现周期性、准周期性或混沌行为。
“解决”的含义在数值模拟中的体现： 在这种意义下，“解决”三体问题意味着：
给定一组特定的初始条件，能够通过数值模拟精确计算出其在任意时刻的位置和速度。 这意味着我们对这个特定三体系统的行为有了“了解”和“预测能力”。
通过大量的数值模拟，发现三体问题中存在的各种运动模式，例如周期解、混沌解，并尝试对这些模式进行分类和理解。 例如，我们无法找到一个适用于所有三体系统的“公式”，但我们可以通过模拟发现某些特殊的“三体轨道”，如雅科比积分等。
总结
在经典力学的体系下，用物理实验直接、精确地“解决”三体问题，使其结果与理论预测完美吻合，是极其困难，甚至可以说是不切实际的。其困难主要来源于实现精确的相互作用力、排除环境干扰以及精确控制初始条件的挑战。
然而，如果我们把“实验模拟”的范畴扩展到数值模拟，那么答案是肯定的。数值模拟是目前我们能够以最接近“解决”三体问题的方式来进行研究的手段。 它允许我们在计算机上建立一个理想化的、受控的“实验环境”，用精确的数学模型（牛顿定律）来计算并预测特定三体系统的运动轨迹。
尽管如此，需要强调的是，即使通过数值模拟，我们通常也无法找到一个普适的解析公式来描述所有三体问题的解。我们解决的是“特定实例”的三体问题，并通过大量实例的模拟来探索三体运动的复杂性和混沌特性。因此，我们是在用一种“计算实验”的方式来“解决”它，而不是找到一个简洁优雅的数学表达式。
最终，我们对三体问题的“解决”，更多体现在通过数值模拟，我们可以理解并预测特定三体系统在给定初始条件下的行为，揭示其内在的复杂性，而不是像两体问题那样找到一个适用于一切情况的“银弹”公式。
网友意见
普遍的三体问题是没有数值解的
这个前提是不对的。数值解简直太好解了，给出质量、初始位置和速度，用Verlet intergration一步步算就行了。
只要计算资源管够，别说三体问题，三亿体问题都能给你解出来。
多体问题难的不是数值解，而是没有通用的解析解，以及对初值的敏感性。
这个没有意义。这个问题其实和知乎上很多人认为随着计算机的发展，上人工智能，量子计算机，我们就可以算化学算生物，算一切一切，彻底解决伪化生一样，都是还原论幼稚病而已。
就题主这个问题来说“第一步：测出在一个三体系统中某一时刻三个天体的位置和速度”，问题是你测试的不可能是没有误差的。根据测不准原理， ，你就是不可能得到百分之百正确的初值。虽然对于宏观物体，不确定性并不显著，但是它就是存在。
随着三体体系的不断运行，你测量的误差只能是不断放大，不断偏离你的预测。认为运算能力够，就可以根据公式算一切一切的东西，是显然错误的，因为“more is different”。
不要以为我们理解两体运动，我们就能搞定三体运动，三体运动就会出现混沌现象了。不要以为我们可以近似处理三体运动就以为我们能处理1mol粒子的系统。1mol粒子构成的系统，我们只能用统计力学来处理，这已经是完全不同的理论了。1mol粒子就可能出现湍流。当我们有一屋子空气时，什么奇怪的现象都没有，而当我们有大气层那么多的空气时，我们才能看到台风/龙卷风这种现象。More Is Different。 数量会给系统的性质带来巨大的差异。因为10个神经元的人工神经网络很容易理解就认为1000亿个神经元的人工神经网络很容易理解，这是可信度很低的观点。
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