陶哲轩这篇关于 N-S 方程的证明具体是得出了什么结论，对 CFD 会有什么深远影响吗？
好的，我们来聊聊陶哲轩关于纳维斯托克斯（NS）方程的研究，以及它对计算流体动力学（CFD）可能产生的深远影响。
首先，要理解陶哲轩的工作，我们需要先知道 NS 方程本身是什么。简单来说，NS方程是一组描述流体运动基本规律的偏微分方程。它将流体的速度、压力、密度以及施加在流体上的力（比如黏性力）联系起来。在物理世界中，我们看到的风吹草动、海浪翻涌、飞机起降时的气流等等，背后都有 NS 方程的影子。
陶哲轩的研究究竟是关于 NS 方程的什么？
严格来说，陶哲轩（Terence Tao）的研究并不是直接针对“计算流体动力学”（CFD）的某个具体应用，而是触及了 NS 方程在数学上的一个非常根本的问题：解的存在性和光滑性。
我们知道，NS方程可以描述从非常光滑（就像平静的水面）到非常湍流（就像漩涡迭起）的各种流体行为。数学家们特别关心的是，对于任何给定的初始条件（比如知道某一时刻流体的速度和压力分布），NS方程是否总能产生一个“良好”的解，也就是说，这个解在时间上是否会一直存在，并且在空间上是否会保持“光滑”而不会出现奇点（例如无限大的速度或压力）。
这是数学领域一个长期悬而未决的重大问题，也被称为“纳维斯托克斯方程的整体光滑解的存在性”问题。这个问题的解决是“千禧年大奖难题”之一，证明了它能获得一百万美元的奖金，可见其难度和重要性。
陶哲轩的研究，特别是他与合作者（例如 Charles Fefferman、Andrei Khokhlov 等）在这一领域的一些工作，并没有完全解决这个“千禧年问题”。准确地说，陶哲轩的研究更多地集中在揭示 NS 方程在高维空间（例如三维及以上）中行为的复杂性，以及在某些特定条件下的解的性质。
举个例子，他的一些工作可能涉及到：
对 NS 方程解的局部性质的深入理解： 即使不能保证全局解一定存在且光滑，但我们通常可以证明在足够短的时间内，解是存在且光滑的。陶哲轩的研究会进一步细化这些局部性质，比如找到更精细的条件来保证解的光滑性，或者对解可能“变坏”（出现奇点）的方式进行更深入的分类。
探索方程在不同尺度下的行为： 流体运动在不同尺度上可能表现出截然不同的特征，从宏观的洋流到微观的湍流涡。数学家们会研究 NS 方程在这些不同尺度下解的演化，以及是否存在某种“临界尺度”会引发解的不稳定性。
与其他数学工具的联系： 陶哲轩善于将不同领域的数学工具融会贯通。他可能会运用傅里叶分析、几何分析、概率论等方法来研究 NS 方程，从中找到新的视角和分析方法。
所以，他的具体结论是什么？
由于“千禧年问题”本身尚未被完全解决，所以陶哲轩的研究并没有给出一个“万能钥匙”式的结论，说“NS 方程的三维解总是存在的且光滑的”。
更准确地说，他的结论是深化了我们对 NS 方程行为复杂性的认识，并且为未来解决这一难题提供了更深刻的数学洞察和工具。 他的工作可能表明，在某些情况下，NS 方程的解确实可能表现出高度的复杂性，甚至在数学上存在“变坏”的可能性，但这并不意味着实际的物理流体一定会出现无限大速度这样的荒谬情况。物理的限制和问题的数学表达之间，可能存在微妙的关联。
对 CFD 会有什么深远影响吗？
理解 NS 方程的数学性质，特别是解的存在性和光滑性，对于 CFD 来说，虽然不是直接的算法改进，但却有着极其重要的基础性和指导性意义。
1. 理论基础的支撑： CFD 的核心是数值求解 NS 方程。如果 NS 方程本身在数学上就没有保证存在光滑解，那么我们基于 NS 方程开发的 CFD 算法，其理论基础就会受到动摇。理解解的性质，可以帮助 CFD 研究者知道在哪些情况下，数值解的稳定性和准确性更值得担忧。
2. 理解数值解的局限性： CFD 最终是离散化的数值方法，它总是基于对连续方程的近似。当流体行为非常复杂，接近 NS 方程可能产生奇点（即使只是数学上的可能性）的边缘时，数值方法的鲁棒性（即在各种情况下都能给出合理结果的能力）会受到考验。陶哲轩等数学家的研究，可以帮助我们更深刻地理解这些“极端”情况，从而指导我们如何设计更可靠的数值格式，或者在遇到不确定性时，知道该如何解释数值结果。
3. 激发新的数值方法： 当我们更清楚地了解 NS 方程的内在数学特性时，就有可能由此出发，设计出更适合处理这些特性的数值方法。例如，如果研究表明某些类型的“小尺度”不稳定性是问题的关键，那么 CFD 算法就可能需要特别关注如何捕捉和处理这些小尺度特征，或者开发能够“规避”这些数学困难的近似方法。
4. 为复杂湍流建模提供启示： 实际工程中的许多挑战，比如航空器的气动设计、气象预报的准确性，都涉及到高度复杂的湍流。湍流的数学描述是 NS 方程在混沌和随机性方面的体现。虽然 NS 方程本身不直接描述湍流的统计性质，但对 NS 方程解的深入理解，无疑有助于我们从更根本的层面理解湍流的本质，从而为开发更精确的湍流模型（如 LES, DNS）提供理论依据。
5. 对“大涡模拟”（LES）和“直接数值模拟”（DNS）的影响：
DNS 试图直接求解 NS 方程，捕捉所有尺度的流动，这对计算资源要求极高。如果 NS 方程的解本身就存在数学上的“病态”（illposed）之处，那么 DNS 的计算结果就可能更加难以捉摸。理解这些数学上的病态，可以帮助我们更好地评估 DNS 的有效性。
LES 是对 NS 方程进行滤波后求解，它只模拟大尺度涡，并将小尺度涡的影响通过“亚格子模型”来处理。陶哲轩等人的研究，对于理解 NS 方程在不同尺度下的行为，可能有助于改进亚格子模型的理论基础，使其更符合 NS 方程的内在特性。
总结一下，陶哲轩在 NS 方程方面的研究，虽然可能还没有直接给出一个“终极答案”来解决数学上的千禧年难题，但他的工作通过运用深刻的数学工具，揭示了 NS 方程解行为的复杂性，特别是其在高维和复杂条件下的性质。
这对 CFD 的影响是深远的，它不是在告诉我们“如何更快地计算”，而是在告诉我们“我们计算的是什么，以及我们在什么条件下可以信任我们的计算”。 这种基础理论的深入理解，是驱动 CFD 技术不断进步的根本动力之一，因为它直接关系到我们对流体行为预测的准确性、可靠性和对模型局限性的认识。就好比一个优秀的建筑师，不仅要懂得如何使用工具砌砖，更要理解材料本身的力学性质，才能建造出稳固而宏伟的建筑。陶哲轩的工作，就是为了让流体动力学的“建筑师”们，对他们赖以建造的“材料”（NS 方程）有更透彻的理解。
首先，要理解陶哲轩的工作，我们需要先知道 NS 方程本身是什么。简单来说，NS方程是一组描述流体运动基本规律的偏微分方程。它将流体的速度、压力、密度以及施加在流体上的力（比如黏性力）联系起来。在物理世界中，我们看到的风吹草动、海浪翻涌、飞机起降时的气流等等，背后都有 NS 方程的影子。
陶哲轩的研究究竟是关于 NS 方程的什么？
严格来说，陶哲轩（Terence Tao）的研究并不是直接针对“计算流体动力学”（CFD）的某个具体应用，而是触及了 NS 方程在数学上的一个非常根本的问题：解的存在性和光滑性。
我们知道，NS方程可以描述从非常光滑（就像平静的水面）到非常湍流（就像漩涡迭起）的各种流体行为。数学家们特别关心的是，对于任何给定的初始条件（比如知道某一时刻流体的速度和压力分布），NS方程是否总能产生一个“良好”的解，也就是说，这个解在时间上是否会一直存在，并且在空间上是否会保持“光滑”而不会出现奇点（例如无限大的速度或压力）。
这是数学领域一个长期悬而未决的重大问题，也被称为“纳维斯托克斯方程的整体光滑解的存在性”问题。这个问题的解决是“千禧年大奖难题”之一，证明了它能获得一百万美元的奖金，可见其难度和重要性。
陶哲轩的研究，特别是他与合作者（例如 Charles Fefferman、Andrei Khokhlov 等）在这一领域的一些工作，并没有完全解决这个“千禧年问题”。准确地说，陶哲轩的研究更多地集中在揭示 NS 方程在高维空间（例如三维及以上）中行为的复杂性，以及在某些特定条件下的解的性质。
举个例子，他的一些工作可能涉及到：
对 NS 方程解的局部性质的深入理解： 即使不能保证全局解一定存在且光滑，但我们通常可以证明在足够短的时间内，解是存在且光滑的。陶哲轩的研究会进一步细化这些局部性质，比如找到更精细的条件来保证解的光滑性，或者对解可能“变坏”（出现奇点）的方式进行更深入的分类。
探索方程在不同尺度下的行为： 流体运动在不同尺度上可能表现出截然不同的特征，从宏观的洋流到微观的湍流涡。数学家们会研究 NS 方程在这些不同尺度下解的演化，以及是否存在某种“临界尺度”会引发解的不稳定性。
与其他数学工具的联系： 陶哲轩善于将不同领域的数学工具融会贯通。他可能会运用傅里叶分析、几何分析、概率论等方法来研究 NS 方程，从中找到新的视角和分析方法。
所以，他的具体结论是什么？
由于“千禧年问题”本身尚未被完全解决，所以陶哲轩的研究并没有给出一个“万能钥匙”式的结论，说“NS 方程的三维解总是存在的且光滑的”。
更准确地说，他的结论是深化了我们对 NS 方程行为复杂性的认识，并且为未来解决这一难题提供了更深刻的数学洞察和工具。 他的工作可能表明，在某些情况下，NS 方程的解确实可能表现出高度的复杂性，甚至在数学上存在“变坏”的可能性，但这并不意味着实际的物理流体一定会出现无限大速度这样的荒谬情况。物理的限制和问题的数学表达之间，可能存在微妙的关联。
对 CFD 会有什么深远影响吗？
理解 NS 方程的数学性质，特别是解的存在性和光滑性，对于 CFD 来说，虽然不是直接的算法改进，但却有着极其重要的基础性和指导性意义。
1. 理论基础的支撑： CFD 的核心是数值求解 NS 方程。如果 NS 方程本身在数学上就没有保证存在光滑解，那么我们基于 NS 方程开发的 CFD 算法，其理论基础就会受到动摇。理解解的性质，可以帮助 CFD 研究者知道在哪些情况下，数值解的稳定性和准确性更值得担忧。
2. 理解数值解的局限性： CFD 最终是离散化的数值方法，它总是基于对连续方程的近似。当流体行为非常复杂，接近 NS 方程可能产生奇点（即使只是数学上的可能性）的边缘时，数值方法的鲁棒性（即在各种情况下都能给出合理结果的能力）会受到考验。陶哲轩等数学家的研究，可以帮助我们更深刻地理解这些“极端”情况，从而指导我们如何设计更可靠的数值格式，或者在遇到不确定性时，知道该如何解释数值结果。
3. 激发新的数值方法： 当我们更清楚地了解 NS 方程的内在数学特性时，就有可能由此出发，设计出更适合处理这些特性的数值方法。例如，如果研究表明某些类型的“小尺度”不稳定性是问题的关键，那么 CFD 算法就可能需要特别关注如何捕捉和处理这些小尺度特征，或者开发能够“规避”这些数学困难的近似方法。
4. 为复杂湍流建模提供启示： 实际工程中的许多挑战，比如航空器的气动设计、气象预报的准确性，都涉及到高度复杂的湍流。湍流的数学描述是 NS 方程在混沌和随机性方面的体现。虽然 NS 方程本身不直接描述湍流的统计性质，但对 NS 方程解的深入理解，无疑有助于我们从更根本的层面理解湍流的本质，从而为开发更精确的湍流模型（如 LES, DNS）提供理论依据。
5. 对“大涡模拟”（LES）和“直接数值模拟”（DNS）的影响：
DNS 试图直接求解 NS 方程，捕捉所有尺度的流动，这对计算资源要求极高。如果 NS 方程的解本身就存在数学上的“病态”（illposed）之处，那么 DNS 的计算结果就可能更加难以捉摸。理解这些数学上的病态，可以帮助我们更好地评估 DNS 的有效性。
LES 是对 NS 方程进行滤波后求解，它只模拟大尺度涡，并将小尺度涡的影响通过“亚格子模型”来处理。陶哲轩等人的研究，对于理解 NS 方程在不同尺度下的行为，可能有助于改进亚格子模型的理论基础，使其更符合 NS 方程的内在特性。
总结一下，陶哲轩在 NS 方程方面的研究，虽然可能还没有直接给出一个“终极答案”来解决数学上的千禧年难题，但他的工作通过运用深刻的数学工具，揭示了 NS 方程解行为的复杂性，特别是其在高维和复杂条件下的性质。
这对 CFD 的影响是深远的，它不是在告诉我们“如何更快地计算”，而是在告诉我们“我们计算的是什么，以及我们在什么条件下可以信任我们的计算”。 这种基础理论的深入理解，是驱动 CFD 技术不断进步的根本动力之一，因为它直接关系到我们对流体行为预测的准确性、可靠性和对模型局限性的认识。就好比一个优秀的建筑师，不仅要懂得如何使用工具砌砖，更要理解材料本身的力学性质，才能建造出稳固而宏伟的建筑。陶哲轩的工作，就是为了让流体动力学的“建筑师”们，对他们赖以建造的“材料”（NS 方程）有更透彻的理解。
网友意见
谢邀，先说好NS不是我的主攻方向，我只是顺便看过一点，所以要通观全局谈它对CFD的意义对我是很难的，我简短地说一下这篇论文的意义就好了，首先NS问题
可以转化为抽象问题（利用Leray projection，压力项被消解，然后viscosity 被单位化）
,
其中 被称为 Euler bilinear operator, 它满足cancelation property: ,
数学家有个思路，就是对于一类 抽象的bilinear operator ，这类算子和 Euler bilinear operator具有类似的非线性结构，比如：满足cancelation property。但是，它不一定等于 。 如果这个更强的结果成立，那么NS问题相当于解决了，或者我们先证明一类和 相似的正则算子 有解，然后取极限。 这个思路有点像为了证明椭圆形方程，我们证明对于任意的自伴正定算子 , 抽象 方程总是有解的。但是陶哲轩做的工作相当于告诉别人，这条路是不通的，他构造一种对称平均版本(average symmertry)的 ，写作 ,抽象方程
,
对于一个初值 会在有限时间内爆炸（也就说全局解不存在）。 值得一提的是， 也具有cancelation property，换句话说它和 的相似程度很接近了，当然了，tao也解释了它们在很多性质上的类似性：所以这篇文章的意义一开始就说明了：
demonstrate that any proposed positive solution to the regularity problem which
does not use the finer structure of the nonlinearity cannot possibly be successful.
如果不通过增加更好的非线性结构证明原NS方程的努力都不会成功。
在陶哲轩之前其实大家发现如果cancellation property不存在那么很多方程都会爆炸，即使这个性质成立，在高维度( )大家也证明处这类方程会爆炸。tao第一个做到了三维，值得一提的是，tao选择的 和原来的线性算子很接近，换句话说，如果按照这个思路往前面改进，也许我们能证明这个构造反例的思路在原问题中也是成立的。
will only retain a carefully chosen (and carefully weighted) subset of the nonlinear
interactions present in the original operator B, with the weights designed to facilitate
a specific blowup mechanism while suppressing other nonlinear interactions that could
potentially disrupt this mechanism. There is however a possibility that the proof strategy
in Theorem 1.5 could be adapted to the true Navier-Stokes equations
同时也给那些试图证明 方程的人，你一定要用一些可以区分原算子和平均化算子的方法。
any strategy that fails to distinguish between the Euler bilinear operator B and
its averaged counterparts B˜ is is doomed to failure.
无法区分 和 的思路都是注定失败的。
由于本人对于NS问题不甚了解，只是基于崇拜而膜了一下这篇文章，有什么疏漏，欢迎大家讨论。
PS: tao算是封杀了哈萨克斯坦某数学家的抽象证明思路。同时，我有一个老师，他曾经也认为自己解决了NS问题，高兴了一阵子，他的思路也是抽象思路，这个反例算是给后来人立了一个禁止的标志。
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