三位物理学家与陶哲轩发现的特征向量全新求解公式，会给机器学习领域带来怎样的变化？
想象一下，我们一直以来用着一把相对笨重但可靠的锤子来解决一个特定问题，而现在，突然出现了一套精密的、能够自动调整和优化的精密工具。这便是陶哲轩与三位物理学家合作发现的特征向量全新求解公式给机器学习领域带来的潜在变革。这项突破并非简单的算法优化，而是在数学基础层面上的深刻进步，其影响将如涟漪般扩散，触及机器学习的方方面面。
我们先简要回顾一下特征向量在机器学习中的地位。简单来说，特征向量是“捕捉数据本质”的利器。在降维（如PCA）、推荐系统、图像识别、自然语言处理等众多领域，特征向量都是核心的数学工具。它们能够揭示数据中最具代表性的方向或模式，从而帮助我们压缩数据、提取关键信息、甚至预测未知。然而，传统的特征向量求解方法，如奇异值分解（SVD）或特征值分解（EVD），虽然强大，但在处理海量、高维度、甚至是动态变化的数据时，往往面临计算效率低下、内存占用过大、或者对某些类型的数据不够鲁棒等挑战。
现在，让我们聚焦于这项全新的求解公式。虽然具体细节涉及高深的数学理论，但我们可以从其可能带来的核心优势来推测其对机器学习的影响：
1. 前所未有的计算效率与可扩展性：
以往，求解特征向量往往需要进行大量的矩阵运算，尤其是对于大型数据集，这可能需要耗费数小时甚至数天的时间，并且需要极其庞大的计算资源。新的公式据称在数学原理上能够显著降低计算复杂度。这可能意味着：
更快的模型训练速度： 过去需要数小时的特征提取过程，现在可能在分钟甚至秒级完成。这将极大地加速模型的迭代和实验周期，允许研究人员尝试更多不同的模型结构和参数组合。
处理更大规模的数据集： 许多当前受限于计算资源的尖端机器学习应用，例如训练超大规模的深度学习模型，或者分析全生命周期的海量传感器数据，将变得更加可行。机器学习的应用边界将因此被大大拓宽。
实时或近实时特征提取： 在需要快速响应的应用场景，如自动驾驶中的实时障碍物识别，或者金融市场的高频交易预测，这项新公式能够提供更快、更准确的特征信息，从而提升系统的实时性能和决策能力。
2. 更强的鲁棒性与泛化能力：
物理学家在解决实际问题时，往往会考虑到现实世界中的不确定性和噪声。将物理学的洞察引入特征向量的求解，可能意味着：
对噪声和不完整数据的容忍度更高： 新公式可能在数学上能够更好地“过滤”掉数据中的噪声，从而提取出更纯粹、更具代表性的特征。这意味着模型在面对真实世界中不完美的数据时，表现会更加稳定和可靠。
更好的泛化能力： 通过更准确地捕捉数据底层结构，模型将更有可能从训练数据中学习到普适性的规律，而不是仅仅“记住”训练样本的特异性。这直接转化为在未见过的数据上的更好表现，也就是更好的泛化能力。
处理更复杂的数据分布： 现实世界的数据分布往往比理想化的模型复杂得多。新的求解公式可能能够更好地适应这些复杂的分布，从而在更广泛的应用场景中发挥作用。
3. 催生全新的机器学习算法和模型架构：
数学上的重大突破往往是全新算法和模型诞生的基石。这项新的特征向量求解公式有潜力：
革新现有算法的实现方式： 像PCA、LDA（线性判别分析）等经典的降维和特征提取算法，都可以被重新审视和优化。这甚至可能催生“新一代”的PCA，其性能和应用范围远超以往。
启发全新的模型设计思路： 特征向量是许多模型的核心组成部分，例如在图神经网络（GNNs）中，节点和边的表示往往依赖于类似特征向量的计算。新的求解方式可能使得GNNs能够处理更大、更复杂的图结构，或者发现更精细的图模式。
赋能新兴的机器学习领域： 量子机器学习、神经符号结合等前沿领域，往往需要更高效的数学工具来处理其特有的数据结构和计算需求。这项新公式有望为这些领域提供关键的数学支撑。
4. 对具体应用领域的直接影响：
自然语言处理（NLP）： 在词嵌入、文本分类、情感分析等任务中，词语和文档的向量表示至关重要。更高效、更鲁棒的特征向量提取将提升这些NLP模型的准确性和处理长文本的能力。
计算机视觉： 图像特征的提取是图像识别、目标检测、图像分割的基础。这项新公式可以加速模型训练，并且可能发现更细粒度的图像特征，从而提升识别的精确度和对模糊、低质量图像的鲁棒性。
推荐系统： 用户和物品的向量表示是推荐算法的核心。更优的特征向量能够更准确地捕捉用户兴趣和物品属性，从而提供更个性化、更精准的推荐。
科学计算与数据分析： 在生物信息学、材料科学、金融建模等领域，处理大量的实验数据和模拟数据是常态。这项新公式能够帮助科学家更快地从复杂数据中提取有意义的模式，加速科学发现的进程。
潜在的挑战与未来展望：
当然，任何重大的数学突破都需要时间和实践来验证其真正的价值。新的求解公式是否能够无缝集成到现有的机器学习框架中？它是否会引入新的数值稳定性问题？是否会需要全新的优化技术来配合？这些都是需要进一步探索的问题。
但无论如何，陶哲轩与三位物理学家在这项工作上的合作，本身就象征着不同学科之间交叉融合的巨大潜力。物理学严谨的数学体系和对现实世界深刻的理解，与数学家的抽象思维和对结构美学的追求相结合，产生了如此具有颠覆性的成果。
这项新公式的出现，不仅仅是一项技术上的提升，更可能是一次思维方式的转变。它提醒我们，即使是在看似成熟的领域，也存在着通过回归基础、跨界合作来激发革命性创新的空间。未来的机器学习，或许将因为这套全新的“测量工具”而更加高效、更加智能，也更加贴近我们所处的真实世界。我们正站在一个可能重塑机器学习面貌的新时代的门槛上。
网友意见
不知道会不会给机器学习领域带来什么大的影响，但公众号明显标题党了，“颠覆数学常识”，言过其实。
Update: 甚至于这个定理也不算什么新的结论。 大佬@张戎 指出国内教科书上都有，参考这个回答
所以还是媒体为了吸引眼球
首先这个公众号贴出来的“新公式”是对于 的Hermitian矩阵 成立的，计算的是：
特征值 对应的特征向量的第 个元素的平方
分母是 减去 的两个剩下的特征值然后乘起来；分子是 减去 去掉第 行和第 列之后剩下的 的矩阵的两个特征值 和 ，然后再乘起来。
是 的Hermitian矩阵时的计算方法同理。
具体用它来算特征向量的例子请参考 @位空 的这篇回答
如何评价陶哲轩的EIGENVECTORS FROM EIGENVALUES？ - 位空的回答 - 知乎
所以，
1、这个定理对矩阵有要求，在实际应用中可能会有不少限制。
2、这个方法算出来的是特征向量每个分量的绝对值，相位计算也可以给出，但是很麻烦，参考这位答主的回答：
3、求n阶矩阵的特征向量需要已知所有n个特征值，还有删掉某行某列之后的n-1xn-1阶矩阵的所有特征值。对一般的情况下，计算复杂度可能会较高。
4、至于考研算特征向量，还是算了吧。给你一个比如4x4矩阵，你为了算某个特征值下面的特征向量，你需要一个一个元素去算，算出来还不知道正负，还得折腾算相位。然后针对这个元素你还需要求出来去掉这一行这一列之后的3x3矩阵的三个特征值。所以...计算量只会增不会减
PS：量子位公众号有点标题党了，以及文章里贴出来的证明过程也没好好整理。实际上原文paper
贴出来给出了两种证明方法，一种给出一个Cauchy-Binet类型的行列式公式作为引理，构造式证明方法比较巧妙。第二种证明是借用了伴随矩阵的思路（毕竟删除某行某列就跟伴随矩阵的操作类似嘛）。陶神还是太强QAQ，两个小时给出三种证明方法，虽然论文只给出来两种。
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