对于当今数学来说，「几何」到底是什么？
对于如今的数学界而言，“几何”早已不是你我当年在中学课堂上接触到的、只关乎点、线、面和角度的那个相对静态的学科了。它已经蜕变成了一门极其广阔、深入且充满活力的领域，渗透到数学的方方面面，并与其他学科，尤其是物理学，有着千丝万缕的联系。
如果你问一个数学家，“几何是什么？”，他大概率不会给你一个简单的定义。更可能的是，他会带你进入一个由抽象概念、深刻洞察和精巧构造构成的宇宙。在那里，“几何”指的是：
1. 研究空间结构和形状的数学分支，但空间远不止欧几里得空间。
这是最核心的理解。我们不再仅仅局限于三维欧几里得空间。几何学家研究的“空间”可以是：
抽象的流形（Manifolds）： 想象一下光滑的曲面，但可以有任意多的维度，并且局部上看起来像欧几里得空间。比如我们熟悉的球体是一个二维流形，但三维的、四维的甚至更高维度的流形，只要在局部上满足一定光滑性要求，都可以是几何学家研究的对象。在这里，研究的重点是如何在这些“局部”的欧几里得结构上定义“整体”的几何性质，比如曲率、测地线（最短路径）等等。
代数簇（Algebraic Varieties）： 这些是满足一组多项式方程的点的集合。它们看起来可能不是那么“直观”的几何对象，但通过代数方程来定义几何形状，这是一个非常强大的工具。比如，一个圆可以看作是方程 $x^2 + y^2 = r^2$ 的解集。更复杂的代数簇可以描述非常复杂的几何结构，并且它们的研究与数论、表示论等领域紧密相连。
拓扑空间（Topological Spaces）： 在拓扑学里，我们关注的是“形变”不变的性质，也就是说，如果我们能连续地拉伸、压缩、弯曲一个形状，而不撕裂或粘合它，那么它就与原始形状在拓扑上是等价的。这就像是橡皮泥的几何学。虽然它看似“粗糙”，但它揭示了空间最本质、最牢固的性质，例如连通性、孔洞的数量等。许多高维的几何现象，通过拓扑学的视角来理解会更加清晰。
度量空间（Metric Spaces）： 在这些空间里，我们可以测量任意两点之间的距离。这听起来很基础，但将距离的概念推广到更抽象的空间中，可以研究诸如收敛性、完备性等性质。
2. 连接代数与几何的桥梁：代数几何的辉煌。
这是当今几何学最令人瞩目的成就之一。代数几何将代数方程的解集视为几何对象，并利用代数的工具（如多项式环、理想理论）来研究这些几何对象。
从方程到形状： 比如，一个椭圆可以用一个二次方程来描述，一个三次曲线（如椭圆曲线）也对应着一个三次方程。代数几何的研究对象就是由这些方程定义的各种“形状”。
深刻的联系： 一个看似纯粹的代数问题，比如方程是否有解，或者解的个数，在代数几何的视角下，可能对应着一个几何对象的性质，比如一个曲线是否有“奇点”（尖角、自交点），或者它的 genus（与洞的数量相关的概念）。反之亦然，一个几何问题，比如两个曲线是否相交，可以通过求解它们对应的方程来解决。
抽象化与一般性： 代数几何研究的不再是具体的、我们能画出来的形状，而是更抽象的代数簇，这些代数簇可能存在于任意维度的“空间”里，甚至可以是“弯曲的”。它能够处理非常普遍的情况，并且能够精确地回答关于几何对象存在性、分类、计数等深刻问题。
应用： 代数几何的应用已经渗透到密码学（椭圆曲线密码学）、编码理论、甚至理论物理等领域。
3. 几何学作为研究“度量”和“曲率”的工具。
不仅仅是形状，几何学也深入研究如何“测量”这些形状以及它们如何“弯曲”。
黎曼几何（Riemannian Geometry）： 这是研究光滑流形上度量和曲率的理论。黎曼几何定义了在流形上如何测量长度、角度和体积。最关键的是，它引入了“曲率张量”的概念，用来描述空间在各个方向上的弯曲程度。
广义相对论的语言： 爱因斯坦的广义相对论就建立在黎曼几何之上。我们所感受到的引力，在广义相对论中被描述为时空（一个四维的黎曼流形）的弯曲。物体的运动轨迹就是沿着时空中的“测地线”前进。因此，几何学成为了描述引力以及宇宙结构的最根本的数学语言。
微分几何（Differential Geometry）： 这是黎曼几何的基础，它利用微积分的工具来研究曲线、曲面以及更高维度的光滑流形的局部性质。
4. 几何学在数学其他分支中的渗透与统一。
几何学的思想和方法已经深刻地影响了数学的许多其他分支，甚至起到了统一的作用。
拓扑学与几何学的融合： 拓扑学关注的是不变性，而几何学关注的是度量和曲率。两者之间存在着深刻的联系，许多几何性质可以通过拓扑学的方法来研究，反之亦然。例如，低维流形的分类问题既是拓扑学的问题，也涉及几何性质。
表示论与几何学的交集： 群论（研究对称性的数学）与几何学有着天然的联系。对称性本身就可以被看作是几何上的变换。表示论研究如何用线性代数（矩阵）来表示抽象的群，这在研究几何对象的对称性时非常有用。
数学物理中的几何： 除了广义相对论，量子场论、弦理论等现代物理学分支，都大量运用了几何学的思想和工具，比如微分几何、代数几何、复几何等等。几何学成为了描述物理定律最有效的语言。
总结一下，对于当今的数学而言，“几何”已经不再是那个局限于黑板上的几何图形。它是一门：
研究“空间”的通用语言，无论这个空间是多么抽象、多么高维。
连接代数方程与几何形状的桥梁，打开了研究复杂形状的全新视角。
描述和理解“弯曲”与“度量”的强大工具，是现代物理学的基石。
渗透到数学各个分支，揭示它们之间深层联系的关键学科。
你可以把现在的几何想象成一张极其广阔的地图，上面布满了各种各样的“空间”，有我们熟悉的样子，也有我们难以想象的抽象结构。几何学家们正是在这张地图上，探索它们的“形状”、“大小”、“曲率”、“连接方式”，以及它们之间可能存在的深刻关系。这是一种对空间的终极理解，也是对现实世界最深刻的数学描述之一。
如果你问一个数学家，“几何是什么？”，他大概率不会给你一个简单的定义。更可能的是，他会带你进入一个由抽象概念、深刻洞察和精巧构造构成的宇宙。在那里，“几何”指的是：
1. 研究空间结构和形状的数学分支，但空间远不止欧几里得空间。
这是最核心的理解。我们不再仅仅局限于三维欧几里得空间。几何学家研究的“空间”可以是：
抽象的流形（Manifolds）： 想象一下光滑的曲面，但可以有任意多的维度，并且局部上看起来像欧几里得空间。比如我们熟悉的球体是一个二维流形，但三维的、四维的甚至更高维度的流形，只要在局部上满足一定光滑性要求，都可以是几何学家研究的对象。在这里，研究的重点是如何在这些“局部”的欧几里得结构上定义“整体”的几何性质，比如曲率、测地线（最短路径）等等。
代数簇（Algebraic Varieties）： 这些是满足一组多项式方程的点的集合。它们看起来可能不是那么“直观”的几何对象，但通过代数方程来定义几何形状，这是一个非常强大的工具。比如，一个圆可以看作是方程 $x^2 + y^2 = r^2$ 的解集。更复杂的代数簇可以描述非常复杂的几何结构，并且它们的研究与数论、表示论等领域紧密相连。
拓扑空间（Topological Spaces）： 在拓扑学里，我们关注的是“形变”不变的性质，也就是说，如果我们能连续地拉伸、压缩、弯曲一个形状，而不撕裂或粘合它，那么它就与原始形状在拓扑上是等价的。这就像是橡皮泥的几何学。虽然它看似“粗糙”，但它揭示了空间最本质、最牢固的性质，例如连通性、孔洞的数量等。许多高维的几何现象，通过拓扑学的视角来理解会更加清晰。
度量空间（Metric Spaces）： 在这些空间里，我们可以测量任意两点之间的距离。这听起来很基础，但将距离的概念推广到更抽象的空间中，可以研究诸如收敛性、完备性等性质。
2. 连接代数与几何的桥梁：代数几何的辉煌。
这是当今几何学最令人瞩目的成就之一。代数几何将代数方程的解集视为几何对象，并利用代数的工具（如多项式环、理想理论）来研究这些几何对象。
从方程到形状： 比如，一个椭圆可以用一个二次方程来描述，一个三次曲线（如椭圆曲线）也对应着一个三次方程。代数几何的研究对象就是由这些方程定义的各种“形状”。
深刻的联系： 一个看似纯粹的代数问题，比如方程是否有解，或者解的个数，在代数几何的视角下，可能对应着一个几何对象的性质，比如一个曲线是否有“奇点”（尖角、自交点），或者它的 genus（与洞的数量相关的概念）。反之亦然，一个几何问题，比如两个曲线是否相交，可以通过求解它们对应的方程来解决。
抽象化与一般性： 代数几何研究的不再是具体的、我们能画出来的形状，而是更抽象的代数簇，这些代数簇可能存在于任意维度的“空间”里，甚至可以是“弯曲的”。它能够处理非常普遍的情况，并且能够精确地回答关于几何对象存在性、分类、计数等深刻问题。
应用： 代数几何的应用已经渗透到密码学（椭圆曲线密码学）、编码理论、甚至理论物理等领域。
3. 几何学作为研究“度量”和“曲率”的工具。
不仅仅是形状，几何学也深入研究如何“测量”这些形状以及它们如何“弯曲”。
黎曼几何（Riemannian Geometry）： 这是研究光滑流形上度量和曲率的理论。黎曼几何定义了在流形上如何测量长度、角度和体积。最关键的是，它引入了“曲率张量”的概念，用来描述空间在各个方向上的弯曲程度。
广义相对论的语言： 爱因斯坦的广义相对论就建立在黎曼几何之上。我们所感受到的引力，在广义相对论中被描述为时空（一个四维的黎曼流形）的弯曲。物体的运动轨迹就是沿着时空中的“测地线”前进。因此，几何学成为了描述引力以及宇宙结构的最根本的数学语言。
微分几何（Differential Geometry）： 这是黎曼几何的基础，它利用微积分的工具来研究曲线、曲面以及更高维度的光滑流形的局部性质。
4. 几何学在数学其他分支中的渗透与统一。
几何学的思想和方法已经深刻地影响了数学的许多其他分支，甚至起到了统一的作用。
拓扑学与几何学的融合： 拓扑学关注的是不变性，而几何学关注的是度量和曲率。两者之间存在着深刻的联系，许多几何性质可以通过拓扑学的方法来研究，反之亦然。例如，低维流形的分类问题既是拓扑学的问题，也涉及几何性质。
表示论与几何学的交集： 群论（研究对称性的数学）与几何学有着天然的联系。对称性本身就可以被看作是几何上的变换。表示论研究如何用线性代数（矩阵）来表示抽象的群，这在研究几何对象的对称性时非常有用。
数学物理中的几何： 除了广义相对论，量子场论、弦理论等现代物理学分支，都大量运用了几何学的思想和工具，比如微分几何、代数几何、复几何等等。几何学成为了描述物理定律最有效的语言。
总结一下，对于当今的数学而言，“几何”已经不再是那个局限于黑板上的几何图形。它是一门：
研究“空间”的通用语言，无论这个空间是多么抽象、多么高维。
连接代数方程与几何形状的桥梁，打开了研究复杂形状的全新视角。
描述和理解“弯曲”与“度量”的强大工具，是现代物理学的基石。
渗透到数学各个分支，揭示它们之间深层联系的关键学科。
你可以把现在的几何想象成一张极其广阔的地图，上面布满了各种各样的“空间”，有我们熟悉的样子，也有我们难以想象的抽象结构。几何学家们正是在这张地图上，探索它们的“形状”、“大小”、“曲率”、“连接方式”，以及它们之间可能存在的深刻关系。这是一种对空间的终极理解，也是对现实世界最深刻的数学描述之一。
网友意见
因为答主不了解代数几何，所以主要是介绍微分几何中的，代数几何可以理解成将度量的范围扩展到了多项式的零点，准确来说是代数簇（Algebraic variety）上。
而代数簇的一个常见例子是平面代数曲线，中学学的直线，圆，椭圆曲线等都算，除此之外还有三次曲线，四次曲线乃至n次曲线。。。
是不是有一股亲切感涌上心头，“这不就是解析几何吗?”
一群年轻人企图一晚上理解Grothendieck深邃的思想.jpg
用简单的一句话概括就是：研究带有度量结构的集合，以及这些集合之间的关系。
而一个几何对象一般由点集（Set）层，拓扑（Topology）层，联络（Connection）层，度量（Metric）层四部分组成。
点集层处于最基础的位置，因为现代数学构建于集合论（Set theory）之上。
拓扑层提供了许多重要的性质，除了喜闻乐见的连续性（continuity），还有连通性（Connectedness），紧致性（compactness）等。
联络层则是提供了平行性，常见的有仿射联络（Affine connection），其中的不变量挠率（Torsion）和曲率（Curvature）也是非常重要的性质。
而度量理解成内积便可，可视作距离这一概念的推广：
如最常见的n维欧几里得空间，其度量便是n维的勾股定理。
以Riemann几何为例，解答下你的问题：
研究各种相交、长度面积体积、夹角、弯曲程度等等
相交即为平行性的问题，可以由联络（Connection）给出。
长度面积体积，夹角可以用度规张量（Metric tensor）刻画。
弯曲程度也就是曲率，则用Riemann曲率张量（Riemann curvature tensor）刻画。
但现在很多书名中带着“曲线”、“曲面”、“几何”之类字眼的教材里甚至可能一个图都没有（如果那些箭头的图不算的话）
不是所有几何对象都可以画在纸上的，按照我们中学所学的平面/立体几何的画法，其实就是将这些几何对象投影到纸这个平面上，这本身具有极大的局限性。
像什么三维球面便能够把大部分人难住了，你以为球面画法（比如二维球面）：
这是建立在我们的肉眼能够很好地理解二维和三维事物的基础上，而对于一个超球面（维数＞2），比如三维球面：
怎样，是不是如同鬼画符?
实际上这两张图片都是在wiki百科上找的，实在懒得举例子了，这里直接贴wiki百科的描述：
三维球面的平行线（红色）、 子午线（蓝色）以及超子午线（绿色）的立体投影法。 因为立体投影法的共形特性，这些曲线彼此在交点上彼此正交（图中黄色点），如同在四维空间中一样。所有曲线都是圆；交会在<0,0,0,1>的曲线具有无限大的半径（亦即直线）。
然而我们只需要短短一行便能定义n维球面：
而n维球面不过是流形的一个简单例子，我们将来还可能会遇到诸如无穷维Lie群这种听起来就很哈人的玩意。。。em
至于所谓的“箭头图”，很可能是交换图表，常用于范畴论（Category theory）中，可以用来直观地表达一些性质。
最后，重要的名词都加粗并附上英文了，有问题google，如果想系统学习的话先把微积分和线代搞定再说，推荐Thomas微积分和线性代数应该这样学（Linear Algebra Done Right），接着可以看梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》前五章。
现在这哪有图啊，这都是交换图
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