如何记住所有的三角函数公式？
第一步：打牢基础，理解“根本”
别急着背那些复杂的和差角公式、倍角公式。在你开始之前，务必确保你对三角函数的定义和几何意义了如指掌。
单位圆是你的好朋友： 想象一个半径为1的圆心在原点的圆。一个角的终边与单位圆交于点 $(x, y)$，那么 $x = cos( heta)$，$y = sin( heta)$。理解这一点，很多公式的由来就能豁然开朗。比如，$sin^2( heta) + cos^2( heta) = 1$ 就是因为单位圆上的点到原点的距离是1，根据勾股定理得来的。
奇偶性与周期性： $cos( heta) = cos( heta)$（偶函数），$sin( heta) = sin( heta)$（奇函数）。这告诉我们余弦是关于y轴对称的，正弦是关于原点对称的。周期性（$sin( heta + 2pi) = sin( heta)$ 等）也是理解图形的关键。
特殊角的取值： 0度、30度、45度、60度、90度的sin、cos、tan值，还有它们在不同象限的正负号，这些是你最基础的“弹药”。熟练掌握它们，可以帮你验证很多复杂的公式。
第二步：归类整理，建立“体系”
把公式孤立开来记，它们就像一盘散沙。我们需要把它们“组织起来”，形成一个有机的整体。我推荐以下几种整理思路：
1. 按照“功能”分组：
互余角关系： $sin(frac{pi}{2} heta) = cos( heta)$，$cos(frac{pi}{2} heta) = sin( heta)$。这组公式告诉你，一个角的正弦等于它余角的余弦，反之亦然。就像一个“转换器”。
诱导公式： 这是一大族公式，但其实它们都围绕着“通过角度的加减，把复杂角转化为锐角”这个核心思想。你可以重点记忆“奇变偶不变，符号看象限”这个口诀，然后多加练习。比如：
$sin(pi + heta) = sin( heta)$ ($pi$是180度，偶倍数，不变；第三象限sin为负)
$cos(frac{pi}{2} + heta) = sin( heta)$ ($frac{pi}{2}$是90度，奇数倍数，变；第二象限cos为负)
记住 $sin(pi heta) = sin( heta)$ 和 $cos(pi heta) = cos( heta)$，然后利用它们推导其他诱导公式会容易很多。
和角公式与差角公式： 这是核心中的核心。一旦掌握了它们，很多其他公式都可以推导出来。
$sin(alpha pm eta) = sinalphacoseta pm cosalphasineta$
$cos(alpha pm eta) = cosalphacoseta mp sinalphasineta$
$ an(alpha pm eta) = frac{ analpha pm aneta}{1 mp analpha aneta}$
我建议你先重点攻克sin和cos的和差角公式，tan的公式可以从这两个推导。
倍角公式：
$sin(2 heta) = 2sin hetacos heta$ （从和角公式$sin( heta+ heta)$推导）
$cos(2 heta) = cos^2 heta sin^2 heta = 2cos^2 heta 1 = 1 2sin^2 heta$ （从和角公式$cos( heta+ heta)$推导，然后结合$sin^2 heta + cos^2 heta = 1$变形）
$ an(2 heta) = frac{2 an heta}{1 an^2 heta}$ （从和角公式$ an( heta+ heta)$推导）
半角公式： 这通常是从倍角公式倒推出来的。比如从$cos(2 heta) = 2cos^2 heta 1$ 变形得到$cos^2 heta = frac{1+cos(2 heta)}{2}$，然后令 $ heta = frac{alpha}{2}$，就得到 $cos^2(frac{alpha}{2}) = frac{1+cosalpha}{2}$，进而得到半角的公式。同样，你只需要记住一个，另一个可以通过 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 推。
积化和差与和差化积公式： 这些公式看起来有点复杂，但它们是处理三角函数乘积和与差的“利器”。
积化和差：2sinAcosB = sin(A+B) + sin(AB) 等
和差化积：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((AB)/2) 等
我会把积化和差公式抄写在小卡片上，经常拿出来看。
2. 按照“角度关系”分组：
涉及到 $ heta$ 的公式： 特殊角的定义， $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$。
涉及到 $frac{pi}{2} pm heta$ 的公式： 互余角和诱导公式。
涉及到 $pi pm heta$ 的公式： 诱导公式。
涉及到 $2 heta$ 的公式： 倍角公式。
涉及到 $frac{ heta}{2}$ 的公式： 半角公式。
涉及到 $alpha pm eta$ 的公式： 和差角公式。
第三步：动手实践，加深“印记”
光看是没用的，必须亲手写、亲手算。
抄写与默写：
卡片记忆法： 我当年就是把每个公式（包括推导思路简述）写在一张小卡片上，分成几组，每天带着，有事没事拿出来翻翻，再尝试默写。
分类默写本： 准备一个本子，专门用来默写公式。每天给自己设定一个任务，比如今天默写完和角公式和倍角公式。错了就订正，直到准确为止。
“公式树”： 以某个核心公式（比如和角公式）为根，往上延伸推导倍角、半角、降幂等公式，画成一个“树状图”。这样能看到它们之间的逻辑联系。
推导与验证：
别怕推导： 拿到一个公式，不要立刻记住它，试着用你已经会的更基础的公式去推导它。比如，看到 $sin(2 heta)$，就自己写 $sin( heta+ heta)$，然后代入和角公式，看看是不是一样。这个过程是巩固理解的关键。
用特殊值验证： 这是最简单有效的验证方法。比如，你要验证 $cos(2 heta) = 2cos^2 heta 1$。你可以代入 $ heta = 30^circ$，左边是 $cos(60^circ) = frac{1}{2}$。右边是 $2cos^2(30^circ) 1 = 2(frac{sqrt{3}}{2})^2 1 = 2(frac{3}{4}) 1 = frac{3}{2} 1 = frac{1}{2}$。两者相等，公式正确。如果一个公式对某个特殊值不成立，那它肯定错了。
应用与练习：
做题！做题！做题！ 只有在实际解题中反复运用，公式才能真正内化。从简单的代数化简题开始，逐步过渡到求解三角函数方程、证明三角恒等式等。
专项练习： 找一些专门针对某个公式系列的练习题，比如专门练和角公式的计算题，专门练倍角公式的化简题。
第四步：构建联系，形成“思维导图”
这是让公式“活”起来的关键。
公式之间的“亲缘关系”：
和角公式是“祖宗”： 几乎所有的倍角、半角、降幂公式都可以从和角公式推导出来。记住它们，就像掌握了根基。
诱导公式是“变身术”： 它们帮助我们将任意角的三角函数转化成锐角的三角函数。
积化和差与和差化积是“转化器”： 用于处理三角函数相乘或相加的场景。
“万能公式”： 记住 $ an(frac{ heta}{2}) = frac{sin heta}{1+cos heta} = frac{1cos heta}{sin heta}$，以及 $ an(frac{ heta}{2})$ 的万能代换 $ anfrac{ heta}{2} = t$，那么 $sin heta = frac{2t}{1+t^2}$，$cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$。这在解一些特定类型的方程时非常有用，能把问题转化为关于 $t$ 的方程。
想象图像： 对着单位圆，或者画出 $y=sin x$ 和 $y=cos x$ 的图像，回忆公式对应的几何意义。比如，看到 $sin(frac{pi}{2} heta) = cos heta$，就可以在单位圆上画出 $ heta$ 和 $frac{pi}{2} heta$，看看它们终边对应的坐标 $(x, y)$ 确实是互换了位置。
一些额外的“独门秘籍”：
分类记忆口诀： 比如“奇变偶不变，符号看象限”用于诱导公式。“sin加sin等于2sin半和cos半差”用于和差化积的sin+sin。虽然口诀有时会显得有些机械，但在关键时刻能起到提示作用。
节奏感和韵律感： 有些公式，尤其是和差角公式，如果念出来是有一定节奏的，试着找到那种感觉，也能帮助记忆。比如 $sin(alpha + eta) = sinalphacoseta + cosalphasineta$，把声调和停顿找准了，像唱歌一样。
循序渐进： 不要试图一天记住所有公式。先攻克核心的和角公式，熟练掌握后再去记忆倍角、半角等。
定期复习： 记忆是会遗忘的，所以要定期回顾。考试前集中复习，平时也要隔一段时间就拿出来看看、写写。
最重要的一点：不要怕犯错！
没有人能一次性记住所有公式。犯错是学习过程的一部分。每次写错一个公式，都是一个让你更深入理解它的机会。分析错在哪里，是记混了符号？是记混了sin和cos的位置？还是记错了系数？搞清楚原因，下次就能避免。
总而言之，记住三角函数公式是一个系统工程，需要理解、归纳、实践和坚持。把它们当作一个有内在联系的知识体系来对待，而不是一堆孤立的符号。慢慢来，多动手，多思考，你会发现，它们并没有想象中那么可怕，反而会成为你解决数学问题时强大的工具。祝你成功！
网友意见
一、积化和差公式——（简单）推理记忆法
- 由欧拉公式，得
且
- 另一方面
- 对比以上两式右端，得
- 调整位置是为了联想记忆：谁的函数谁打头.
- 因此用代替的位置，由奇偶性性，得
- 注意到由(4)与(6)，得
- 此即积化和差公式.
- 令，则
故
- 其他公式类似的都可以由上面的两角和与差的展开公式(4)-(7)得到，比如二倍角公式；
- 再比如(4)中取特殊角，得
- 至于最后一步就要用到下面的：
二、诱导公式——口诀记忆法
- 口诀：奇变偶不变，符号看象限；
- 公式
- 至于右边到底是还是要看象限.
- 具体就是假设是第一象限的角，则都是正的，根据左边的象限，决定的正负，若为正，则右边为；若为负，则右边为.
三、与1有关的三角恒等式——联想记忆法
- 正割：，余割：.
- 倒数关系：对角线上互为倒数.
- 乘积关系：每个顶点为相邻的乘积.
- 平方关系：阴影三角形中，上面两平方和等于下面的平方.
- 常见三种记忆法在此都有体现，各有优缺点，而死记硬背法潜藏其中，可辅助推理和验证各种记忆是否正确.
- 比如你要知道（死记硬背住）欧拉公式，三角函数的奇偶性，各象限三角函数的符号，正余切割的定义以及特殊角的三角函数值.
不用记那么多，记一个就行了。
考虑欧拉公式
两边平方，虚实对应：
这就是倍角公式。
更一般地，
这就是传说中的 棣莫弗定理。
此外，我们可以用旋转矩阵描述n倍角：
几何意义就是逆时针旋转二维坐标系，转多少次就几次幂，转一圈就是 ，所以当 时， ，此时为单位矩阵（就是把两个坐标基向量拼在一起），互相垂直（专业术语叫正交），这两个基向量的线性组合可以张成整个平面，线性代数会学。
那半角怎么算呢?也很简单，用上面二倍角的公式代换一下：
到这步别急着解，其实还有一个条件： ，解得：
（感谢评论区提醒，这两个写反了，但我手机没latex改不了，朋友门注意交换一下）
倍角你会，但如果要任意缩小一个角呢？
还是棣莫弗定理，这里介绍“单位根”：
解方程 。
根据代数基本定理，这东西有n个复根，他们分别是：
这些根都落在复平面的单位圆上，也就是把一个360度分成了n份。
为什么叫单位根，因为这些根离原点的距离都是1
不禁让人联想起想起割圆法(其中 是一个不动的根)。
再来看大家最喜闻乐道的和差角公式
差角公式就直接把 变成负的，在数学里面只需要加法不用减法。
，你初中学三角函数在百度上搜了觉得很高大上的“三角和公式”（好牛逼），现在会随便推了吧？
还可以这样 （后面有机会补充高斯积分）
我们再回过头看欧拉公式，两边同时取倒：
于是我们得到了一个很漂亮的方程组：
实部相同，虚部相反——共轭。
两边乘起来试试，得到我们最熟悉的东西：
当然，我们也可以直接把3个三角函数表示出来：
不急，之后解 这种超越方程你就知道怎么用了。
很多人高中必修一学函数奇偶性的时候都遇到过类似的形式： ，只不过当时大家都嫩，只知道 ，但从没想过把它的奇偶性和 产生关联：
OKOK，变来变去有啥用呢？最大的用就是让你不再觉得sin和cos只是两根弯弯曲曲的东西。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。——苏轼
做道题休息一下吧，算一下
看起来有点吓人。
我们想把 的实部和虚部提取出来单独研究，那么引入两个函数
他们的作用是取实部和取虚部：
看看这个函数有啥性质
太棒了，线性！
回到题目， ，那么
里面是个几何级数，展开：
高中学了等比数列求和应该看得懂，公式 。
注意， ，所以 里面一堆直接得0， ，实数部分为0（k全部指整数）
完全一样的思路：
这两个函数可以推出各种各样的和差化积之类的东西，你可以自己试试。
如果真的吃透了上面的东西，再去审视那些带着各种炫酷名字的奇形怪状的你一辈子用不到一次的“公式”，你甚至会觉得是江湖骗子在故弄玄虚。
7.12更新。
下面我们要拿欧拉公式搞点事情，从另外一个角度看三角函数：
我们一直在用欧拉公式，隐隐约约感觉到 只不过是提线木偶，背后肯定有一些东西驾驭它们，显然这个幕后boss就是 。
但它到底是啥？或者说怎么理解一个函数“求导之后等于自身”，即 ？
我们规定 ,
用多项式来表示e^x：
如果函数是有限次（比如100次），在101次求导后就会变成0，所以这个函数必须是无限次.第二，每次求导会产生一个系数（100次求导）：
要想保持不变，那必须能把降下来的系数给抵消:
最后,被降阶的项总能被替补掉，
于是我们构造了唯一符合条件的多项式和：
这就是 的泰勒级数展开。
若 则为 本身：
再看欧拉公式：
代入 ， ，四次一个周期：
这就是 的泰勒展开。
我们知道 时，
所以它可以被因式分解成无限项相乘：
但只能这样分吗？
它们完全等价的。
刚才得到 的泰勒展开：
假设 ,同时把 除到左边去，最终得：
接下来要进行一个很妙的操作：右边展开，但不完全展开.
先定义一下看着头晕的的系数：
现在展开！
找到什么规律没？
屏住呼吸，前方高能：
比较二次项系数，发现了神奇的事情。
嗯嗯嗯？
这就是欧拉在1735年对巴塞尔问题的证明全过程。
这个弯弯是黎曼无限级数，里面是什么数字就是几次，比如再来个好玩的
嘿嘿，全体自然数之和～
——————————————————————
7.14更新。
接下来我们回到三角函数。
但稍微复杂一些，考虑两个余弦波的叠加：
相同频率，不同振幅、不同相位，请问他们叠加之后还是一个三角波吗？
是！
前面我们定义的函数武器就要发挥作用了。
用欧拉公式进行复形式变换：
这一步很了不起，我们把不受影响的 独立了！接着全部展开：
只取实部，
这个式子眼熟吗？
考虑构造它。先令
我们发现 ，为了满足cos和sin平方和为1，则令：
这个角 就是我们构造出来为了合并的辅助角。
把除下来的 给人家还回去：
其中新相位
新振幅
你可以自己试试推倒正弦波叠加？
记住： 的本质是由欧拉公式得到的共轭乘积：
有个非常妙结论，任何周期函数都能拆成三角波；但更夸张的是，即便不是周期函数也行。
抱歉呀，本来打算一直更的，但最近在备考就没时间。考完以后继续哦～
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