负数有没有阶乘，0 的阶乘为什么是 1？
咱们来聊聊阶乘这事儿，特别是关于负数和零的阶乘，这俩问题虽然听起来有点绕，但弄明白了其实很有意思。
负数有阶乘吗？
简单粗暴地说，我们通常定义下的阶乘，也就是 n! = n × (n1) × (n2) × ... × 3 × 2 × 1 这个公式，是不适用于负数的。
为啥呢？咱们先回顾一下阶乘是怎么来的。阶乘是用来计算“从 1 到某个正整数 n，所有这些数连乘起来等于多少”的。比如，3! 就是 3 × 2 × 1 = 6。4! 就是 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
你看，这个连乘的过程，一步一步地往下减，直到减到 1。如果咱们拿负数来套这个公式，比如想算 (3)!，按照这个思路，是不是应该写成：
(3)! = (3) × (4) × (5) × ...
问题就出在这儿：这个乘法往哪儿停呢？是停在 1 吗？如果停在 1，那这个乘法序列是无限的，而且是无穷多个负数相乘，结果会是什么呢？数学上很难给出一个明确、统一且有意义的定义。
更关键的是，阶乘最初是用来解决排列组合问题的。 比如，你有 5 个不同的东西，要把它们排成一列，有多少种排法？这就是 5!。如果问你有 3 个东西，能排成多少种不同的顺序？这听着就不对劲了，你根本就没有负数个东西，怎么去排它呢？所以，从实际应用的角度来看，负数阶乘没啥意义。
当然，数学家们也一直在探索更广阔的领域。在数学的某些分支，比如涉及到伽玛函数（Γ函数）的时候，阶乘的概念被推广到了复数甚至负数区域。伽玛函数可以看作是阶乘函数在实数和复数上的一个“平滑”和“推广”。对于正整数 n，伽玛函数 Γ(n+1) 就等于 n!。而伽玛函数在负整数处是没有定义的（会有“奇点”）。虽然伽玛函数可以在某些负数上计算出值，但这和我们小学中学学的那个简单的“连乘”阶乘是完全不同的概念了，不能直接套用 n! 的定义。
所以，当有人问负数有没有阶乘时，最直接的答案是：按照我们通常的定义，没有。
那 0 的阶乘为什么是 1 呢？
这个问题就更有意思了，而且答案虽然有点“反直觉”，但其实非常巧妙和必要。咱们从几个角度来理解：
1. 从递推关系来看：
咱们知道 n! = n × (n1)!。
比如：
4! = 4 × 3!
3! = 3 × 2!
2! = 2 × 1!
1! = 1 × 0!
如果我们想让这个递推关系在 n=1 的时候也成立，那么就需要：
1! = 1 × 0!
我们知道 1! = 1。所以，等式变成：
1 = 1 × 0!
为了使这个等式成立，0! 必须等于 1。
这个递推关系对于很多数学公式的推导和应用都非常重要，所以让它在 n=1 处也保持一致性，就规定了 0! = 1。
2. 从组合数学的角度（排列与组合）：
阶乘在组合数学中扮演着重要角色，尤其是在计算“排列”（Order Matters）和“组合”（Order Doesn't Matter）的时候。
排列： P(n, k) = n! / (nk)! 表示从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列的方案数。
如果我们想计算从 n 个元素中取出 n 个进行排列的方案数，也就是 P(n, n)，这显然是 n!。
套用公式：P(n, n) = n! / (nn)! = n! / 0!
因为 P(n, n) 显然等于 n!，所以我们再次得出 n! = n! / 0!，这就要求 0! = 1。
组合： C(n, k) = n! / (k! (nk)!) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个进行组合的方案数。
考虑 C(n, n)：从 n 个元素中取出 n 个进行组合，只有一种方法（就是把所有元素都取出来）。
套用公式：C(n, n) = n! / (n! (nn)!) = n! / (n! 0!)
因为 C(n, n) 应该等于 1，所以：
1 = n! / (n! 0!)
同样，为了使这个等式成立，0! 必须等于 1。
这就像是在问：“你有 0 件物品，有多少种方法能把它们‘不取出’任何一件物品呢？” 答案是只有一种方法，那就是什么都不做。这种“什么都不做”的唯一方式，在数学上就被定义为 1。
3. 从级数展开的角度：
很多数学函数都有泰勒级数（或者麦克劳林级数）的展开形式，其中会涉及到阶乘。例如：
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... = Σ (x^n / n!) (从 n=0 到无穷大)
当 x=0 时，e^0 = 1。
根据级数展开：e^0 = 1 + 0/1! + 0^2/2! + 0^3/3! + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1。
这没啥问题。
但是，如果考虑 C(x, n) = x(x1)...(xn+1) / n! 这个广义二项式系数的定义。当 n=0 时，它的值为 1。这个定义也需要 0! = 1 来成立。
总的来说，0! = 1 不是凭空捏造的，而是数学家们为了保持数学公式的统一性、递推性的延续性以及在各种数学分支（如组合数学、微积分）中的一致性而做出的一种“约定俗成”的定义。 就像你不能把零除以零得到一个确切的数字一样，0 的阶乘被定义为 1，是为了让数学的“规则”能够顺畅地运行下去，而且这个定义在绝大多数数学应用中都显得非常自然和有道理。
所以，负数阶乘通常没意义，而 0 的阶乘是 1，这是数学为了自洽和方便而做出的优雅定义。
负数有阶乘吗？
简单粗暴地说，我们通常定义下的阶乘，也就是 n! = n × (n1) × (n2) × ... × 3 × 2 × 1 这个公式，是不适用于负数的。
为啥呢？咱们先回顾一下阶乘是怎么来的。阶乘是用来计算“从 1 到某个正整数 n，所有这些数连乘起来等于多少”的。比如，3! 就是 3 × 2 × 1 = 6。4! 就是 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
你看，这个连乘的过程，一步一步地往下减，直到减到 1。如果咱们拿负数来套这个公式，比如想算 (3)!，按照这个思路，是不是应该写成：
(3)! = (3) × (4) × (5) × ...
问题就出在这儿：这个乘法往哪儿停呢？是停在 1 吗？如果停在 1，那这个乘法序列是无限的，而且是无穷多个负数相乘，结果会是什么呢？数学上很难给出一个明确、统一且有意义的定义。
更关键的是，阶乘最初是用来解决排列组合问题的。 比如，你有 5 个不同的东西，要把它们排成一列，有多少种排法？这就是 5!。如果问你有 3 个东西，能排成多少种不同的顺序？这听着就不对劲了，你根本就没有负数个东西，怎么去排它呢？所以，从实际应用的角度来看，负数阶乘没啥意义。
当然，数学家们也一直在探索更广阔的领域。在数学的某些分支，比如涉及到伽玛函数（Γ函数）的时候，阶乘的概念被推广到了复数甚至负数区域。伽玛函数可以看作是阶乘函数在实数和复数上的一个“平滑”和“推广”。对于正整数 n，伽玛函数 Γ(n+1) 就等于 n!。而伽玛函数在负整数处是没有定义的（会有“奇点”）。虽然伽玛函数可以在某些负数上计算出值，但这和我们小学中学学的那个简单的“连乘”阶乘是完全不同的概念了，不能直接套用 n! 的定义。
所以，当有人问负数有没有阶乘时，最直接的答案是：按照我们通常的定义，没有。
那 0 的阶乘为什么是 1 呢？
这个问题就更有意思了，而且答案虽然有点“反直觉”，但其实非常巧妙和必要。咱们从几个角度来理解：
1. 从递推关系来看：
咱们知道 n! = n × (n1)!。
比如：
4! = 4 × 3!
3! = 3 × 2!
2! = 2 × 1!
1! = 1 × 0!
如果我们想让这个递推关系在 n=1 的时候也成立，那么就需要：
1! = 1 × 0!
我们知道 1! = 1。所以，等式变成：
1 = 1 × 0!
为了使这个等式成立，0! 必须等于 1。
这个递推关系对于很多数学公式的推导和应用都非常重要，所以让它在 n=1 处也保持一致性，就规定了 0! = 1。
2. 从组合数学的角度（排列与组合）：
阶乘在组合数学中扮演着重要角色，尤其是在计算“排列”（Order Matters）和“组合”（Order Doesn't Matter）的时候。
排列： P(n, k) = n! / (nk)! 表示从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列的方案数。
如果我们想计算从 n 个元素中取出 n 个进行排列的方案数，也就是 P(n, n)，这显然是 n!。
套用公式：P(n, n) = n! / (nn)! = n! / 0!
因为 P(n, n) 显然等于 n!，所以我们再次得出 n! = n! / 0!，这就要求 0! = 1。
组合： C(n, k) = n! / (k! (nk)!) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个进行组合的方案数。
考虑 C(n, n)：从 n 个元素中取出 n 个进行组合，只有一种方法（就是把所有元素都取出来）。
套用公式：C(n, n) = n! / (n! (nn)!) = n! / (n! 0!)
因为 C(n, n) 应该等于 1，所以：
1 = n! / (n! 0!)
同样，为了使这个等式成立，0! 必须等于 1。
这就像是在问：“你有 0 件物品，有多少种方法能把它们‘不取出’任何一件物品呢？” 答案是只有一种方法，那就是什么都不做。这种“什么都不做”的唯一方式，在数学上就被定义为 1。
3. 从级数展开的角度：
很多数学函数都有泰勒级数（或者麦克劳林级数）的展开形式，其中会涉及到阶乘。例如：
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... = Σ (x^n / n!) (从 n=0 到无穷大)
当 x=0 时，e^0 = 1。
根据级数展开：e^0 = 1 + 0/1! + 0^2/2! + 0^3/3! + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1。
这没啥问题。
但是，如果考虑 C(x, n) = x(x1)...(xn+1) / n! 这个广义二项式系数的定义。当 n=0 时，它的值为 1。这个定义也需要 0! = 1 来成立。
总的来说，0! = 1 不是凭空捏造的，而是数学家们为了保持数学公式的统一性、递推性的延续性以及在各种数学分支（如组合数学、微积分）中的一致性而做出的一种“约定俗成”的定义。 就像你不能把零除以零得到一个确切的数字一样，0 的阶乘被定义为 1，是为了让数学的“规则”能够顺畅地运行下去，而且这个定义在绝大多数数学应用中都显得非常自然和有道理。
所以，负数阶乘通常没意义，而 0 的阶乘是 1，这是数学为了自洽和方便而做出的优雅定义。
网友意见
幸好没有被孩子考到这个问题。 提前进来预习。
百科全书上说， 空积（英语：empty product）也叫零项积（英语：nullary product），是零个因子相乘的结果。一般假设任何乘法运算中都隐含单位元因子，所以认为空积的值与乘法单位元 1 相等。这和空和（零个数相加的结果）等于加法单位元 0 是类似的。这是很多归纳证明以及算法的自然起点。“空积是一”的约定在数学和程序设计中非常常见。
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于 1808 年发明的。
一直以来，由于阶乘定义的不科学，导致以后的阶乘拓展以后存在一些理解上得困扰，和数理逻辑的不顺。阶乘从正整数一直拓展到复数。传统的定义不明朗。所以必须科学再定义它的概念。。蛤蛤
幸福的家庭（正数个家庭）总是相似（有限种可能），不幸福的家庭（负数个家庭）各有各的不幸（无穷大种可能），单身狗（0个家庭）的排列组合永远为1。
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