计算根号下1+根号下1+根号下1......等于多少？
这个问题是一个经典的数学问题，它涉及到无限嵌套的根号，也叫做连根式。我们通常用一个变量来表示这个无限嵌套的值，然后通过代数方法来求解。
让我们一步一步来详细解释：
1. 定义问题
我们要求计算的是一个无限嵌套的根号表达式：
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
这里的“……”表示这个模式会一直重复下去，永远不会停止。
2. 用一个变量表示
由于这个表达式是无限重复的，我们可以观察到它有一个关键的特性：
在最外层的根号里面，除了“1”之外，剩下的部分（也就是第二个 $sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}$）与整个表达式本身是完全一样的。
所以，我们可以用一个变量 `x` 来表示整个表达式的值：
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
那么，根据我们观察到的特性，我们可以将其写成：
$$x = sqrt{1 + x}$$
3. 利用代数方法求解
现在我们得到了一个方程：$x = sqrt{1 + x}$。
我们的目标是找到这个方程的解，也就是 `x` 的值。
平方两边
为了去掉根号，我们将方程的两边都平方：
$$x^2 = (sqrt{1 + x})^2$$
$$x^2 = 1 + x$$
整理成二次方程
将所有项移到一边，得到一个标准的二次方程形式：
$$x^2 x 1 = 0$$
使用二次方程的求根公式
对于一个形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，其求根公式为：
$$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$$
在这个方程 $x^2 x 1 = 0$ 中，我们有：
$a = 1$
$b = 1$
$c = 1$
将这些值代入求根公式：
$$x = frac{(1) pm sqrt{(1)^2 4(1)(1)}}{2(1)}$$
$$x = frac{1 pm sqrt{1 + 4}}{2}$$
$$x = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$$
4. 分析解的有效性
我们得到了两个可能的解：
$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2}$
$x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$
现在我们需要判断哪个解是正确的。
考虑根号的定义
我们知道，根号 ($sqrt{cdot}$) 的结果总是非负的（至少在实数范围内）。而我们最初定义的 $x$ 是一个无限嵌套的正数（因为根号下的都是1，结果自然是正的）。
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
由于第一个根号内的表达式是 $1 + sqrt{1 + dots}$，而 $sqrt{1 + dots}$ 显然大于0，所以 $1 + sqrt{1 + dots}$ 也大于0，其平方根 $x$ 也必须大于0。
评估两个解
$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2}$：
$sqrt{5}$ 大约是 2.236。
$x_1 approx frac{1 + 2.236}{2} = frac{3.236}{2} approx 1.618$
这个值是正数。
$x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$：
$x_2 approx frac{1 2.236}{2} = frac{1.236}{2} approx 0.618$
这个值是负数。
排除无效解
由于 $x$ 必须是正数，所以 $x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$ 这个解是无效的。
5. 最终答案
因此，唯一有效的解是：
$$x = frac{1 + sqrt{5}}{2}$$
这个值是一个非常重要的数学常数，被称为黄金分割率 (Golden Ratio)，通常用希腊字母 $phi$ (phi) 表示。
总结过程：
1. 设定变量：将无限嵌套的根号表达式设为一个变量 $x$。
2. 建立方程：利用表达式的自相似性，将其表示为 $x = sqrt{1 + x}$。
3. 求解方程：通过平方两边、整理成二次方程，然后利用求根公式得到两个解。
4. 验证解：根据根号的定义和表达式的性质，排除负数解。
5. 得出结论：唯一的有效解是黄金分割率 $phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$。
所以，根号下1+根号下1+根号下1......等于黄金分割率，即 $frac{1 + sqrt{5}}{2}$。
让我们一步一步来详细解释：
1. 定义问题
我们要求计算的是一个无限嵌套的根号表达式：
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
这里的“……”表示这个模式会一直重复下去，永远不会停止。
2. 用一个变量表示
由于这个表达式是无限重复的，我们可以观察到它有一个关键的特性：
在最外层的根号里面，除了“1”之外，剩下的部分（也就是第二个 $sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}$）与整个表达式本身是完全一样的。
所以，我们可以用一个变量 `x` 来表示整个表达式的值：
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
那么，根据我们观察到的特性，我们可以将其写成：
$$x = sqrt{1 + x}$$
3. 利用代数方法求解
现在我们得到了一个方程：$x = sqrt{1 + x}$。
我们的目标是找到这个方程的解，也就是 `x` 的值。
平方两边
为了去掉根号，我们将方程的两边都平方：
$$x^2 = (sqrt{1 + x})^2$$
$$x^2 = 1 + x$$
整理成二次方程
将所有项移到一边，得到一个标准的二次方程形式：
$$x^2 x 1 = 0$$
使用二次方程的求根公式
对于一个形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，其求根公式为：
$$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$$
在这个方程 $x^2 x 1 = 0$ 中，我们有：
$a = 1$
$b = 1$
$c = 1$
将这些值代入求根公式：
$$x = frac{(1) pm sqrt{(1)^2 4(1)(1)}}{2(1)}$$
$$x = frac{1 pm sqrt{1 + 4}}{2}$$
$$x = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$$
4. 分析解的有效性
我们得到了两个可能的解：
$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2}$
$x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$
现在我们需要判断哪个解是正确的。
考虑根号的定义
我们知道，根号 ($sqrt{cdot}$) 的结果总是非负的（至少在实数范围内）。而我们最初定义的 $x$ 是一个无限嵌套的正数（因为根号下的都是1，结果自然是正的）。
$$x = sqrt{1 + sqrt{1 + sqrt{1 + dots}}}$$
由于第一个根号内的表达式是 $1 + sqrt{1 + dots}$，而 $sqrt{1 + dots}$ 显然大于0，所以 $1 + sqrt{1 + dots}$ 也大于0，其平方根 $x$ 也必须大于0。
评估两个解
$x_1 = frac{1 + sqrt{5}}{2}$：
$sqrt{5}$ 大约是 2.236。
$x_1 approx frac{1 + 2.236}{2} = frac{3.236}{2} approx 1.618$
这个值是正数。
$x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$：
$x_2 approx frac{1 2.236}{2} = frac{1.236}{2} approx 0.618$
这个值是负数。
排除无效解
由于 $x$ 必须是正数，所以 $x_2 = frac{1 sqrt{5}}{2}$ 这个解是无效的。
5. 最终答案
因此，唯一有效的解是：
$$x = frac{1 + sqrt{5}}{2}$$
这个值是一个非常重要的数学常数，被称为黄金分割率 (Golden Ratio)，通常用希腊字母 $phi$ (phi) 表示。
总结过程：
1. 设定变量：将无限嵌套的根号表达式设为一个变量 $x$。
2. 建立方程：利用表达式的自相似性，将其表示为 $x = sqrt{1 + x}$。
3. 求解方程：通过平方两边、整理成二次方程，然后利用求根公式得到两个解。
4. 验证解：根据根号的定义和表达式的性质，排除负数解。
5. 得出结论：唯一的有效解是黄金分割率 $phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$。
所以，根号下1+根号下1+根号下1......等于黄金分割率，即 $frac{1 + sqrt{5}}{2}$。
网友意见
φ=sqrt(1+φ)，两边平方，φ^2=φ+1，因为φ是正数，所以φ=(sqrt(5)+1)/2，约等于1.618。
收敛：
记刚才那个解为φ0。
显然φ>=1。方程f(φ)=φ^2-φ-1的导数为2φ-1显然大于0。所以在φ<φ0的时候f(φ)为负，φ^2<φ+1，两边开根号，φ<sqrt(1+φ)，迭代会让φ增大。
反之，φ>φ0的时候f(φ)为正，φ^2>φ+1，开根号，φ>sqrt(1+φ)，迭代会让φ减小。
总之随着迭代，φ总是越来越接近φ0的
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