为什么要引入弧度制？
引入弧度制，说到底是为了让数学，特别是涉及圆、三角函数、微积分等领域，变得更加“自然”和“简洁”。生活中的角度计量方式，比如度数制，虽然直观好懂，但在数学推导和公式表达上，总会显得有点“笨重”，甚至有点“别扭”。
咱们一步步来捋捋，为啥要这么折腾，引入这个听起来有点陌生的“弧度”？
1. 从“度”到“弧度”：一个视角的变化
我们从小接触的度数制，把一个圆周平均分成360份，每一份就叫一度。这个360，其实是个挺随意的数字，历史上有各种说法，有人说是古巴比伦人受了360天年的影响，也有人说是为了方便计算，因为360有很多约数，容易进行各种分割。
但这种分割方式，对于数学家来说，有一个致命的缺点：它没有内在的数学意义，仅仅是一个人为规定的单位。想想看，一个1度的角，它的大小跟圆的半径压根没关系。你画个小圆，1度角对应的弧长就很短；你画个大圆，1度角对应的弧长就可能非常长。这个“度”本身，并不能直接反映出圆上“走了多远”这个本质信息。
弧度制则完全不同。它直接将“圆心角”与“弧长”联系起来。
弧度制的定义是：一个圆心角所截取的弧长，如果恰好等于该圆的半径，那么这个圆心角的大小就定义为1弧度（1 radian）。
你看，这里面就有一个明确的对应关系：
弧长 (s) = 半径 (r) 圆心角 (θ) （当θ以弧度为单位时）
这个公式简洁得令人惊叹。它表明，圆心角的“大小”直接对应着它在圆周上“扫过”的长度（相对于半径而言）。无论圆是大是小，只要弧长等于半径，圆心角就是1弧度。
2. 弧度制对三角函数的“友好”
三角函数，比如正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们最初源于研究直角三角形的边长比例。但当它们被推广到任意角度，特别是用于描述周期性现象时，弧度制的优势就显现出来了。
导数和积分的简洁性： 这是引入弧度制最核心的数学原因之一。
我们知道，`lim (h>0) sin(h)/h = 1`。这个看似简单的极限，是许多微积分公式的基础，比如 `(sin x)' = cos x`。
如果角度是用度数表示呢？ 假设我们用 `x_deg` 表示度数，那么 `x_deg = x_rad (180/π)`，或者 `x_rad = x_deg (π/180)`。
那么，`sin(x_deg)` 的导数是多少？我们需要进行换算，引入那个讨厌的 `π/180` 因子。
`(sin(x_deg))' = (sin(x_rad π/180))'`
利用链式法则，这等于 `cos(x_rad π/180) (π/180)`
也就是 `cos(x_deg) (π/180)`。
看，多了一个 `π/180`！ 这个常数因子在每次求导或积分时都可能出现，使得数学公式变得冗长和复杂。
而如果使用弧度制， `(sin x)' = cos x`， `(cos x)' = sin x`。这些公式是如此简洁，仿佛它们“理应如此”。微积分的强大理论体系，在很大程度上是建立在这种简洁性之上的。
泰勒展开式： 许多重要的函数（包括三角函数）的泰勒展开式，如果使用弧度制，系数会非常干净漂亮，不包含那些额外的比例因子。例如：
`sin x = x x³/3! + x⁵/5! ...` (x为弧度)
如果x是度数，展开式会复杂得多。
3. 弧度制与周期性现象的内在联系
很多自然现象都是周期性的，比如振动、波的传播、旋转等。当用数学模型描述这些现象时，正弦和余弦函数是不可或缺的工具。
角速度和角频率： 在描述旋转运动时，我们关心的是物体转动的“快慢”。
用度数表示，我们说每秒转多少度。
用弧度制，我们说每秒转多少弧度，这更直接地反映了“在圆周上前进的距离”的速度。
角速度 ω（通常用弧度/秒表示）直接与物理量相关联。例如，简谐振动的频率 `f` (赫兹) 与角频率 `ω` 的关系是 `ω = 2πf`。这里的 `2π` 正是代表一个完整的圆周（2π 弧度）。
相位： 在描述波或振动时，相位（phase）是描述其在周期中位置的关键。用弧度表示相位，可以更自然地理解一个周期是 `2π`。相位差为 `2π` 就意味着两个波（或振动）是完全同步的。
4. 弧度制与几何的自然契合
弧长公式： `s = rθ` (θ以弧度为单位)。这是最直接的体现。
扇形面积公式： 扇形的面积 A = (1/2) r² θ (θ以弧度为单位)。同样非常简洁。
如果用度数，扇形面积是 `A = πr² (θ_deg / 360)`，又是一个比例因子。
单位圆： 在单位圆（半径为1的圆）上，一个角度所对应的圆上点的坐标 `(cos θ, sin θ)`。这里的 `θ` 就是弧度。这种定义使得三角函数与几何的联系更加直观和紧密，就像是在“测量圆上的距离”。
总结一下，为啥要引入弧度制？
1. 数学上的简洁性： 尤其是微积分，避免了冗余的比例常数，使得公式更优美、更易于推导和记忆。
2. 物理上的直观性： 弧度制直接关联了角位移、角速度、角加速度等物理量，使得描述周期性运动和波的数学模型更加自然和清晰。
3. 几何上的统一性： 统一了弧长、扇形面积的计算，与圆的半径建立了直接的联系。
可以这么说，度数制是一种“外在的”角度度量方式，而弧度制是一种“内在的”角度度量方式，它直接与圆的几何特性和相关的物理规律内在统一。一旦你开始深入接触高等数学和物理，你会发现弧度制是如此的“理所当然”，以至于你可能会开始觉得度数制用起来反而有点“别扭”了。它不是一个“可选项”，而是理解和运用许多数学和物理工具的“必备条件”。
咱们一步步来捋捋，为啥要这么折腾，引入这个听起来有点陌生的“弧度”？
1. 从“度”到“弧度”：一个视角的变化
我们从小接触的度数制，把一个圆周平均分成360份，每一份就叫一度。这个360，其实是个挺随意的数字，历史上有各种说法，有人说是古巴比伦人受了360天年的影响，也有人说是为了方便计算，因为360有很多约数，容易进行各种分割。
但这种分割方式，对于数学家来说，有一个致命的缺点：它没有内在的数学意义，仅仅是一个人为规定的单位。想想看，一个1度的角，它的大小跟圆的半径压根没关系。你画个小圆，1度角对应的弧长就很短；你画个大圆，1度角对应的弧长就可能非常长。这个“度”本身，并不能直接反映出圆上“走了多远”这个本质信息。
弧度制则完全不同。它直接将“圆心角”与“弧长”联系起来。
弧度制的定义是：一个圆心角所截取的弧长，如果恰好等于该圆的半径，那么这个圆心角的大小就定义为1弧度（1 radian）。
你看，这里面就有一个明确的对应关系：
弧长 (s) = 半径 (r) 圆心角 (θ) （当θ以弧度为单位时）
这个公式简洁得令人惊叹。它表明，圆心角的“大小”直接对应着它在圆周上“扫过”的长度（相对于半径而言）。无论圆是大是小，只要弧长等于半径，圆心角就是1弧度。
2. 弧度制对三角函数的“友好”
三角函数，比如正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们最初源于研究直角三角形的边长比例。但当它们被推广到任意角度，特别是用于描述周期性现象时，弧度制的优势就显现出来了。
导数和积分的简洁性： 这是引入弧度制最核心的数学原因之一。
我们知道，`lim (h>0) sin(h)/h = 1`。这个看似简单的极限，是许多微积分公式的基础，比如 `(sin x)' = cos x`。
如果角度是用度数表示呢？ 假设我们用 `x_deg` 表示度数，那么 `x_deg = x_rad (180/π)`，或者 `x_rad = x_deg (π/180)`。
那么，`sin(x_deg)` 的导数是多少？我们需要进行换算，引入那个讨厌的 `π/180` 因子。
`(sin(x_deg))' = (sin(x_rad π/180))'`
利用链式法则，这等于 `cos(x_rad π/180) (π/180)`
也就是 `cos(x_deg) (π/180)`。
看，多了一个 `π/180`！ 这个常数因子在每次求导或积分时都可能出现，使得数学公式变得冗长和复杂。
而如果使用弧度制， `(sin x)' = cos x`， `(cos x)' = sin x`。这些公式是如此简洁，仿佛它们“理应如此”。微积分的强大理论体系，在很大程度上是建立在这种简洁性之上的。
泰勒展开式： 许多重要的函数（包括三角函数）的泰勒展开式，如果使用弧度制，系数会非常干净漂亮，不包含那些额外的比例因子。例如：
`sin x = x x³/3! + x⁵/5! ...` (x为弧度)
如果x是度数，展开式会复杂得多。
3. 弧度制与周期性现象的内在联系
很多自然现象都是周期性的，比如振动、波的传播、旋转等。当用数学模型描述这些现象时，正弦和余弦函数是不可或缺的工具。
角速度和角频率： 在描述旋转运动时，我们关心的是物体转动的“快慢”。
用度数表示，我们说每秒转多少度。
用弧度制，我们说每秒转多少弧度，这更直接地反映了“在圆周上前进的距离”的速度。
角速度 ω（通常用弧度/秒表示）直接与物理量相关联。例如，简谐振动的频率 `f` (赫兹) 与角频率 `ω` 的关系是 `ω = 2πf`。这里的 `2π` 正是代表一个完整的圆周（2π 弧度）。
相位： 在描述波或振动时，相位（phase）是描述其在周期中位置的关键。用弧度表示相位，可以更自然地理解一个周期是 `2π`。相位差为 `2π` 就意味着两个波（或振动）是完全同步的。
4. 弧度制与几何的自然契合
弧长公式： `s = rθ` (θ以弧度为单位)。这是最直接的体现。
扇形面积公式： 扇形的面积 A = (1/2) r² θ (θ以弧度为单位)。同样非常简洁。
如果用度数，扇形面积是 `A = πr² (θ_deg / 360)`，又是一个比例因子。
单位圆： 在单位圆（半径为1的圆）上，一个角度所对应的圆上点的坐标 `(cos θ, sin θ)`。这里的 `θ` 就是弧度。这种定义使得三角函数与几何的联系更加直观和紧密，就像是在“测量圆上的距离”。
总结一下，为啥要引入弧度制？
1. 数学上的简洁性： 尤其是微积分，避免了冗余的比例常数，使得公式更优美、更易于推导和记忆。
2. 物理上的直观性： 弧度制直接关联了角位移、角速度、角加速度等物理量，使得描述周期性运动和波的数学模型更加自然和清晰。
3. 几何上的统一性： 统一了弧长、扇形面积的计算，与圆的半径建立了直接的联系。
可以这么说，度数制是一种“外在的”角度度量方式，而弧度制是一种“内在的”角度度量方式，它直接与圆的几何特性和相关的物理规律内在统一。一旦你开始深入接触高等数学和物理，你会发现弧度制是如此的“理所当然”，以至于你可能会开始觉得度数制用起来反而有点“别扭”了。它不是一个“可选项”，而是理解和运用许多数学和物理工具的“必备条件”。
网友意见
在小学我们就学习了角度，然后到了初高中才学习了弧度，但弧度这个后来者却成为了数学中的重要组成部分，取角度而代之，这是为什么？
简单的回答就是，弧度使得代数运算更简单，下面来详细解释下。
往下面看的时候需要你对角度、弧度有所了解，如果不清楚可以先看“为什么会有弧度制”这篇文章，还可以扩展看下这里和这里。
1 角的度量
首先来清晰下本文要解决的问题，让我们从角的定义说起。角可看作是旋转运动的产物：
角的大小可以用多种方式来度量：
解释下上面这个动画：
- 角度是这么度量的：当没有旋转时，角的大小记作 ，当旋转了 时，记作 ，旋转一周记作
- 弧度是这么度量的：当没有旋转时，角的大小记作 ，旋转了 时，记作 ，旋转一周记作
- 当然还可以有别的度量方式，比如没有旋转时，角的大小记作 ，旋转一周记作 ，等等
在这么多计量方式中，弧度会使得代数运算更简单，这就是本文要解释的核心问题。
2 直觉
我们先通过直觉来解释下为什么弧度会更好：
（1）角度认为旋转一周，数值会从 变化到 。这种计量方法是古巴比伦人发明的，可能源于古巴比伦一直使用 进制，还可能因为 容易被整除，除了 和自身以外，还可以被 个数整除（ 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ），所以很多特殊角的角度都是整数。
不过从数学角度看，上面的理由都不太重要，古巴比伦人这样发明其实蛮随意的。
（2）而弧度认为旋转一周，数值会从 变化到 ，这种计量方法包含了圆周率 ，这是圆的本质特征，所以它会是更好的计量方法。
下面再来定量的分析，通过计算来展示下弧度是更好的计量方法。
3 弧长和扇形面积
假设圆的半径为 ，其中有某 角：
如果用弧度（下面用 表示采用的是弧度）来计算弧长 以及扇形 的面积，因为弧度包含了圆周率 ，所以结果很简单：
而用角度（下面用 表示采用的是角度）来计算的话，其结果会更复杂：
4 重要极限
在微积分中有一个重要的极限 ，用弧度和角度得到的答案也不一样。
4.1 弧度
首先引入一个单位圆，从中取 角：
在 中，根据三角函数，容易得到 以及 ：
以及：
借助上一节推导过弧度下的扇形面积，上面不等式可以写作：
最终利用夹逼定理可以求出：
4.2 角度
如果用角度的话，那么这些不等式：
借助角度下的扇形面积，可以写作：
说明下，上面的 和 是角度制下的三角函数，它们接受角度值，和弧度制下的三角函数关系为：
接着用夹逼定理，最终可得：
5 求导
基于上述重要极限 的求解，可得弧度制下 的导数为：
通过链式法则就可以得到角度制下 的导数为：
6 总结
可以看到，在弧度制下，从弧长计算开始就很简单，这种简单一直延续到各种计算：
可以想象，除了上述结果外，各种三角函数、对应泰勒级数等在弧度制下都会最简单，所以我们会使用弧度。
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