为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？

引入矩阵这个数学工具，绝非一时兴起，而是源于实际需求的必然产物。简单来说，矩阵的出现，是为了更优雅、更高效地处理那些在没有它时会变得异常繁琐的数据和运算。我们可以从几个核心方面来理解它的价值。

一、 结构化数据的高效表示与管理

想象一下，我们要描述一个班级里每个同学的各科成绩。如果没有矩阵，我们可能会用表格来记录：

| 姓名 | 数学 | 语文 | 英语 |
| | | | |
| 小明 | 85 | 90 | 88 |
| 小红 | 92 | 88 | 95 |
| 小刚 | 78 | 85 | 82 |

这本身还好，但如果我们想要做一些操作，比如计算平均分、找出最高分，或者记录不同班级的数据，情况就会变得复杂起来。如果我们要记录不同班级的成绩，然后对每个班级分别计算平均分，那么你需要管理多个这样的表格，并且在进行计算时，需要层层嵌套地引用单元格。

引入矩阵后，我们可以用一个二维数组来表示这些数据：

$$
egin{pmatrix}
85 & 90 & 88 \
92 & 88 & 95 \
78 & 85 & 82
end{pmatrix}
$$

这里，每一行代表一个同学，每一列代表一门科目。这种结构化的表示方式立刻带来了几个好处：

简洁性： 相比于分散的表格或列表，矩阵提供了一个统一、紧凑的载体。
标准化： 矩阵运算有明确的规则，使得在不同场景下处理数据时，方法更加一致和可预测。
易于扩展： 如果要增加科目或者同学，只需要在矩阵的行列上扩展即可，保持了结构的清晰。

二、 线性方程组的统一求解

这是矩阵最初被广泛应用的重要原因之一。试想一下，我们要解这样一个线性方程组：

$$
egin{cases}
2x + 3y = 7 \
x y = 1
end{cases}
$$

在没有矩阵的情况下，我们通常会用代入法或消元法来求解。对于两个变量、两个方程，这还不算太麻烦。但如果我们遇到的是几十个变量、几十个方程的系统呢？比如，在工程计算、经济模型中，这种规模的方程组是家常便饭。手动求解将是灾难性的，极易出错且效率低下。

矩阵的出现，将这个方程组简洁地表示为：

$$
egin{pmatrix}
2 & 3 \
1 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x \
y
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
7 \
1
end{pmatrix}
$$

我们称之为 $Ax = b$，其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是未知数向量，$b$ 是常数向量。

矩阵理论提供了强大的工具来求解这类问题，最著名的方法就是高斯消元法（Gauss elimination）及其变种，以及矩阵求逆（matrix inversion）。通过一系列标准化的矩阵行变换（elementary row operations），我们可以将系数矩阵 $A$ 转化为一个更简单的形式（如行阶梯形或简化行阶梯形），从而直接读出解或者通过求逆矩阵直接得到 $x = A^{1}b$。

这种方法不仅在理论上优雅，更关键的是，它们可以被转化为高效的算法，在计算机上大规模处理。无论是计算机图形学中的三维变换，还是科学计算中的各种模拟，都依赖于矩阵求解线性方程组的能力。如果没有矩阵，处理这些复杂系统将不得不依赖大量的、零散的代数运算，极易引入错误且难以优化。

三、 几何变换的简洁描述与组合

在计算机图形学、物理学以及许多工程领域，我们经常需要对物体进行各种几何变换，如平移、旋转、缩放等。这些变换通常可以用线性变换来描述，而线性变换又可以直接用矩阵来表示。

考虑一个二维平面上的点 $(x, y)$。
缩放： 将点 $(x, y)$ 放大两倍，得到 $(2x, 2y)$。这可以表示为：
$$
egin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 2
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x \
y
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
2x \
2y
end{pmatrix}
$$
旋转： 将点 $(x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $ heta$ 度，得到新的点 $(x', y')$。其变换关系是：
$$
x' = x cos heta y sin heta \
y' = x sin heta + y cos heta
$$
用矩阵表示就是：
$$
egin{pmatrix}
cos heta & sin heta \
sin heta & cos heta
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x \
y
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
x' \
y'
end{pmatrix}
$$

更妙的是，当我们需要连续进行多个变换时，矩阵的优势就更加凸显了。例如，先将一个图形放大两倍，再逆时针旋转 30 度。如果没有矩阵，你需要分别对每个点的坐标应用两次变换的公式，过程繁琐。但通过矩阵，你可以先将这两个变换矩阵相乘，得到一个复合变换矩阵。然后，你只需用这个复合矩阵乘以点的坐标，就能一步到位得到最终结果。

$$
M_{total} = M_{rotation}(30^circ) cdot M_{scaling}(2)
$$

$$
egin{pmatrix}
x'' \
y''
end{pmatrix}
=
M_{total}
egin{pmatrix}
x \
y
end{pmatrix}
$$

这种将一系列变换“打包”成一个矩阵的能力，极大地简化了复杂的几何运算，尤其是在动画制作、三维建模、物理模拟等领域，如果没有矩阵，这些领域的发展将举步维艰。

四、 数据分析与模式识别的基石

在统计学、机器学习和数据科学中，矩阵更是不可或缺的工具。

数据集的表示： 庞大的数据集，比如一张包含成千上万个样本和数百个特征的表格，都可以自然地组织成一个大型矩阵。每一行是一个样本，每一列是一个特征。
统计计算的便捷： 计算样本均值、方差协方差矩阵，进行主成分分析（PCA）、线性回归、逻辑回归等，都离不开矩阵运算。例如，计算协方差矩阵，在没有矩阵运算的情况下，需要对每一对变量进行反复的均值、平方差和乘积差计算，而矩阵运算则可以将这些操作统一化、公式化。
模型训练与推理： 很多机器学习模型，如神经网络，其核心就是大量的矩阵乘法和加法。权重矩阵、输入向量、输出向量之间的关系，都通过矩阵运算得以高效实现。

想象一下，在没有矩阵的情况下，我们要训练一个具有数百万参数的神经网络。每一步的权重更新都涉及到对海量数据的逐个元素操作，这将是多么庞大且容易出错的任务！矩阵运算提供的向量化和并行化能力，使得这些复杂的计算成为可能。

总结一下，矩阵能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？

多变量、多方程的线性系统求解： 将复杂的代数运算转化为结构化的矩阵运算，便于算法实现和计算机处理。
多维数据的表示与处理： 提供一种简洁、标准化的方式来组织和管理大量数据，避免了表格、列表的复杂嵌套和引用。
连续的几何变换的组合： 将一系列变换表示为矩阵乘积，实现高效的复合变换，广泛应用于图形学和物理模拟。
大规模统计计算与机器学习模型的构建和训练： 将复杂的算法（如PCA、线性回归、神经网络的权重更新）转化为可计算的矩阵运算，实现了算法的效率和可扩展性。

可以说，矩阵是连接数学理论与实际计算的桥梁，它将许多原本杂乱无章、计算量巨大的问题，转化为清晰、有序且易于计算机处理的模式。它的出现，极大地推动了科学、工程和数据处理领域的发展。

网友意见

令我惊讶的是下面的回答几乎都是与应用相关的，很少有人从纯数学的角度来讲矩阵的用处的。我在这里补上一个，从纯数学角度来说，我们为什么需要矩阵？

以下内容部分来自Linear Algebra Done Right以及我的笔记。

大家都知道线性代数的研究对象是线性变换。简单来说，对于 （一个域，可以想象成 或者 ），以及两个向量 (一个向量空间)，如果 有以下性质：

• ;

那么就称 是一个线性变换。或者等价的，需要有 。我们现在深入来研究一下这个线性变换。对于这两个向量空间 ，我们可以引入两组基： 是 的一组基， 是 的一组基。那么现在 中的所有向量都可以用其基向量的线性组合表示，且这个表示是唯一的。

我们要怎么样才能算“很了解”这个线性变换 呢？理想的情况下，给定任意的 , 我可以写成 ，我希望给定任意的 ，我都可以将它被变换后的向量 用 的基向量的线性组合表示出来。为了达到这个目的，我最少需要什么信息？根据线性变换的性质，我知道 ，也就是说我只要知道 怎么用 基向量的线性组合表示出来就行了。我们就从这里开始：

现在假设我知道这些信息：

接下来的计算就很容易了：

于是对于每一个线性变换 ，选定了基向量 定义一个方阵 ，其中第 行第 列是 用 的基的线性组合表示中， 前面的系数，也就是 ，如图所示：

相当于这个方阵中包含了 的所有信息。这就是定义矩阵的一种思路。虽然刚开始数学家是为了解方程定义的矩阵（高赞答案讲了），但是在数学上，我认为比较自然的定义是这种方式。

矩阵乘法的定义是为了符合线性变换的性质。给定一个线性变换 ，形式上我们有 ,其中 同样的，我们希望如果把 写成列向量的形式，我们有 . 如果我们把矩阵和向量的乘法定义为 的话，我们达到了目的。

如果两个矩阵相乘，对应的就是两个线性变换的复合，我们希望如果 ，那么 . 那么自然的定义就是 .

最后，知乎编辑器真的是个废物，西内。

中国高等教育的数学课都是数学系老师教的，乍一看天经地义，但实则数学系老师只会用纯数学的思维教课，只说定义、性质，再用剩下的两节课证明性质，从不说这些花花绿绿公式是干什么用的，才会催生出一大批和题主一样的对学数学产生怀疑的人。

数学是可以用并且非常实用的学科！

尤其是矩阵

1.1、图像处理

先说最简单的灰度图，图像是由一个个小像素点行列排列组成的，每个像素点由数值大小代表不同颜色（黑白灰），那么图片天然就可以用一个矩阵表示。把一张黑色的图片和一张白色的图片掺杂变成灰色的图片，说白了就是(1+0)/2=0.5的过程，矩阵表示为：

如果不用矩阵：

`

`

一张图怎么也得几百个像素点吧。这还只是黑白灰图片，彩色图片是由红绿蓝三个通道组成的，那就是三维矩阵了，换成普通表达式又得翻3倍。

小米发布了一亿像素的手机，不知道题主对一亿有没有概念，如果铺成可爱的脖子长长的小动物可以绕内心一圈。

但矩阵表达式永远都是简单的（再写一遍）：

1.2、图像压缩

老师肯定讲过特征值分解后，较大的几个特征值包含了原矩阵更多的信息，剩下的几个特征值越小，对原矩阵贡献越小。

基于此，对于一张一亿像素的图片，应该可以理解保存在磁盘上是非常大的一个文件，进行奇异值（只有方阵才有特征值，非方阵叫奇异值）分解后，只留下特征值较大的，以及对应的特征向量，剩下的全部扔掉，就可以完成图像压缩，减小磁盘占用，而不影响图片的辨识度。

如果不用矩阵。。。想不出来了，大概就像按元素写SVD分解吧，可能类似给一亿只小动物逐个起名字吧。

2、空间变换

机器人坐标变换尽管烂大街了，鉴于读者专业不同，说个容易理解的：卫星在太空把天线朝向从西安转移对准北京（这里只是用来说明旋转变换的容易理解的例子，真实航空航天是怎样算的并不知道）：

其中R是旋转矩阵， 为卫星当前朝向向量（对准西安）， 为目标朝向向量（对准北京）。

在这里不严格推导了，我们定性分析一下，绕空间三个自由度旋转，每个坐标旋转后都会影响下一个坐标位置的选取，所以数学上就是一大堆三角函数相乘，类似于：

x、y、z为朝向向量v的三个方向分量。

3、最小二乘

线性回归常用公式，表面看似简单的公式，但里面包含了数个求和符号：和的平均、平方和的平均、和的平方的平均、积的和的平均，和的积的平均，当时为了算这个公式内心不知跑过多少长脖子的小动物。之后有了多元函数、高次函数拟合同样是基于最小二乘原理，更加mmp。但他的矩阵形式：

内心的小动物瞬间安静了。

4、空间约束

这个在优化问题比较常见，比如初中就学过开口向上的二次函数最小值在槽底，但如果限定x取值范围的话，槽底可能根本不在所规定的可行域范围内。

如果不是初中的二次函数，而是高维空间，自变量有上百个，他的可行域空间约束:

`

`

写成矩阵：

搞定。

5、卡尔曼滤波

卡尔曼滤波是控制理论对系统状态估计最常用的方法，矩阵形式：

其中中有一个求增益K的公式，也就是第三个公式，注意分母也是矩阵（众所周知矩阵不存在除法，分母实际是右乘他的逆）

如果不用矩阵，其他几个公式尚且可以按元素乘开，但唯独这个K，总不能把矩阵求逆按元素展开写进代码里吧，那样心里可就不止几只可爱的小动物那么简单了。。。

此处，本人尚且不知道如何不用矩阵来表达卡尔曼滤波，欢迎交流。

===========

作者开始学线代的时候也在怀疑矩阵有什么用，依稀记得书上说特征值在工、医、化、生、经等各个学科有极其广泛的应用，但无论是课本还是数学系老师对这个''极其广泛''到底怎么广泛却只字不提。等到后来实践接触越多，才发现矩阵理论真如王八拳一样可以打遍天下无敌手，但因为数学系老师当初的填鸭教育，好多东西必须回头再学一遍。

因此在此对矩阵理论产生怀疑的读者们保证一句：矩阵理论，绝对有用，绝对好用。

数学有一个特点，它可以完成数学体系内的自洽而不与外部世界发生交集，其他学科诸如物理化学计算机医学生物历史经济等，则必须依靠现实世界进行推演，马克思说万物都是物质的，但数学除了要写在物质上要人理解以外，好像真的可以完全脱离物质。

数学系老师也有一个特点，他们追求纯数学里的自洽，沉浸在数学性质证明上，而完全脱离数学性质在现实世界的应用。

小学学数学，是和小明小红一起度过的。

大学学数学，只能和内心的脖子长长的小动物一起度过了。

希望工科数学改革，让工科系老师教数学。哪怕让小明和小红回来也好哇。

=========

哈哈哈哈，已经越来越多的人开始同情背锅的数学系老师了。我必须澄清一下，我认为理论数学是极其具有前瞻性的学科，量子物理的发展就以早就存在但当时看似无用的理论数学为基础的。研究理论数学的人更是这个星球上最聪明的人的集合。我吐槽的是高等教育数学课的教学模式，毕竟教学大纲里没有数学应用人家老师自然也不必讲。

张跃辉老师那本《矩阵理论与应用》每一章最后一节都在写本章内容的实际应用，可上课的老师只会背对讲台在那里证明性质123而绝口不提应用123。不能说数学系老师不懂工科应用，因为考试大纲里没有啊，正课都讲不完还拓展什么？应用书上有写你自己去看就好了啊？

话说回来，雪崩前没有一片雪花是无辜的。但前边性质推导我也能自己看也不用讲啊？正是因为学生缺乏实践经验，所以应用部分才需要有经验的人来讲啊？

我计算方法那门课老师是工科背景的，微分方程旁征博引，希望数学系老师都去听一听。

==================

祈求喜欢无脑喷的知友提升一下阅读理解能力 T_T，帮这类人概括一下中心思想：

1. 题目问的是''简化''，所以我举得是简化表达的例子。
2. 吐槽的是工科数学的授课模式，不是数学系，详见京东链接上一段。

当然绝大部分知友都是能够理解的，毕竟数学课不提原因就讲性质转眼就考试太有共鸣了。

===============

哈哈哈哈哈，数学系教学只做定义、性质证明，绝不画图、绝不讲应用、绝不用正常逻辑的万人吐槽现场：

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