我们在数学中为什么要引入复数？

楼上几位说的是“标准答案”，但我恐怕题主不想听这种教科书式的答案。。。

引入复数，有些只用实数观点无法解决或难以解决的问题，会变得很简单。比如“任何实系数多项式都可以因式分解为一次多项式和二次多项式的乘积”，这在实数域里证明很麻烦。而如果引入复数，注意到复根总是成对出现的，那这个命题就是一句话的事。

又比如，要求一个三角级数的和，这本身也是一个只涉及实数的问题，然而只用实数却很难解决。但如果你知道三角函数和复幂函数之间的联系，那三角级数求和，其实本质上就是等比级数求和了。

以前看克莱因的古今数学思想，里面复数那章题首就是一句话：“在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域。”

复数本来是一个不存在的抽象的东西，但是数学研究的是抽象结构本身，只要一个对象有结构，就有对应的数学。我们不会管它“到底是什么”。不过神奇的是，很多新的结构初看好像完全是假想的、赘生出来的东西，莫名其妙却可以解决很多旧的问题。或者说新的结构出现以后，你才发现原来以前看到的，不过是一个高维巨物在低维上的投影。。。而新的结构，才是真正“真实的”。比如以后你学几何会碰到外微分，也是类似的东西。

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加几句话，就像不少答主提到的，如果觉得虚数令人费解，对为什么一个赘生出来的对象会对原本已经自洽的系统产生影响感到迷惑，那完全可以用高斯整环Z[x]/(x^2+1)来“构造”复数（也可以用特定的矩阵或者函数来构造）。从同构（也就是运算）意义下两者没有什么差别。这样一来，虚数就是多项式理论的一部分，用复数来证明一些纯实数的命题就是完全合理的了。

实际上，我猜想高斯当年引入高斯整环也是为了解决他的这个困惑，毕竟他当年也对虚数充满疑惑，一度都不愿使用复数来解决问题。

所谓一个东西是不是“存在”在我们脑内的判断其实取决于我们能不能找到关于它的直观。那复数的直观就很明显，复平面嘛。当然你也可以找别的，与研究领域有关。

说句题外话，严格来说数学的所有东西都是不存在的哦。

我很好奇你为什么会觉得数学里面有实在和具象的东西？

数学里面所有的东西都是不存在且抽象的……

更新见最后

就一个答案说到点子上了，结果就一个赞。其他的答案都在说啥。。

引入复数是为了获得包含实数的代数闭域。

简单地说，代数闭域就是，考虑全体由某个数集上的元素为系数所构成的多项式，如果这些多项式的根也都在这个数集里，那么这个数集为代数闭域。

代数闭域使得我们能用多项式（包括线性情况）和幂级数处理很多问题。

比如所有n阶复系数多项式都有n个复数根（包括重根）。比如几乎所有的复系数n阶方阵都能被对角化。比如说考虑复变函数的时候，就能很容易理解为啥1/（1+x^2）在0点泰勒展开的收敛域是（-1,1）。复数对代数，几何，分析等等数学学科都起到了基础性的作用。

正因为这种基础性的作用，使得我们能用非常简洁的方式处理科学和工程中的实际问题。

比如利用傅里叶/拉普拉斯变换和调和分析，麦克斯韦方程组多简洁，电路分析时中利用复频域分析搞出来的欧姆定律多简洁（形式上和初中学的欧姆定律完全一致）。计算机JPEG和MPEG压缩图片都用到了一点点傅里叶变换。

总而言之，就是个性质很好的计算工具，没必要追问它在物理世界中有啥实际对应物。你完全可以构造2×2的实数矩阵（这时只有两个自由度）来作为""复数""。

咱们不能扯垂直不垂直，二维不二维，不能把对复数的隐喻理解当做复数的本质。。这些是水中倒影的月亮啊，是方便理解而找的诠释啊，不是天上那个真正的月亮啊。

20-12-03更新：

不知道是哪位大佬翻了牌子，这两天这个问题底下多了很多很好的答案，这个答案中原来的第一句

就一个答案说到点子上了，结果就一个赞。其他的答案都在说啥。。

已经不再准确了，特此更新。

正好趁这个机会，我结合评论区，总结和补充一下我这个答案的要点，之后我再简单的把我认为很好的答案和理由列在这里。感谢这些答主们的分享，他们从不同的视角补充了我这个粗糙答案的不足之处。

1. 目前，复数(complex numbers)这个词所指的概念，是实系数多项式R[x]的根所构成的集合中的元素。
2. 要区分复数和对复数的表示
1. 常用的复数表示：(这里的 的字体不对，但是不影响理解，我也懒得调了)
1. ，这个需要证明这种形式的复数能和“实系数多项式R[x]的根所构成的集合中的元素”1-1对应。
2. ，这个也需要上面所说的，1-1对应方面的证明。这里重要的是理解指数函数。指数函数，这个概念的定义是从微分方程来的。从概念史来说，这个函数一开始就是由微分方程和幂级数定义的。我们高中教育需要我们掌握指数函数的计算，于是选择了 这样的表示，而把复杂的地方都封装进了“什么是 ”。
2. 我们注意到，上面两条都说明了只要用两个实数构成的有序对就能对应一个复数。换句话说，复数可以由带有它特殊乘法结构的 来表示，这也就是我们所说的复平面。复平面有两个要点容易给读者造成误导。
3. 黎曼面的问题，他转一圈是上去了，而不是回来了。
4. 容易和向量空间 混淆，而丢了最重要的复数乘法结构。一般所说的向量空间 上只有标量乘法、最多加上点积和楔积（注意没有叉积，叉积是专门给 用的）。
5. 考虑到和线性代数方面内容的一致性，实际上用满足某些条件的 更自然一点。关于这种表示的等价性推导，有一些线代、复分析、微分方程、动态系统方面教材会有例子或者习题。有需要的读者请留言。
6. 切记，（一个数学对象的表示）不意味着（这个表示就是这个数学对象本身）。
3. 要注意复数的概念史，以及以"正确的视角"来看待概念史（很多没有受过数学史教育的科普作者，甚至数学家，都会在这里犯错误）。这里"正确的视角"指的是知道自己在说什么，不混淆同一个词所指的不同概念，特别是不同历史时期的概念。
1. 目前复数这个词所指的概念，和历史上一开始处理三次方程时所引入的概念，不是同一个概念，而是那个概念演化后的产物，是那个概念的继承。
1. 在一开始处理三次方程的时候，才刚刚摆脱古希腊时代的思想制约：那就是面积量和线段量不是一个量（因为不可公比性质，虽然他们都是连续量magnitudes），于是不允许面积加线段。但是我们允许对面积和线段做标量乘法，这里的标量要求是离散量或者说"个数量""比例量"multitudes。是不是很有线代的感觉？实际上线代linear algebra，linear意思是"线的"，而不是"线性"。这方面的内容可以查阅几何原本，亚里士多德的范畴分类对此也有体现，有需要的读者请留言。
2. 实际上比那个时代更早，丢番图和阿波罗尼乌斯都处理过三次方程，只是在那个时代，欧洲数学家受到中世纪伊斯兰数学家影响后，开始考虑统一形式的求根公式。求根公式就是把方程系数映射为方程的根。有需要补充信息的读者请留言。
3. 方程和求根公式这种思路本身是中世纪伊斯兰数学家们的贡献。之前没有把"等式"上升为数学对象。
4. 一开始处理三次方程的时候没有现代意义上的数学符号（阿拉伯数字已经有了，但是其他符号都不全，更别说开根号）
5. 那个时代的数学家不怎么能接受负数，他们对数的概念和今天非常不同。主要还限制系数要为正数。
6. 卡尔达诺去世于1576年，笛卡尔生于1596年，是的那个时代没有笛卡尔意义下的坐标系。这还况且不论笛卡尔提的不是正交直角坐标系。有需要补充资料的读者请留言。
2. 类似于忒休斯之船，如果我们考虑的是目前复数所指的概念，在数学系统中的"结构位置"，以及这个概念演化的历史，那么我们要把复数这个概念的整个演化过程整体来看，
1. 既不能仅仅以当年研究三次方程时所引入的概念，来思考“（近代和当代）我们在数学中为什么要引入复数”
2. 也不能仅仅以当代"复数"这个词所指的概念，来思考“（历史上）我们在数学中为什么要引入复数”
3. 从概念史的角度来看，复数所指的概念，是在被不断地抛弃和重新引入。于是"引入"这个词，叠加了好几重含义。
1. 从概念史的角度来看，复数这个概念最早出现在处理三次方程和求根公式。我这里把那个时候所考虑的复数，称为原始复数（proto-(complex number)）。这里已经有好几个答案解释了为什么二次方程还好，而三次方程就需要考虑原始复数。
2. 在考虑求根公式的时候，有证据说明，那个时代的欧洲数学家受伊斯兰数学家影响，想要找一种统一形式的求根公式。也就是能处理所有（正）离散量(multitudes)为系数的三次方程的求根。这个思想和我们现在说的“代数闭域”是一贯而成的。当然他们既没有考虑"封闭"，也没有考虑"域"，那个时代甚至刚发明（coin）代数（algebra）这个词不久（是的，古希腊没有代数，所谓的几何代数是后人给的名字，认为他们研究了我们现在所成为代数对象的等式，然而古希腊人认为他们是研究算术和几何算术，有需要这方面资料的读者请留言）
3. 从多项式的根的结构往后演化，我们开始考虑整数和有理数的代数域。这里高斯做了很大的贡献。
4. 从统一形式的求根公式往后演化，伽罗瓦阿贝尔考虑五次方程一般求根公式，从而奠定了现代代数的根基，也让我们随后分化出了利用多项式来做扩充代数域以及考虑代数闭域，伽罗瓦阿贝尔高斯柯西基本是同时代的人，前两位比后两位大概晚出生20-30年。
5. 早期对于无穷小（数学分析）的研究非常依赖于级数和幂级数，幂级数和多项式有着牢不可分的关系，也因此，对于多项式这边所研究的复数在分析学中也有使用。那个时候还没有我们今天所说的分析学，分析(analysis/analyse)这个词引入到数学实际上都是柯西为了和同时代的其他相关研究做区分而做的。
6. 那个时代还没有现代意义上的实数，最多只是magnitudes的变种，实数是戴德金康托时代奠基的，大概阿贝尔去世的时候戴德金刚出生。特别是戴德金时代还有弗雷格等人搞一阶谓词逻辑，才在思想上帮了忙。对于无穷的理解直到今天都还是开放议题（open problem)。
7. 在戴德金所处的时代，我们开始了应用数学和纯数学的区分，克莱因扮演了关键的角色。这个区分让我们把被使用的数学和研究纯粹形式的数学做了区分，而复数在这两方面的实践中都扮演了重要角色。对于应用数学和工程学，复数后来直接引出了对于傅里叶变换、复频域分析等工具的简洁表示（学过电路分析就知道，电路中的复频域分析全靠简洁，不简洁就没人用了，本来就只不过是线性微分方程求解），对于纯数学，复数域有很很好的性质来研究更抽象的问题。
4. 复数这么好用，我们当然想再扩下去，然后发现了复数已经够用了。哈密尔顿的四元数基本上除了搞三维空间几何有关问题的工作者（例如机器人学），已经基本没人用了，我们宁愿用SO3，这样形式上更"统一"。说起来我曾经读过一本民科的书研究什么"华数"，其实也是这个思路，只是这作者错误的理解了前人的研究还不自知，从而沦为了民科。这个思路真正走下去是克利福德代数。当然除了计算几何学这边之外也用的不广人使用。为啥四元数应用广不起来，就是因为他不是个域了……更别说代数闭域了。后面的克利福德代数也是如此
1. 说起来，SO3这样的东西以向量空间和近世代数作为基础。群论我们前面已经讲过阿贝尔和伽罗瓦了，搞向量空间的格拉斯曼也是同时代的人，比阿贝尔小几岁。格拉斯曼的工作虽然生前没有被重视，但是去世后没过多久就被挖出来，结合时代大潮有了很大的发展。
4. 小结，200年前那个时代的数学很可能发生了我们今天所说的"涌现"（emergence），而复数扮演了相当核心的角色，由此导致了题主会来问这个问题。复数之所以能扮演这个角色，就是因为，按照今天的话说，复数域是包含实数的代数闭域（即使复数不是，我们顺着这个思路下去，也会往前走，搞出来扮演复数今天所扮演角色的数学对象，而四元数往后没走下去，也是因为它不再是代数闭域）。因此，我写了之前那篇文章，粗略的回答了，"我们在数学中为什么要引入复数"。

总结，引入(现代意义上的)复数是为了获得包含实数的代数闭域。是个性质很好的计算工具，没必要追问它在物理世界中有啥实际对应物。理解复数的时候一定要注意，千万不能把对复数的隐喻理解当做复数本身，可以多换几个隐喻理解来加深对复数的认识。

下面来推荐几个答案，给读者参考。

• 杨树森的答案
• 这个答案讲明白了多项式的根对复分析的意义。这样的结论保证了我们能用傅里叶/拉普拉斯变换来处理应用数学和工程学问题。
• Fargues Marisa的答案
• 这个答案以一个非常高的视角提了复数的性质。然而他的这些内容远远超越了我的知识水平，我放在这里给读者参考。
• 胖胖小的答案
• 这个答案解释了一开始搞三次方程求根公式的时候，为什么需要考虑复数。他的答案里有两点我有其他看法，其他我和他看法基本一致。这两点是
• 只是复数的一个表示，实际上我们用 ，也能表示复数域。他的答案容易加深大家的误解，就是复数就是有 。不是的，复数是实系数多项式的根。表示可以换很多……所以这个方面的正确理解是反过来的，有i就是有虚数/复数。但是反过来不是。我这里还没算，他们搞三次方程求根公式的的时代，没几个现代意义下的数学符号，也没有我们现在说的i……胖胖小的答案本身就是以今天的知识在重述当年的内容了……而他所用的语言确是今天的语言，就已经隐含了我们今天的理解……
• 他说“至于其他答案提到的扩域，傅立叶，以至于后来发展出整门复分析理论啥的，那是在复数发明很久以后的事情了。”这句话有歧义。实际上搞三次方程所发现/发明的"复数"，并不是我们今天所说的复数……而我们之所以引入今天所说的复数，正是因为复数域是包含实数的代数闭域。
• inversioner的答案
• 她讲了如何理解数学上的"存在"。她的答案明显有直觉主义色彩(intuitionism)。我很喜欢她的答案，可能有些答主不同意，但是这确实是数学一贯以来的精神，可以追溯到古希腊时代，“为什么要写证明”，“什么是数学证明”，“什么是数学”。有需要的阅读材料的读者请留言。唯一就是别把自己的直观理解和所理解的对象搞混了就可以了。并且要知道自己选择了这个视角，会有什么代价，比如如果接受了复平面这个直觉，就没法思考黎曼面了……
• 橘子老君的答案
• 他对于搞三次方程求根公式那一段历史的叙事很棒，但是他对于概念史的理解还是混淆的，把当时的复数和今天的复数叠在了一起。这种“刻舟求剑”的情况其实是大家理解概念史方面经常出的问题。
• 他说"复数是人为规定的工具"，这时候要注意强调，如果我们把"宇宙真理"（如果存在的话）理解为某种简洁规则，那么反而是越简洁的表示所刻画的内容，越接近"真理"。这时候就不能强调复数是人为规定的工具了。换句话说，他这句话有隐含的数学哲学立场。
• 他说"没有不可替代性"，这句话也是有歧义的。确实包括量子力学都可以有不依赖于复数的形式，复数好用不意味着不可替代。但是复数所指代的数学对象在数学知识网络和数学发展方面所处的位置确实是不可替代的。这个位置一定得有个什么东西。
• 而且他的答案禁止转载，我个人很讨厌这种水平有限引起误解还用知识经济引流赚钱的行为。当然我完全支持知识经济赚钱，只是都已经要准备获得经济利益了，还是希望能更加细致的考证所述的观点。
• cvgmt的答案
• 他讲了我之前说的问题，就是用带有特殊乘法结构的向量空间 来表示复数。不过欧拉公式不是从这里来的（这里思维不清晰容易让读者理解成循环论证）。我们考虑用幂级数定义指数函数和三角函数，欧拉公式就很自然了。
• 无名氏的答案
• 我非常喜欢他对于复数和数学的理解。他说“复数本来是一个不存在的抽象的东西，但是数学研究的是抽象结构本身，只要一个对象有结构，就有对应的数学。”我不能更同意，这个明显就是克莱因+结构主义hhh。不过就是要区分，就是什么是"存在"，这是个哲学问题。数学家也没有统一的共识。目前比较主流的理解，就是无名氏所说的理解。读者也可以看出来我这个答案其实也"悬置"了"什么是存在"。读者感兴趣的话，可以参阅数学柏拉图主义、数学实在主义、唯名论方面的材料。
• drawsky的答案
• 他从代数扩域的视角分享了心得，有兴趣的读者可以参考一下。
• hope的答案
• 澄清了一元二次方程不需要引入复数。一元二次方程求解是中世纪伊斯兰数学家们的主要研究对象。求根公式后来在维达等人的工作后得出。那个时候没有考虑负数的平方根。
• 涉江采芙蓉的答案
• 他从经典控制理论的角度介绍了拉普拉斯变换的应用。实际上就是求解线性常系数微分方程。拉普拉斯变换让我们能以频域，这一视角来看待问题，把信号的变化理解为是固定频率震动微元的叠加，这样就能帮助我们直接研究控制系统的稳定性（啥样的输入量会让系统崩溃，啥样的输入量又会让系统进入稳态）。
• 其他一些错误观点
• 引入复数是为了旋转。错。复数的性质不是"旋转"带来的。而是他特殊的乘法结构。其他乘法结构也能有旋转的效果，这取决于你怎么定义旋转。
• 自然界不存在线，不存在最小粒子。错。这些问题我们不知道答案。也不知道能不能知道答案。不要读了几本说书人不靠谱的科普就能随便断言存在不存在了。