三角函数的起源是什么？为什么要引入三角函数？
我们今天所熟知的三角函数——正弦、余弦、正切等等——它们并非凭空出现，而是深深根植于人类对宇宙奥秘的探索和对现实世界精确测量的渴望之中。追溯它们的起源，我们仿佛能看到古代先贤们仰望星空、丈量大地的身影，感受他们为了理解世界而付出的智慧与努力。
起源的曙光：古巴比伦与古埃及的测量智慧
三角函数的早期萌芽可以追溯到公元前几千年，在古巴比伦和古埃及文明的测量实践中。这两个伟大的文明都高度重视天文学和地理测量。
古巴比伦： 他们对天体的运动规律有着浓厚的兴趣，并且发展了先进的数学体系，特别是用于天文观测和历法计算的知识。虽然没有直接使用我们今天所理解的“函数”概念，但他们通过对圆的分割和度量，已经具备了研究角度与长度之间关系的基础。例如，他们使用度作为角度的单位，这为后来的角度度量奠定了基础。他们也积累了大量的关于日出日落、星辰位置的观测数据，这些数据隐含有角度与时间（或者说是天体位置）的对应关系。
古埃及： 尼罗河的定期泛滥是古埃及文明的生命线，但也带来了土地边界的模糊。为了重新划分和测量土地，埃及人发展出了卓越的几何测量技术。他们能够精确地计算土地的面积，并且在建造宏伟的金字塔和神庙时，需要精确的角度控制和距离测量。例如，金字塔的斜坡角度计算就必然涉及到对直角三角形边长的比例关系的理解。他们使用的绳结测量法，在某种程度上也暗示了对特定长度比例（例如345直角三角形）的运用。
希腊的光辉：欧几里得与喜帕恰斯——系统化的开端
真正将三角学推向科学化、系统化方向的，是古希腊的伟大学者们。
欧几里得（约公元前300年）： 在他的巨著《几何原本》中，欧几里得虽然没有直接定义三角函数，但他对几何学的高度系统化阐述，为三角学的诞生打下了坚实的基础。他详细研究了三角形的性质、全等、相似等概念，这些都是理解角度与边长关系的基石。尤其值得一提的是，《几何原本》中关于圆的性质和弦长的讨论，例如如何计算弦长与圆的半径及圆心角的关系，已经非常接近正弦函数的概念了。
喜帕恰斯（约公元前190年–120年）： 被誉为“三角学的奠基人”，喜帕恰斯是第一个系统地研究三角形侧边和角度之间关系的人。他编写了第一本三角学著作《表的建造》（但已失传），其中包含了他编制的弦长表。弦长表是三角函数概念的直接前身。弦长是指圆周上两点之间的直线距离，而喜帕恰斯正是通过计算不同圆心角所对应的弦长，来研究角度与弦长之间的定量关系。他使用的弦长函数（chord function）可以理解为正弦函数的两倍（即弦长 = 2 R sin(θ/2)）。他对天文学贡献巨大，他的弦长表被用于计算天体的位置和运动，以及测量地面距离。
印度的贡献与伊斯兰世界的传承
在喜帕恰斯之后，三角学的发展在印度和伊斯兰世界得到了重要的继承和发展。
印度数学家（约公元5世纪起）： 印度数学家对三角学的发展做出了杰出的贡献。他们引入了正弦（Jya）的概念，并编制了更加精确的正弦表。与喜帕恰斯的弦长不同，印度数学家直接研究的是直角三角形中对边与斜边的比值。这已经非常接近我们今天对正弦的定义：sin(θ) = 对边/斜边。阿尔雅.跋多（Aryabhata）等数学家对三角函数的早期发展起到了关键作用。他们还引入了余弦（Kojya）、余切等概念，并开始研究三角函数的恒等式和求和公式。
伊斯兰世界的黄金时代（公元8世纪14世纪）： 伊斯兰学者们在数学领域取得了辉煌成就，他们积极翻译、研究和发展了希腊和印度的数学著作。阿布·瓦法·布兹詹尼（Abu alWafa' Buzjani）等学者对三角学进行了进一步的完善，他引入了正切（Tangent）和余切（Cotangent）的概念，并将其广泛应用于天文学和地理测量中。他还发展了正切表和使用正切表进行测量的方法。伊斯兰学者们还首次将三角学作为一个独立的数学分支进行研究，并撰写了许多关于三角学的专著。
欧洲的复兴与发展
随着阿拉伯科学知识传入欧洲，三角学也迎来了新的发展阶段。
欧洲学者（约15世纪起）： 欧洲的科学家们，如约翰内斯·穆勒（Regiomontanus），在15世纪对三角学进行了系统的整理和发展，他撰写了《论各种三角形》，将三角学作为一门独立的科学进行了详细的阐述，并引入了更多的三角函数名称。随着哥白尼日心说的提出，天文学进入了一个新的时代，对精确计算的需求更加迫切，三角学在其中扮演了至关重要的角色。
牛顿与莱布尼茨等： 在微积分革命之后，三角函数与代数和分析学紧密结合，其研究进入了新的层次。牛顿等人使用泰勒级数展开了三角函数，使其能够被精确计算和处理。这使得三角函数在物理学（如振动、波动、力学）等众多科学领域得到了广泛而深入的应用。
为什么要引入三角函数？
引入三角函数的根本原因在于人类对精确描述和预测自然现象的永恒追求。具体来说，可以归结为以下几个方面：
1. 天文学的需要：
计算天体位置和运动： 古代文明就对天空充满好奇，试图理解天体的运行规律。准确预测日食月食、行星轨迹以及导航都需要精确计算天体之间的角度和距离。三角函数提供了一种系统的方式来关联角度与天体间的距离和位置。
导航与地理测量： 在航海和陆地测量中，确定船只或地点的位置离不开对角度和距离的测量。三角函数能够帮助水手和测绘员通过已知的角度和一段已知距离来计算未知距离或角度。
2. 测量与建造的需要：
土地丈量与分割： 在古代，农业社会对土地的精确测量至关重要。尼罗河泛滥后的土地重新划分，以及城市规划、工程建设都需要精确的几何计算。三角函数能够解决复杂的土地面积、角度和边长计算问题。
建筑与工程： 在建造大型建筑（如金字塔、神庙、桥梁）时，需要精确的角度控制和结构计算。三角函数是确保建筑稳定性和精确性的数学工具。
3. 解决几何问题的需要：
三角形的性质研究： 三角形是最基本的几何图形，任何复杂的图形都可以分解为若干三角形。研究三角形的边长和角度之间的关系，能够解决更广泛的几何问题。三角函数就是这种关系的数学表达。
角度与长度的桥梁： 在几何学中，我们经常需要处理角度和长度这两个不同的概念。三角函数巧妙地将它们联系起来，使得我们可以通过已知角度计算长度，或通过已知长度计算角度。
4. 描述周期性现象的需要：
自然界的规律性： 许多自然现象具有周期性，例如昼夜更替、季节变化、潮汐涨落，甚至生物的生长周期。这些周期性现象都可以用正弦和余弦函数来优雅地描述和建模。例如，光的传播、声音的振动都可以用三角函数来表示。
总而言之，三角函数是人类智慧的结晶，它们起源于古人对星辰的仰望和对土地的丈量。引入三角函数，是为了用数学的语言去精确地描述我们所处的这个由角度、距离和周期性构成的世界，从而更好地理解它，改造它，并在这个过程中不断前进。它们是连接抽象数学与具体现实的重要纽带，至今仍在科学、工程和日常生活中发挥着不可替代的作用。
网友意见
其实就是为了研究三角形中角的大小与边的大小的关系，这个研究非常有用，在实际的测量中经常会运用到，因为经常会遇到测量角的大小比较简便，而测量长度则非常困难的情况，比如要测量一座山的高度，直接测量必须要从山顶放铅垂线下来，那可怎么放呢？而测量到山顶的仰角则要简单不少。这个问题的研究经过古代几何学家艰苦卓绝的努力，最后化为正弦定理和余弦定理两个终极答案，彻底解决了三角形边长与角的大小的关系。当然，这个答案不可能一蹴而就，所以一开始是以研究一些特殊的三角形开始的，三角形中比较特殊的无非是等腰、等边、直角三角形，等边三角形角是固定的不方便研究，而等腰三角形显然可以化为两个直角三角形来研究，那么最重要的就是直角三角形的问题了。
如果这个关系是个很简单的关系，那么最后也不会有什么三角函数，直接写一条公式就行了，问题在于三角函数一般情况下是无法通过四则运算、乘开方计算出来的，既然没有闭形式表达的方法，那么无可奈何之下就只能给它一个函数的名字了，然后研究这些函数的和差、乘积的公式，通过特殊角的三角函数间接计算出更多的角度的函数值，中间值则通过插值的方法得到，然后编制成表格来使用。这些都是测绘、航海等领域实际需要使用的技术。
推导三角函数公式和计算数值的时候，正弦和余弦使用的最广泛（因为正弦定理和余弦定理）必须要有，而且这两个通常都是成对出现；正切的和差公式里都只包含正切，而且其他三角函数都可以完全用正切来表示（万能公式），这样用正切来做数值计算会有一定的优势。另外三个则是这三个函数的倒数，提前算出来就省得做除法了。
后来发现三角函数还有广泛得多的使用领域，以及它和指数函数的关系，这是后话了。
谢邀。
楼上的朋友讲了三角函数的起源，我来补充一下三角函数引入的原因。
三角函数的理论基础是三角形的相似。我们知道相似三角形两条重要判定定理：
- 两三角形相似，那么它们的对应边成比例；
- 两三角形相似，那么它们的对应角相等。
这两个定理之间的关系可以用下面图示简记为：
角等 ⇔ 相似 ⇔ 边成比例
跨过中间环节，实际上就是：
角等 ⇔ 边成比例
也就是说，角和边是可以相互决定：我站在原地测量好角度就可以知道边的比例，而不需要跑去逐个测量再求比值。这么优秀的工具，为什么不开发一下？
由余弦定理，直角三角形比一般三角形的边角关系更简单：
- 角关系：有一个直角，其余两角互余；
- 边关系：三边关系满足勾股定理。
那么我们就用所有直角三角形的边角定义一整套关系，岂不美哉？
以上就是三角函数引入的思路。
就是用角度算距离啊。
六个三角函数，说白了就是直角三角形里面对于给定的角度，三边的比例，即对斜比正弦，邻斜比余弦，对邻比正切，邻对比余切，斜邻比正割，斜对比余割。
我不知道现在的数学教育是怎样的，就我上学的时候对于三角函数这一块的教学的确问题很大，既不告诉学生这些奇怪的函数名字怎么来的，也不告诉学生三角函数的用途，教学的主要目的就是背各种转换公式，什么和差化积和诱导公式。且不说这些公式通通都可以简单的通过三角函数的定义推导出来，这些公式如果不是做工科做工程几乎根本用不到。即便需要用记住了三角函数的定义不会这些公式照样是能算出结果的。这一点上真是非常的本末倒置。
三角函数最早的应用我估计和现在都是一样的，就是用来计算不可测量的长度或者距离。例如山的高度，河流宽度，地月地日距离等。
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