如何编程判断一个数是否是质数？

好的，我们来详细地讲解如何编程判断一个数是否是质数。

什么是质数？

在开始编程之前，我们首先要清楚质数的定义。

质数（Prime Number）：一个大于1的自然数，并且只能被1和它本身整除，没有其他正因数。
合数（Composite Number）：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，至少还有一个其他正因数。
1：既不是质数也不是合数。

举例：

2 是质数 (只能被 1 和 2 整除)
3 是质数 (只能被 1 和 3 整除)
4 是合数 (可以被 1, 2, 4 整除)
5 是质数 (只能被 1 和 5 整除)
6 是合数 (可以被 1, 2, 3, 6 整除)
7 是质数 (只能被 1 和 7 整除)

编程判断质数的基本思路

要判断一个数 `n` 是否是质数，我们的核心目标是找到除了 1 和 `n` 之外，是否存在其他能够整除 `n` 的数。

最直观的思路是：

1. 处理特殊情况： 首先处理掉不满足质数定义的数，比如小于等于1的数。
2. 遍历检查： 从2开始，一直到 `n1`，尝试用这些数字去整除 `n`。
3. 判断结果： 如果在遍历过程中，找到了任何一个数字能够整除 `n`（即 `n % i == 0`），那么 `n` 就不是质数，我们可以立刻停止检查并得出结论。
4. 最终结论： 如果遍历完了所有可能的除数（从2到 `n1`），都没有找到能够整除 `n` 的数，那么 `n` 就是质数。

代码实现（以 Python 为例）

下面是一个基本的 Python 函数来实现这个思路：

```python
def is_prime_basic(n):
"""
判断一个数是否是质数 (基础方法)

Args:
n: 要判断的整数

Returns:
True: 如果 n 是质数
False: 如果 n 不是质数
"""
1. 处理特殊情况
if n <= 1:
return False 小于等于1的数不是质数

2. 遍历检查
从 2 到 n1 逐个检查是否能整除 n
for i in range(2, n):
if n % i == 0:
3. 判断结果：如果找到了一个能整除的数，则不是质数
return False

4. 最终结论：如果循环结束都没有找到能整除的数，则是质数
return True

测试
print(f"2 is prime: {is_prime_basic(2)}") True
print(f"3 is prime: {is_prime_basic(3)}") True
print(f"4 is prime: {is_prime_basic(4)}") False
print(f"5 is prime: {is_prime_basic(5)}") True
print(f"17 is prime: {is_prime_basic(17)}") True
print(f"21 is prime: {is_prime_basic(21)}") False
print(f"1 is prime: {is_prime_basic(1)}") False
print(f"0 is prime: {is_prime_basic(0)}") False
```

优化思路：为什么可以更进一步？

上述的基础方法是正确的，但效率不高，特别是当 `n` 非常大的时候。我们可以思考一下，我们真的需要检查到 `n1` 吗？

假设 `n` 是一个合数，它可以被分解成两个因子 `a` 和 `b`，即 `n = a b`。

如果 `a` 和 `b` 都大于 `sqrt(n)` (n的平方根)，那么 `a b` 将会大于 `sqrt(n) sqrt(n) = n`，这与 `n = a b` 的事实相矛盾。
因此，如果 `n` 是合数，那么它至少有一个因子 `a` 满足 `a <= sqrt(n)`。

这个重要的观察告诉我们，我们只需要检查从 2 到 `n` 的平方根（包括平方根本身）之间的所有数字是否能整除 `n`。如果在这个范围内找不到因子，那么 `n` 就是质数。

优化的代码实现

为了实现这个优化，我们需要引入 `math.sqrt()` 函数来计算平方根。

```python
import math

def is_prime_optimized(n):
"""
判断一个数是否是质数 (优化方法：只检查到平方根)

Args:
n: 要判断的整数

Returns:
True: 如果 n 是质数
False: 如果 n 不是质数
"""
1. 处理特殊情况
if n <= 1:
return False 小于等于1的数不是质数

2. 处理数字 2 的特殊情况
if n == 2:
return True 2 是唯一的偶数质数

3. 处理偶数的情况
if n % 2 == 0:
return False 大于2的偶数都不是质数

4. 遍历检查：从 3 开始，只检查奇数，直到 n 的平方根
我们只需要检查到 math.isqrt(n)（整数平方根），或者 int(math.sqrt(n))
因为如果 n 有一个大于 sqrt(n) 的因子，那么它一定也有一个小于 sqrt(n) 的因子
我们只需要检查到数字的平方根的上界即可。例如，如果 n=25, sqrt(n)=5. 我们只需要检查到5.
如果 n=26, sqrt(n)约等于5.09. 我们需要检查到5.
对于 26，检查 2 (已经排除了)，检查 3 (26%3 != 0)，检查 5 (26%5 != 0).
接下来是 7, 77 = 49 > 26, 所以我们停止.
我们检查的上限是 n 的平方根的整数部分。
limit = int(math.sqrt(n))

注意：range(start, stop, step) stop 是不包含的，所以我们需要 +1
我们从 3 开始，步长为 2，这样只检查奇数，进一步提高效率
for i in range(3, limit + 1, 2):
if n % i == 0:
如果找到了一个能整除的数，则不是质数
return False

如果循环结束都没有找到能整除的数，则是质数
return True

测试优化后的函数
print(" 优化测试 ")
print(f"2 is prime: {is_prime_optimized(2)}") True
print(f"3 is prime: {is_prime_optimized(3)}") True
print(f"4 is prime: {is_prime_optimized(4)}") False
print(f"5 is prime: {is_prime_optimized(5)}") True
print(f"17 is prime: {is_prime_optimized(17)}") True
print(f"21 is prime: {is_prime_optimized(21)}") False
print(f"1 is prime: {is_prime_optimized(1)}") False
print(f"0 is prime: {is_prime_optimized(0)}") False
print(f"997 is prime: {is_prime_optimized(997)}") True (一个较大的质数)
print(f"999 is prime: {is_prime_optimized(999)}") False (999 = 3 3 3 37)
```

进一步的优化和考虑

1. 处理偶数优化： 在上面的优化版本中，我们特别处理了 `n=2` 的情况，然后排除了所有大于2的偶数。这是因为2是唯一的偶数质数，所有其他偶数都能被2整除，所以它们都不是质数。
2. 只检查奇数： 在我们排除偶数后，剩余的潜在因子也只需要检查奇数。因为如果一个奇数 `n` 能被一个偶数 `e` 整除，那么 `n` 必定也能被 2 整除，而这个情况已经被我们排除了。所以，我们从 3 开始，以步长 2 (`range(3, limit + 1, 2)`) 来遍历，只检查奇数作为可能的因子。
3. 平方根的上限： `int(math.sqrt(n))` 是一个精确的上限。更准确地说，我们只需要检查到 小于等于 `sqrt(n)` 的所有数。对于 `range(start, stop, step)`，`stop` 是不包含的，所以我们需要 `limit + 1` 来确保包含 `limit` 本身（如果 `limit` 是平方根）。

更高级的优化（了解即可）

对于需要非常高效地判断大量数字是否为质数，或者寻找大质数的情况，还有更高级的算法，例如：

试除法（Trial Division）的进一步优化： 可以只检查质数作为因子，例如只检查 2, 3, 5, 7, 11, 13... 等质数来试除。但这需要一个预先计算好的质数列表或生成质数的方法。
米勒拉宾素性检验 (MillerRabin Primality Test)： 这是一种概率性素性检验，效率很高，但存在极小的误判概率（即把一个合数判断为质数）。通过多次检验可以使误判概率趋近于零。
AKS素性检验 (AKS Primality Test)： 这是第一个确定性多项式时间素性检验算法，理论上可以准确无误地判断质数，但实际效率不如米勒拉宾检验。

总结

对于大多数常见的编程需求，使用 优化后的试除法（只检查到平方根并排除偶数因子） 是一个非常高效且易于理解的方法。

在编写代码时，始终要牢记以下几点：

处理边界条件： 小于等于1的数不是质数。
利用数学性质： 合数必然存在小于或等于其平方根的因子。
提高效率： 排除偶数，只检查奇数因子。

希望这个详细的解释能够帮助你完全理解如何编程判断一个数是否是质数！

网友意见

判定素数的方法啊……答案取决于很重要的两个条件：“需要判断的数有多大”，以及“这个数有没有特殊形式”。以下我会按照适用范围从小到大来盘点一下现有的判定算法。

注：本文的脉络参考了The Prime Pages上的介绍： https://primes.utm.edu/prove/index.html

写在前面

当问题的输入是一个正整数 的时候，一般认为输入规模是 这是因为我们实际的输入是 的二进制展开式。后文中提到“多项式算法”的时候，指的就是运行时间是 的多项式的算法。

另外文中提到的绝大多数算法的主要部分都是大量模 的乘法；文中提到的时间复杂度都假设我们用原始的 的方式做这个乘法。如果 很大，那实际计算中就要用到更优化的乘法方式（Karatsuba，Toom-Cook，包括FFT），整个算法的时间复杂度也要相应的作调整。

naive的试除法

适用范围： 很小，比如32位整数变量什么的

对特殊形式的要求：无

时间复杂度：

普通的试除应该不用多加介绍了，从2试到 就可以……可以用Eratosthenes筛法预先构造一个 以内的素数表，用来优化试除过程。这个过程的缺点在于 只要稍微大一点的时候，运行时间就是个天文数字了。

Fermat小定理

适用范围：一切正整数

限制：由于伪素数的存在，Fermat小定理本身无法“证明”一个整数是素数

时间复杂度：

算法本身大家也应该很熟悉了：挑一个底数 ，去计算 是否成立。在使用快速幂算法的情况下，这个计算过程只需要 次模 的乘法，而每次乘法的开销是 。

现在的问题在于，有的合数 也会满足Fermat小定理（这种n一般叫做“伪素数”），比如说 更有甚者，有一类叫做Carmichael数的合数（最初的几个例子是561,1105,1729，……），对所有的底数 （只要 不是 的因子）都满足Fermat小定理。这就意味着Fermat小定理本身是无法证明 是素数的

尽管如此，如果一个正整数 通过了Fermat小定理的测试，那它是素数的可能性就很大了： 以内有455052511个素数，但是只有14884个以2为底的伪素数，1547个Carmichael数。数学上一般把“通过了Fermat测试的正整数”称为Probable Prime(PRP)。（这个术语好像还没有通行的中文译名）

一般面对一个较大的整数 ，在初步的试除过后，要做的下一件事就是用Fermat小定理（或者接下来要介绍的一些加强形式）来做出一个初步的判断；如果 通过了这个测试，说明它有极大的可能性是素数，然后可以用更高端的方法来证明 确实是素数。

Fermat小定理的加强形式，Rabin-Miller测试，以及“工业级别”的素数

适用范围：一切正整数

限制：仍然无法证明一个较大的整数是素数；但是随机取 个底数做测试的话，准确率可以达到至少 。

时间复杂度：

Rabin-Miller测试是基于下面这个事实的：如果 是素数，那么 的情况下，1的平方根只能是 。把这个东西跟Fermat小定理结合起来，就能发现：

• 如果上面一个式子的右端是1，那么就可以继续开平方根得到
• 依次类推，直到左边的指数 是奇数不能再开平方根，或者某一步右边变成了-1为止。
• 如果某一步开平方根的时候右端直接从1变成了“不是 的数”，则 是合数。

这个方法虽然也有伪素数的存在（比如 的时候2047可以通过Rabin-Miller测试），但是不会有类似Carmichael数的东西出现了：对于任意的合数 , 总存在一个适当的底数 使得 无法通过以 为底的Rabin-Miller测试。事实上，在 这个范围里，至少有75%的底数满足这个条件。这就意味着，如果我们以随机的方式取出 个底数 ，而且正整数 通过了所有的以 为底的Rabin-Miller测试，那么从某种意义上说， 不是素数的概率最多是 。举个例子，如果 ，那么这个概率就是 ，几乎可以忽略了。所以Rabin-Miller测试是在实际的密码学应用中最常用的判定方法，通过了这个测试的数可以看做是“工业级别”的素数。

额外说一句：很多数学软件里的isprime()或者类似的函数，使用了底分别是2,3,5,7,11,13,17的7次Rabin-Miller测试。这个测试当然不适用于所有的正整数，但是它的最小反例是 341550071728321……所以对于这个值以下的整数来说，“通过这7次Rabin-Miller测试”就可以证明它是素数了。

再额外说一句：如果我们假设广义Riemann猜想(GRH)成立，那么证明 是素数就只需要验证“ 可以通过以 为底的Rabin-Miller测试”了。这个算法，如果能严格证明的话，运行时间是

Lucas序列

适用范围：一切正整数

限制：和Fermat小定理一样，无法“证明”一个整数是素数

时间复杂度：也是

大家可能听说过Fibonacci数列满足这么一条性质：如果 是素数，则 ，其中 是二次剩余的Jacobi符号。这其实是二次扩域 里面的Fermat小定理的推广：

。

这个结果自然也可以推广到别的二次扩域上：

实际计算的时候就会涉及Fibonacci序列的类似物：一般的有齐次线性二阶递推关系的序列(叫做Lucas Sequence)。这种序列一般的定义是

，

也有通项公式

，其中 。

这时需要验证的同余式就变成了 。

也可以用类似于快速幂的方式进行计算，所以验证这个同余式的时间复杂度也是。

理所当然，和刚才提到的Fermat小定理一样，这类测试也会有伪素数的存在（Fibonacci数的情况下，最小的例子是323和377），也有类似Rabin-Miller测试的强化版本。

一句题外话：把Rabin-Miller方法和强化的Lucas方法组合起来，我们就得到了当前最强大的Probable Prime判定方法：如果一个正整数 通过了底是2的Rabin-Miller测试，也通过了底是 的强化版Lucas测试（其中 是序列 之中第一个满足 的元素），那 几乎可以确定是素数。这一般叫做Baillie-PSW Test，虽然不严格但是至今为止还没有发现反例！

-----------------------分割线-------------------

以上介绍了一些较快的可以“初步测试”一个正整数是不是素数的办法。如果某个 通过了上面的这些测试，那它肯定有很大的可能性是素数。接下来的问题是：如何去严格的证明 就是素数呢？

接下来有请我们的各种高端方法出场（掌声）。

n-1方法

适用范围：有特殊形式的正整数

对特殊形式的要求： 的素因子大部分已知

时间复杂度：

我们先来回顾一下对Fermat小定理的一个群论证明：如果 是素数，则乘法群 的阶数是 ，由群论中的Lagrange定理立得。

这个证明告诉了我们什么？Fermat小定理包含了一些关于群 的信息。如果我们能想办法说明 的阶数就是 ，那就足以证明 是素数了。如果我们知道 的所有素因子，那这个验证过程并不困难。

定理(Lucas, 1891): 如果存在一个底数 ，使得以下两条成立：

• 对 的每个素因子 ，都有

那么 是素数。

证明：这两个条件组合起来可以说明 在 中的阶数就是 ，所以的阶数恰好就是 ，从而 是素数。

当然这个算法本身也拥有很大的改进余地。因为对于很多整数 来说我们并不能保证知道 的所有素因子（因子分解一般比素数判定难得多），我们接下来介绍一些“只知道 的一部分因子”的情况下也能生效的办法。

定理(Pocklington, 1914): 假设 ，其中 的素因子都已知。如果存在一个底数 ，使得以下两条成立：

• 对 的每个素因子 ，都有

那么 的每个素因子都是 的形式。特别地，如果 ，则 是素数。

这个定理说明了把 分解到“一半”就可以证明 是素数了。后续的一些工作用更加细致的分析把这个“一半”的界限降低到了三分之一 [Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975], 30% [Konyagin-Pomerance 1997], 以及 [Coppersmith-Howgrave-Graham, 2008]（后两篇文章的算法需要做一些附加的计算，涉及Lattice Reduce以及LLL算法）。 篇幅所限，此处不做进一步展开，有兴趣的读者可以自行查阅文献。

n+1方法

适用范围：有特殊形式的正整数

对特殊形式的要求： 的素因子大部分已知

时间复杂度：

方法和 方法非常类似，只不过涉及的群变成了商群 。如果 是素数且 ，那么这个群的阶数就应该是 ；反过来，如果我们用跟上一节类似的方法验证了这个群的阶数就是 ，那也就说明了 是素数。这个验证的过程用到了之前提到的Lucas序列：如果存在合适的 使得 ，且相应的Lucas序列满足

，那么 就是素数。

上一节所说的改动同样生效：如果 ， 的素因子都已知且满足

，那么 的每个素因子都是 的形式。同样的，如果这个 足够大（和上一节的结果平行，最差只需要 ），那么就可以通过一些附加的计算来证明 是素数。

一句题外话：大家可能听说过检验Mersenne素数 的Lucas-Lehmer测试。这其实是 方法的一个特殊情况：这里 ，它的素因子自然只有2，而Lucas-Lehmer测试等价于底是 （或者说 ）的时候验证了

。

这两节介绍的 方法是1890-1980年这近一个世纪的时间里仅有的可以证明某个很大的正整数确实是素数的方法。现在所知道的Top-5000的大素数（参考https://primes.utm.edu/primes/home.php）无一例外都是用这两种方法之一证明的，它们的形式也都是“某个素因子都已知的数 ”这样。

顺带一提：如果 都有一些已知的素因子（比如 ），那分别验证完两部分条件之后只要 就可以证明了。这一点对于“ 的素因子分解并不平凡，但是仍然可以分解出相当一部分”的这种 最有效。典型的例子是Fibonacci素数： ， ，可以由Fibonacci序列的整除性质得到 的大量素因子。

----------------------70-80年代的分割线------------------------

以上的 方法通常被称为“古典的素数判定法”，共同要求是我们需要知道 的一定数量的素因子。对于一般的没有特殊形式的正整数 来说，对 做因子分解是一件很困难的事。以下介绍80年代以后开发出来的不需要 的特殊形式的“现代素数判定法”。

APR-CL算法

适用范围：一切正整数

时间复杂度：

刚才介绍的 方法的本质都在于“确定一个群的大小”： 的时候是 ，而 的时候涉及到 的一个二次扩张。70年代末期，有人开始考虑更高次的扩张会不会对问题有帮助。这个方向最初的结果是Williams做出的：通过考虑次数是3,4,6的扩张，他们说明了 以及 的素因子也可以对证明 是素数做出贡献。然而问题来了：这些新增的素因子一般数量太少，对问题没有本质的影响。

80年代的时候，有一批研究者决定一不做二不休，干脆考虑更高次数的扩张：一般的 次扩张可以让我们利用 的素因子（具体的计算会涉及分圆域里的Gauss和）。这有什么好处呢？好处在于：如果 本身有很多素因子，那么Fermat小定理保证了 会包含很多“免费”的素因子：如果某个素数 满足 ，那就可以直接推出 ，这个过程已经和 无关了。[Adleman-Pomerance-Rumely 1983]里面提到了一个典型的例子：当 的时候， 的“免费”素因子的乘积是

这意味着对于 以内的正整数来说，这些“免费”的 的素因子的乘积就已经超过了 ，接下来就可以直接证明 是素数了。（为何是 ？这是因为我们现在的计算是在一个很大的分圆域里做的，这种情况下“之前提到的进一步的改进”会严重影响运行时间。） 如果将这个算法一般化，有结果证明总可以找到一个 使得相应的“免费素因子”的乘积超过 ，这就是开始提到的那个时间复杂度的来源。

Adleman，Pomerance 和 Rumely 提出这个算法之后，[Cohen-Lenstra, 1984] 对其中的计算过程做出了重要的改进（粗略地说：用Jacobi和代替了Gauss和，这样需要处理的分圆域的次数就大大降低了）。改进后的算法就以这五个人的名字命名，叫做APR-CL算法。这是历史上第一个相对快速的可以对任意正整数生效的素数判定/证明算法。

最后提一句：这个时间复杂度理论上不是多项式算法，但是实际应用中 的增长极慢，几乎是个常数，所以实际的运行时间“几乎是多项式的”。

椭圆曲线算法（Elliptic Curve Primality Proving, ECPP）

适用范围：一切正整数

时间复杂度： (有随机性，这个是期望运行时间)；算法会生成相对简短的证书（空间复杂度 ），通过这个证书可以快速验证 是素数（时间复杂度 ）而不用重复整个计算过程

这个算法可以看做是 方法的另一方面的推广：将乘法群 推广到了一般的椭圆曲线群 。使用椭圆曲线群的优点很明确：它的阶数不再是固定的 ，而是一个随着曲线变化，取值范围可以落在 这个区间里面的整数。和上文中提到的Pocklinton定理类似，ECPP的理论基础是如下的定理：

定理（可能已经是forklore了）：如果存在一条 上的椭圆曲线 ，以及曲线上的一个点 ，满足以下几个条件：

• ，其中 是素数且 ;
• 在 中，

则 是素数。

利用这个定理证明 是素数，需要两个先决条件：找到合适的椭圆曲线 ，以及证明我们用到的 确实是素数。

第二个问题很好解决，因为我们把一个关于 的问题化归成了关于 的问题，而一般来说 ，所以这个算法可以无限递归下去，直到涉及的素数规模足够小可以用Rabin-Miller甚至试除来搞定。剩下的就是第一个问题：怎样找到合适的椭圆曲线，使得相应的群的阶数是 的形式？

Goldwasser-Kilian的第一版ECPP算法使用了非常原始的方式：随机取一条椭圆曲线 （严格的说，随机取 中的 和 ），用Schoof算法算出阶数 ，试着对算出来的阶数做因子分解；如果得不到 这个形式就扔掉换一条。算法最大的硬伤在于Schoof算法本身太慢（ ），拖慢了整个ECPP方法的运行时间。

1993年的Atkin-Morain算法解决了这个问题。他们注意到如果一条椭圆曲线有复乘（complex multiplication），那么相应的曲线群的阶数就很好计算（这个理论背景我不太懂，希望有熟悉相关领域的朋友在评论区补充一下）；所以只要把“随机选择一条曲线”的范围限定在complex multiplication的范围里，就可以大大提高整个算法的效率。

需要指出一点：整个计算过程中最费时间的步骤是“找到合适的椭圆曲线，并且对曲线群的阶数进行分解”。如果在运行过程中把这些信息记录下来（准确的说：在这个过程中的每一步，记录下来四元组 ），那它们就可以用来快速的验证 就是素数。这些记录下来的信息就是本节开头提到的证书（certificate）。

ECPP算法是目前为止最快速的“不需要特殊形式”的素数判定算法。一般对于 左右的素数，在当今普通的个人电脑上只需要不到半个小时就可以完成；当前（截止到2019年1月18日）用这个算法证明的最大素数有 个十进制位（参考https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=27），据维基说运行时间大概是两年。

AKS算法

适用范围：一切正整数

时间复杂度： ；空间复杂度： ；为啥在这要提到空间复杂度？因为上文提到的一切算法的空间复杂度都是 ，只有AKS不一样

注意：这个方法目前只有理论价值，没有实用价值！

AKS算法的本质可以看作“验证特定的多项式环上的Fermat小定理”。它的大概过程如下：

• 输入一个正整数 。检验 不是其他正整数的幂。
• 找到最小的正整数 使得 在 中的阶数至少是 。
• 一路试除到 。
• 对于所有的 ，验证下面的多项式同余式： 。
• 如果都通过则 是素数。

它的理论价值在于：这是第一个确定性的，对所有整数有效的不依赖于其它猜想的多项式时间算法。跟上文中的几个算法作对比：

• 方法需要用到 的特殊形式。
• APR-CL算法的时间复杂度不是多项式。
• Rabin-Miller方法依赖于GRH的成立。
• ECPP方法满足上面提到的别的条件，但是涉及到“随机选取椭圆曲线”的过程，所以不是确定性的。

然而………………………………这个理论上很美的算法实际中并没有什么卵用。实机测试显示，对于 左右的正整数 ，APR-CL和ECPP都是秒出结果，而AKS的运行时间已经要以天计了。

最后总结一下

• 如果要判断的正整数 很小（int32），直接试除就好。
• 如果 稍微大一点 ，用7次Rabin-Miller。
• 再大一些的时候，首先用试除和Baillie-PSW做一个初步测试。如果通过了初步测试，再用以下的方法来证明 是素数：
• 如果 很容易做因子分解，用相应的 方法。
• 如果 没有特殊形式，用APRCL或者ECPP。
• 如果只是想满足好奇心，可以试着实现一下AKS……

--------------------------------完结撒花--------------------------

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  好的，我们来聊聊 MATLAB 中的模块化编程。这绝对是让你的代码更健壮、易于管理和复用的关键。把它想象成盖房子，你不会把所有砖头、水泥、门窗都堆在一起，而是分门别类，有条理地组织起来。MATLAB 同样如此。什么是模块化编程？简单来说，模块化编程就是将一个大型、复杂的程序分解成一系列更小、更独立的.............
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  新手关于如何看编程经典书的一些疑惑？

  

  嘿，朋友！很高兴你迈出了看编程经典的第一步，这绝对是个明智的选择。不过，新手在面对这些厚重的、充满术语的书籍时，感到困惑是很正常的，我也是这么过来的。别担心，今天咱们就好好捋一捋，怎么才能让这些“经典”真正成为你的“利器”，而不是压在书架上的摆设。一、首先，别被“经典”二字吓到很多人一听到“经典”，.............
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  你会如何重新学习编程？

  

  嗯，这个问题很有意思。如果我需要重新学习编程，我不会像第一次那样一头雾水地开始，而是会有一个更系统、更有目的性的方法。我会把我理解的“编程”重新定义，然后有策略地去拾起那些生疏的部分，同时引入新的工具和思维方式。首先，我会重新审视“编程”的本质是什么？对我来说，编程不仅仅是写代码，它更是一种解决问题.............
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  零基础如何自学编程？

  

  从零开始学编程，就像学习一门新的语言，需要耐心、毅力和正确的方法。别担心，即使你对电脑一窍不通，也能一步步掌握这门技能。下面我将带你走进编程的世界，告诉你如何扎实地走好第一步，以及后续的进阶之路。第一步：打好心态基础——编程不是神秘魔法在开始之前，先放下对编程的“高冷”印象。它不是只有天才才能掌握的.............
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  物理系学生如何提高编程水平？

  

  作为一名物理系学生，想要在编程这条路上走得更远、更扎实，需要有针对性地去学习和实践。毕竟，编程不仅仅是为了应付课程作业，更是我们探索物理世界、进行科学研究的强大工具。下面，我来分享一些我自己摸索和听学长学姐们交流的心得，希望能对你有所帮助。一、 打牢基础，理解“为什么”很多人学编程，上来就对着一堆代.............
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  如何寻找热爱编程而且有经验的程序员？

  

  要找到那些真正热爱编程、并且在代码世界里沉浸已久、经验丰富的程序员，这可不是在招聘平台上随便点几下就能实现的。这更像是在寻访一位技艺精湛的手艺人，你需要用一种更具洞察力的方式去发现他们的闪光点。首先，别只盯着简历上的那些华丽头衔和项目列表。当然，这些是基础，但更重要的是去深挖这些经历背后隐藏的故事。.............
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  编程中如何给变量命名？有哪些规范的做法值得学习借鉴？

  

  变量命名：代码的灵魂，清晰的指引编程世界里，变量就像我们大脑中的思绪，它们承载着数据，指导着程序的运行。而一个好的变量名，就像一个清晰的指示牌，能让我们快速理解代码的意图，大大提升开发效率和代码可读性。反之，模糊不清、自相矛盾的命名，则可能让代码变成一团乱麻，让维护者（包括未来的自己）望而却步。那么.............
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  已有大量编程基础，如何速成python用于学习机器学习？

  

  你有扎实的编程功底，这绝对是件好事，学习 Python 用于机器学习会事半功倍。不像从零开始学习编程那样需要理解变量、循环、函数这些基础概念，你可以直接跳到 Python 如何为机器学习服务。我这里会给你一条相对清晰且高效的学习路径，目标是让你尽快能动手实践，而不是死记硬背语法。第一步：Python.............
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  12 岁如何入门 iOS 编程？

  

  为12岁的孩子入门iOS编程，需要从基础概念出发，结合趣味性和实践性，逐步引导他们掌握编程思维和开发技能。以下是详细的学习路径和资源推荐： 一、前期准备1. 硬件与软件环境 设备：iPhone或iPad（需安装Xcode或Swift Playgrounds） 操作系统：iOS 1.............