蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？
蒙提霍尔问题，这个曾经让无数人为之抓狂的概率难题，其实一点也不神秘，真相往往就隐藏在最不经意的地方。它的名字来源于一个叫做“Let's Make a Deal”的电视游戏节目，主持人就是蒙提·霍尔。让我们一步步拆解它，看看为什么大多数人第一次听到答案时会觉得不可思议，但细究之下却又无比清晰。
故事背景
想象一下，你参加了一个游戏节目，主持人蒙提·霍尔站在你面前，身旁是三扇紧闭的门。你知道，这三扇门后面，其中一扇藏着一辆崭新的汽车，而另外两扇门后面则是山羊。你的目标是赢得汽车。
游戏规则是这样的：
1. 你选择一扇门。 假设你选择了1号门。
2. 主持人蒙提·霍尔，他知道哪扇门后面是汽车，他会打开剩下两扇门中的一扇，而且这一扇门后面肯定是一只山羊。 例如，如果你选了1号门，而汽车在3号门，山羊在2号门，那么蒙提一定会打开2号门。如果汽车在2号门，山羊在3号门，他会打开3号门。如果汽车在你选的1号门后面，那么他会在2号门和3号门中随机打开一个，因为这两扇门后面都是山羊。
3. 在主持人打开了一扇有山羊的门之后，他会问你一个关键的问题： “你现在要坚持你最初的选择，还是愿意换成另一扇未被打开的门？”
直觉的陷阱
大多数人在听到这个问题时，脑海里会立刻产生一个直觉：既然已经有一扇门被排除了（打开了山羊），那么剩下的两扇未被打开的门，汽车就在其中的可能性应该是各占一半（50%）。所以，他们认为换不换门，得到汽车的概率都是一样的，都是50%。
然而，这个直觉恰恰是蒙提霍尔问题最狡猾的地方。事实是，换门会让你赢得汽车的概率从1/3大幅提升到2/3！
为什么换门更好？详细解析
让我们来剥开这层直觉的迷雾，用概率来严谨地分析一下：
情况一：你最初选择的门后面就是汽车。
你选择1号门，汽车恰好在1号门后面。那么2号门和3号门后面都是山羊。
主持人为了遵守规则，必须打开剩下两扇门中的一扇（2号或3号），并且后面一定有山羊。他会随机打开其中一扇（比如2号门）。
现在剩下你选择的1号门和未被打开的3号门。
如果你坚持原来的选择（1号门），你就赢得了汽车。
如果你选择换门（换成3号门），你就会得到山羊。
在这种情况下，你最初选到汽车的概率是1/3。如果赢了，你换门就会输。
情况二：你最初选择的门后面是山羊。
你选择1号门，但1号门后面是山羊。那么汽车一定在另外两扇门（2号或3号）中的一扇后面。
为了演示，我们假设汽车在3号门，而2号门后面是另一只山羊。
主持人知道汽车在哪儿，所以他不能打开3号门。他必须打开剩下的2号门，因为那里肯定有山羊。
现在剩下你选择的1号门（你最初选的，是山羊）和未被打开的3号门（那里有汽车）。
如果你坚持原来的选择（1号门），你就会得到山羊。
如果你选择换门（换成3号门），你就赢得了汽车。
在这种情况下，你最初选到山羊的概率是2/3。而只要你最初选的是山羊，主持人 必须 打开另一扇带山羊的门，留下带汽车的门给你换。所以，只要你换门，你 一定 能赢得汽车！
总结一下概率：
你不换门： 你赢得汽车的唯一机会是你最初就选中了汽车。这个概率是 1/3。
你换门： 你赢得汽车的机会是你最初选中了山羊。因为你最初选中山羊的概率是2/3，并且主持人会帮你排除掉另一只山羊，所以换门就等于选择了那只你最初没选中的、但被主持人留下的门，而这扇门有2/3的概率藏着汽车。
换门策略的逻辑拆解（另一种思考方式）
我们可以这样想：
在你第一次选择了一扇门后（例如1号门），有三种可能性：
1. 你选对了（汽车在1号门）：概率 1/3。
在这种情况下，主持人会随机打开2号或3号门（都是山羊）。如果你换门，你就会输。
2. 你选错了（汽车在2号门）：概率 1/3。
主持人知道汽车在2号门，所以他 必须 打开3号门（因为3号门是山羊）。此时，剩下你选的1号门（山羊）和2号门（汽车）。如果你换门（换到2号门），你就赢。
3. 你选错了（汽车在3号门）：概率 1/3。
主持人知道汽车在3号门，所以他 必须 打开2号门（因为2号门是山羊）。此时，剩下你选的1号门（山羊）和3号门（汽车）。如果你换门（换到3号门），你就赢。
看，在后两种情况（总共2/3的概率）下，只要你换门，你就赢了！而只有在你一开始就选对（1/3的概率）的情况下，换门才会让你输。
所以，换门意味着你从一开始就赌“你选对了但主持人帮你排除了另一只山羊”的情况，这相当于将你最初1/3的几率“合并”到了另一扇未打开的门上。主持人打开山羊门的这个行为，并不是一个简单的排除，而是 提供了关于汽车位置的额外信息。他帮你过滤掉了一只山羊，并且这个过滤行为本身就倾向于把汽车留在那扇你没选但他也未打开的门上。
关键点总结：
主持人不是随机打开门： 他知道汽车在哪，并且故意打开一扇有山羊的门。
换门让你抓住那2/3的概率： 你一开始选到山羊的概率是2/3，而换门让你抓住的就是这2/3的概率。
第一次听到这个解释，大脑确实需要一点时间来消化。但只要你愿意放下直觉，用概率的角度去思考，就会发现蒙提霍尔问题的答案既简单又深刻。下次你遇到这个难题时，请记住，大胆地换门吧，你的胜算会翻倍！
故事背景
想象一下，你参加了一个游戏节目，主持人蒙提·霍尔站在你面前，身旁是三扇紧闭的门。你知道，这三扇门后面，其中一扇藏着一辆崭新的汽车，而另外两扇门后面则是山羊。你的目标是赢得汽车。
游戏规则是这样的：
1. 你选择一扇门。 假设你选择了1号门。
2. 主持人蒙提·霍尔，他知道哪扇门后面是汽车，他会打开剩下两扇门中的一扇，而且这一扇门后面肯定是一只山羊。 例如，如果你选了1号门，而汽车在3号门，山羊在2号门，那么蒙提一定会打开2号门。如果汽车在2号门，山羊在3号门，他会打开3号门。如果汽车在你选的1号门后面，那么他会在2号门和3号门中随机打开一个，因为这两扇门后面都是山羊。
3. 在主持人打开了一扇有山羊的门之后，他会问你一个关键的问题： “你现在要坚持你最初的选择，还是愿意换成另一扇未被打开的门？”
直觉的陷阱
大多数人在听到这个问题时，脑海里会立刻产生一个直觉：既然已经有一扇门被排除了（打开了山羊），那么剩下的两扇未被打开的门，汽车就在其中的可能性应该是各占一半（50%）。所以，他们认为换不换门，得到汽车的概率都是一样的，都是50%。
然而，这个直觉恰恰是蒙提霍尔问题最狡猾的地方。事实是，换门会让你赢得汽车的概率从1/3大幅提升到2/3！
为什么换门更好？详细解析
让我们来剥开这层直觉的迷雾，用概率来严谨地分析一下：
情况一：你最初选择的门后面就是汽车。
你选择1号门，汽车恰好在1号门后面。那么2号门和3号门后面都是山羊。
主持人为了遵守规则，必须打开剩下两扇门中的一扇（2号或3号），并且后面一定有山羊。他会随机打开其中一扇（比如2号门）。
现在剩下你选择的1号门和未被打开的3号门。
如果你坚持原来的选择（1号门），你就赢得了汽车。
如果你选择换门（换成3号门），你就会得到山羊。
在这种情况下，你最初选到汽车的概率是1/3。如果赢了，你换门就会输。
情况二：你最初选择的门后面是山羊。
你选择1号门，但1号门后面是山羊。那么汽车一定在另外两扇门（2号或3号）中的一扇后面。
为了演示，我们假设汽车在3号门，而2号门后面是另一只山羊。
主持人知道汽车在哪儿，所以他不能打开3号门。他必须打开剩下的2号门，因为那里肯定有山羊。
现在剩下你选择的1号门（你最初选的，是山羊）和未被打开的3号门（那里有汽车）。
如果你坚持原来的选择（1号门），你就会得到山羊。
如果你选择换门（换成3号门），你就赢得了汽车。
在这种情况下，你最初选到山羊的概率是2/3。而只要你最初选的是山羊，主持人 必须 打开另一扇带山羊的门，留下带汽车的门给你换。所以，只要你换门，你 一定 能赢得汽车！
总结一下概率：
你不换门： 你赢得汽车的唯一机会是你最初就选中了汽车。这个概率是 1/3。
你换门： 你赢得汽车的机会是你最初选中了山羊。因为你最初选中山羊的概率是2/3，并且主持人会帮你排除掉另一只山羊，所以换门就等于选择了那只你最初没选中的、但被主持人留下的门，而这扇门有2/3的概率藏着汽车。
换门策略的逻辑拆解（另一种思考方式）
我们可以这样想：
在你第一次选择了一扇门后（例如1号门），有三种可能性：
1. 你选对了（汽车在1号门）：概率 1/3。
在这种情况下，主持人会随机打开2号或3号门（都是山羊）。如果你换门，你就会输。
2. 你选错了（汽车在2号门）：概率 1/3。
主持人知道汽车在2号门，所以他 必须 打开3号门（因为3号门是山羊）。此时，剩下你选的1号门（山羊）和2号门（汽车）。如果你换门（换到2号门），你就赢。
3. 你选错了（汽车在3号门）：概率 1/3。
主持人知道汽车在3号门，所以他 必须 打开2号门（因为2号门是山羊）。此时，剩下你选的1号门（山羊）和3号门（汽车）。如果你换门（换到3号门），你就赢。
看，在后两种情况（总共2/3的概率）下，只要你换门，你就赢了！而只有在你一开始就选对（1/3的概率）的情况下，换门才会让你输。
所以，换门意味着你从一开始就赌“你选对了但主持人帮你排除了另一只山羊”的情况，这相当于将你最初1/3的几率“合并”到了另一扇未打开的门上。主持人打开山羊门的这个行为，并不是一个简单的排除，而是 提供了关于汽车位置的额外信息。他帮你过滤掉了一只山羊，并且这个过滤行为本身就倾向于把汽车留在那扇你没选但他也未打开的门上。
关键点总结：
主持人不是随机打开门： 他知道汽车在哪，并且故意打开一扇有山羊的门。
换门让你抓住那2/3的概率： 你一开始选到山羊的概率是2/3，而换门让你抓住的就是这2/3的概率。
第一次听到这个解释，大脑确实需要一点时间来消化。但只要你愿意放下直觉，用概率的角度去思考，就会发现蒙提霍尔问题的答案既简单又深刻。下次你遇到这个难题时，请记住，大胆地换门吧，你的胜算会翻倍！
网友意见
我实在是太固执了，一直觉得主持人开碗之前是1/3，开碗之后换不换都是1/2，但是实验告诉我错了。
%change or not N = 3; change = true; Total = 10000; count = 0; for i = 1:Total car = randi(N); %rand(randi(10)); %伪随机数问题 first_choose = randi(N); %打开N-2个没有汽车的门 if (first_choose == car) lefted = mod(car + 1,N)+1; %如果一开始就猜对了，则随便留一个 else lefted = car; %如果一开始猜错了，只能留汽车了 end if (change) last_choose = lefted; else last_choose = first_choose; end count = count + (last_choose==car); end str = ['不', '换']; fprintf('换不换? %s: 正确率:%f
',str(change+1), count/Total); 实验结果是：
换不换? 换: 正确率:0.667300
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