格林函数就是坐标表象的时间演化算符吗？
格林函数，不是那么简单的时间演化算符
首先，我们要明确一点，格林函数不完全是坐标表象的时间演化算符。虽然它们之间有着深刻的联系，甚至在某种情况下可以互相转换，但它们描述的侧重点是不同的。
我们先来回顾一下时间演化算符。在量子力学里，一个系统在时刻 $t$ 的状态 $psi(t)$ 是由它在初始时刻 $t_0$ 的状态 $psi(t_0)$ 决定的。这个演化过程可以用一个算符 $U(t, t_0)$ 来描述：
$psi(t) = U(t, t_0) psi(t_0)$
这个 $U(t, t_0)$ 就是时间演化算符。如果系统处在定态，那么它的演化就更简单了，只需要一个 $e^{iEt/hbar}$ 的因子。
那么，格林函数又是什么呢？格林函数通常是用来解决微分方程的。在量子力学中，我们经常会遇到描述粒子行为的方程，比如薛定谔方程。当我们考虑一个非齐次的微分方程，比如：
$L phi(x) = f(x)$
其中 $L$ 是一个微分算符，$f(x)$ 是一个已知的函数（驱动项），而 $phi(x)$ 是我们要找的未知函数。
格林函数 $G(x, x')$ 就是方程：
$L G(x, x') = delta(x x')$
的解。这里的 $delta(x x')$ 是狄拉克 $delta$ 函数，它在 $x = x'$ 时取无穷大，其他地方取零，并且积分积出来是1。 $delta$ 函数的特殊性质意味着，格林函数描述了当“源”集中在 $x'$ 点时，方程的解在 $x$ 点的响应。
有了格林函数，我们就可以利用积分来得到非齐次方程的解：
$phi(x) = int G(x, x') f(x') dx'$
这就像是把一个复杂的“驱动” $f(x')$ 分解成一个个“点源” $delta(xx')$，然后计算每个点源产生的响应 $G(x, x')$，最后将所有响应叠加起来，就得到了总的解。
为什么格林函数和时间演化算符会扯上关系？
好了，现在我们知道格林函数是用来解微分方程的，而时间演化算符是描述状态随时间变化的。这之间怎么联系起来了呢？
关键在于，薛定谔方程本身就是一个关于时间演化的微分方程！
在时间无关的薛定谔方程中，我们求解的是能量本征态（定态）。但是，如果系统受到外部的“扰动”或者我们关注的是一个随时间变化的系统，那么我们就需要处理含时薛定谔方程：
$ihbar frac{partial}{partial t} |psi(t) angle = H(t) |psi(t) angle$
其中 $H(t)$ 是哈密顿算符，它可能随时间变化。
如果哈密顿算符 $H$ 是不随时间变化的，那么薛定谔方程的形式是：
$ihbar frac{partial}{partial t} |psi(t) angle = H |psi(t) angle$
这个方程的解，我们已经知道是用时间演化算符 $U(t, t_0) = e^{iH(tt_0)/hbar}$ 来表示的。
现在，如果我们考虑一个“源”被引入了系统，比如一个外部电场在某个时刻 $t'$ 突然作用了一下。那么含时薛定谔方程可能变成：
$ihbar frac{partial}{partial t} |psi(t) angle = H_0 |psi(t) angle + J(t)$
其中 $H_0$ 是系统的本征哈密顿量，而 $J(t)$ 代表了外部的“源”项。
这个时候，我们可以尝试用格林函数的方法来求解。如果我们将问题重新组织一下，让它看起来像一个微分方程，我们会发现，这个“源”项 $J(t)$ 的作用，非常类似于狄拉克 $delta$ 函数在空间中的作用。
具体来说，我们可以定义一个时间依赖的格林函数 $G(t, t')$。这个格林函数描述了在时刻 $t'$，系统受到一个“瞬时”的“扰动”或“注入”，在时刻 $t$ 产生的响应。
如果我们将格林函数定义为：
$G(t, t') = i frac{ heta(tt')}{hbar} langle psi_0 | U(t, t') | psi_0 angle$
这里 $ heta(tt')$ 是单位阶跃函数，确保了因果律（未来的事件不会影响过去）。$langle psi_0 | U(t, t') | psi_0 angle$ 实际上是在某种“参考态”下，从 $t'$ 时刻演化到 $t$ 时刻的“概率幅”。
更普遍地，在算符的语境下，我们可以定义时间格林函数 $G(t, t')$ 满足：
$(ihbar frac{partial}{partial t} H) G(t, t') = delta(tt')$
这里的 $G(t, t')$ 实际上是在某个“基”下的矩阵元。当我们谈论“坐标表象的时间演化算符”时，我们实际上是在考虑 $G(x, t; x', t')$，它描述了在时刻 $t'$，粒子位于位置 $x'$，然后在时刻 $t$ 演化到位置 $x$ 的概率幅。
所以，格林函数 $G(x, t; x', t')$ 确实包含着时间演化算符的信息。 我们可以这样理解：
时间演化算符 $U(t, t')$ 描述了系统状态从 $t'$ 到 $t$ 的演化。它作用在波函数或态矢量上。
格林函数 $G(x, t; x', t')$ 描述了粒子（或者更普遍的“场”）从位置 $x'$ 在时刻 $t'$ 传播到位置 $x$ 在时刻 $t$ 的概率幅。它本质上是 时间演化算符在坐标表象下的矩阵元，再加上了“源”的性质。
更深入的联系：
1. 自由粒子：对于一个自由粒子，其薛定谔方程是 $(ihbar frac{partial}{partial t} + frac{hbar^2}{2m} abla^2) psi(x, t) = 0$。
如果引入一个“点粒子”作为源，比如在 $x'=0$ 且 $t'=0$ 时，我们关注其在 $x$ 位置，时间 $t$ 的传播。
自由粒子的格林函数（传播子） $G_0(x, t; 0, 0)$ 可以直接通过求解上述含时薛定谔方程，并满足 $delta(x)$ 和 $delta(t)$ 的初始条件（或源条件）得到。
而自由粒子的时间演化算符 $U_0(t, 0) = e^{iH_0t/hbar}$，其在坐标表象下的矩阵元 $langle x | e^{iH_0t/hbar} | x' angle$ 就是描述自由粒子从 $x'$ 传播到 $x$ 的概率幅。
你会发现，自由粒子的格林函数，在忽略一些常数因子和因果性的处理后，就非常接近于坐标表象下的时间演化算符。
2. 相互作用系统：当系统存在相互作用（哈密顿量 $H$ 不再是简单的动能项），或者有外场时，情况就变得复杂。
时间演化算符 $U(t, t')$ 变得更难直接计算，因为它需要求解含时薛定谔方程。
格林函数 $G(x, t; x', t')$ 同样需要求解方程，但它提供了一个更强大的工具，特别是通过微扰理论来计算。
费曼传播子就是格林函数的一个重要形式，它在量子场论中扮演着核心角色，描述了粒子在时空中的传播，并且自然地包含了粒子相互作用的效应。
总结一下：
时间演化算符 关注的是量子态的演化。
格林函数 关注的是粒子或场的传播，以及如何响应“源”。
在没有源的情况下，求解薛定谔方程就是在计算时间演化。而有了源（或者我们关注的是一个“响应”），我们就需要格林函数。
可以说，格林函数是对时间演化算符的推广和应用，特别是在处理引入外部影响（源）的含时方程时。格林函数 $G(x, t; x', t')$ 的核心信息，确实蕴含了从 $(x', t')$ 到 $(x, t)$ 的传播机制，而这个传播机制正是由系统有效哈密顿量（包含原始哈密顿量和外源）决定的时间演化过程。
所以，你可以把格林函数想象成一个“带源”的时间演化算符的响应，或者是一个在坐标表象下的“传播子”，它描述了粒子从时空中的一个点传播到另一个点的概率幅。它们之间有着非常紧密的联系，理解好其中一个，对理解另一个也会大有裨益。
网友意见
谢邀，物理专业学生理解格林函数应该从格林函数的物理别称去理解。
格林函数又称之：传播子或（两点）关联函数。
这三个名称体现了格林函数的三种不同的来源（背景）。我们称其为格林函数的时候是因为这是英国数学家格林在解（线性）偏微分方程的时候引入的一种方法，本质上来说格林函数同傅里叶变换、分离变量法等类似都是解偏微分方程的一套工具。量子力学以及整个物理学都是通过偏微分方程建立的，所以物理中会碰到格林函数也就不足为奇了。
当我们称其为传播子的时候，则为了强调量子力学（场论）的性质，传播子体现了粒子从时空点A到时空点B的结果。所以在传播子是一个关于时空点A和B的函数。假设我们的场有无数个粒子，那把场中所有的粒子在时空点B的传播子叠加起来（假设场依旧是线性的）自然是我们最后要求的场了。
如果我们称之为一个关联函数的时候，则是为了强调其统计特征。在很多实际情况下，我们不了解或者不关心在其基础的或者是本源的力。只能看到宏观下，物质被组织在一起了。我们可以通过计算其关联函数（整个计算完全是基于统计学的，没有任何解微分方程的过程），来判断是怎样性质的力将物质组织到一起的。不同的维数、力程等都会对关联函数加以作用。而这个关联函数可以直接和功率谱结和起来，功率谱是易测的。例如我们可以通过功率谱对噪声划分颜色，从而确定噪声来源的物理过程。例如说我们常见的白噪声来源于一个高斯随机过程，而线路中最先想到的高斯随机过程自然就是电子的热运动了。例如暗物质存在的证据之一，微波背景的角功率谱也是通过模拟发现现有物质模型缺少一部分关联函数的贡献，从而推论有一部分贡献零压强的“物质”和一部分贡献负压强的“能量”。事实上早在哈勃时代就开始分析天体间的关联函数了，另外关联函数在凝聚态和材料等学科也属于基础中的基础。
不过实际上很多物理学家会混用传播子和关联函数。教材上一般说传播子是指动量空间的性质，关联函数则是坐标空间的性质。可以说传播子是动量空间的关联函数或者关联函数是坐标空间的传播子。
为具体说明问题，我们举一个金属方箱内部电磁平衡问题。
我们可以从电磁学的角度来看的话就是解一个波动方程。
以及对应的边界条件
。
格林函数的思想就是将其转换为无数个点源问题的叠加。每个点源 产生的格林函数传播子关联函数 也满足一个波动方程：
相应的边界条件都是最简单的等于零，通过骚气的手段最后得到坐标空间的格林函数/关联函数/传播子：
这个传播子的意义是 时刻在 发出的信号， 时刻一定到达 处 的球面上。并基于传播子给出最后偏微分方程的解。
如果我们对上述的格林函数做一傅里叶变换（注：四维傅里叶变换需先做一个wick转动）就得到了我们很熟悉的光子的传播子：
我们可以现在动量空间对场进行叠加，最后再通过傅里叶变换得到坐标空间的结果。它的物理意义自然是速度等于光速的粒子最多有无穷个。
当然假设我们对电磁学一窍不通，却又有很精确的测电磁场的仪器，可以标志粒子（当然这在量子力学中是原则上不可行的）。我们就可以根据在不同时空点粒子出现的概率，统计上计算出一个关联函数：
这完全是一个概率统计的问题，不牵扯到任何解微分方程。如果我们测量足够精确的话这个关联函数就应该等于我们之前计算得到的格林函数。
总结一下：格林函数是解算偏微分方程得到的，而传播子我们是根据拉氏量得到的，关联函数则是通过统计学规律得到的。实际上就是一个宏观现象和微观原理对应的过程。
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