格林公式为什么不对称啊？
格林公式不对称的说法，其实是对公式本身理解上的一种误解。严格来说，格林公式本身是高度对称的，只是我们在理解和应用它的时候，常常会关注到它在计算中的“不对称性”，而这种不对称性源于我们对积分方向的约定以及二重积分的计算方式。
为了详细地说明这一点，我们先回顾一下格林公式本身：
格林公式 (Green's Theorem):
设 $D$ 是 $xy$ 平面上一个由简单闭合曲线 $partial D$ 所围成的区域。如果函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域 $D$ 及其边界 $partial D$ 上具有连续的偏导数，那么：
$$ oint_{partial D} (P , dx + Q , dy) = iint_D left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight) , dA $$
其中：
$oint_{partial D}$ 表示沿闭合曲线 $partial D$ 的积分。
$P , dx + Q , dy$ 是一个线积分。
$iint_D$ 表示在区域 $D$ 上的二重积分。
$dA$ 表示面积微元，在直角坐标系下通常是 $dx , dy$ 或 $dy , dx$。
$partial D$ 的方向规定为正向，即在沿着曲线运动时，区域 $D$ 始终在左侧。
为什么感觉格林公式“不对称”？
我们通常会关注到公式的右侧，也就是二重积分项：$left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight)$。这个表达式并不是简单的 $frac{partial Q}{partial x}$ 或 $frac{partial P}{partial y}$ 的简单积分，而是它们差值的积分。这就是人们感到“不对称”的根源。
深入理解格林公式的对称性：
格林公式的“对称性”体现在以下几个方面：
1. 形式上的对称性与内在的联系:
线积分 $oint_{partial D} (P , dx + Q , dy)$ 是一个一维的积分，它“看”的是曲线上的信息。
二重积分 $iint_D left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight) , dA$ 是一个二维的积分，它“看”的是区域内部的信息。
格林公式建立了一个桥梁，将区域内部的“性质”（由偏导数差值衡量）与边界上的“性质”（由线积分衡量）联系起来。这种联系本身就是一种深刻的对称性。
2. “全微分”的视角:
考虑一个函数 $F(x,y) = int P , dx + int Q , dy$ （这里只是一个概念上的表示，不是严格定义）。格林公式可以被看作是联系一个二维场（由 $P$ 和 $Q$ 构成的向量场）在区域上的“环量”与其“旋度”（在二维中是 $frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}$）在区域上的积分之间的关系。
3. 多种形式的格林公式:
我们可以通过对 $P$ 和 $Q$ 的选择，构造出不同形式的格林公式，而这些形式也体现了某种对称性：
面积计算公式:
令 $P = 0, Q = x$，则 $oint_{partial D} x , dy = iint_D (1 0) , dA = ext{Area}(D)$。
令 $P = y, Q = 0$，则 $oint_{partial D} y , dx = iint_D (0 (1)) , dA = ext{Area}(D)$。
令 $P = frac{1}{2}y, Q = frac{1}{2}x$，则 $oint_{partial D} (frac{1}{2}y , dx + frac{1}{2}x , dy) = iint_D (frac{1}{2} (frac{1}{2})) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
观察这几个公式，它们都计算了区域的面积，并且左侧的线积分形式看似不同，但通过对 $P$ 和 $Q$ 的巧妙选择，最终都得到了一个反映区域“大小”的二重积分。右侧的表达式 $(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y})$ 在这三个例子中分别为 $1$, $1$, $1$。
计算线积分的特殊情况:
考虑计算 $oint_{partial D} x , dy$。根据格林公式，它等于 $iint_D frac{partial}{partial x}(x) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
再考虑计算 $oint_{partial D} y , dx$。根据格林公式，它等于 $iint_D frac{partial}{partial y}(y) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
这里我们看到，如果我们只考察一个线积分（例如只包含 $P , dx$ 或只包含 $Q , dy$），那么格林公式在右侧的体现是“不对称的”，因为它只包含了其中一个偏导数。但是，这是因为我们为了得到一个有意义的二重积分（比如面积），选择了特定的 $P$ 和 $Q$。格林公式本身允许我们通过改变 $P$ 和 $Q$ 来得到不同的结果。
4. 向量分析的推广:
在三维空间中，我们有斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)，它将一个面上的旋度积分与边界曲线上的环量联系起来：
$$ oint_{partial S} mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iint_S ( abla imes mathbf{F}) cdot dmathbf{S} $$
格林公式可以看作是斯托克斯公式在二维平面的特殊情况。在二维平面上，我们通常处理的是一个二维向量场 $mathbf{F} = (P, Q)$。$ abla imes mathbf{F}$ 在二维中的类比就是旋量的“分量”，即 $(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}) mathbf{k}$。而二重积分中的 $dA$ 对应于 $dmathbf{S}$ 在 $xy$ 平面上的投影。
从这个角度看，格林公式的结构：一个闭合路径上的积分等于一个区域内的某种“散度”或“旋度”的积分，是数学中更广泛的定理（如高斯散度定理、斯托克斯公式）的体现，这些定理本身就具有深刻的对称性和联系性。
为什么我们常常关注到“不对称性”？
计算方便性: 很多时候，计算一个区域上的二重积分比计算其边界上的线积分要困难得多。格林公式提供了一种转化方法。在选择 $P$ 和 $Q$ 时，我们常常会选择使得 $frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}$ 形式更简单的情况，例如等于常数（如计算面积时）或者某个变量。在这种情况下，线积分的形式可能是更复杂的，反之亦然。人们关注的是“哪个形式更容易计算”。
“旋度”的概念: 在物理学（如流体力学、电磁学）中，“旋度”的概念 ($ abla imes mathbf{F}$ 或其二维类比) 经常出现，它描述了场在某一点的旋转趋势。格林公式将这个局部的旋转性质与整个区域的边界行为联系起来。人们会关注右侧的“旋度”项。
方向约定: 公式中的 $partial D$ 的正向是关键。如果反向积分，则结果会变号。这种方向的指定虽然是约定俗成的，但与二重积分的计算方向以及偏导数的定义密切相关。
总结来说，格林公式本身的结构是高度对称的，它建立了联系一维积分（边界）与二维积分（区域）的桥梁，并且是更高级定理在二维的体现。我们感觉到的“不对称性”并非公式本身的缺陷，而是源于我们为了特定计算目标（如计算面积、简化积分等）而对函数 $P$ 和 $Q$ 所做的选择，以及对公式中各个组成部分（线积分、二重积分、偏导数）在实际计算中的不同复杂程度的关注。
理解格林公式的“对称性”在于认识到它将不同维度上的积分以及导数操作联系起来，而我们看到的“不对称性”则是这种联系在具体应用和选择函数时所呈现出的侧重点。
为了详细地说明这一点，我们先回顾一下格林公式本身：
格林公式 (Green's Theorem):
设 $D$ 是 $xy$ 平面上一个由简单闭合曲线 $partial D$ 所围成的区域。如果函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域 $D$ 及其边界 $partial D$ 上具有连续的偏导数，那么：
$$ oint_{partial D} (P , dx + Q , dy) = iint_D left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight) , dA $$
其中：
$oint_{partial D}$ 表示沿闭合曲线 $partial D$ 的积分。
$P , dx + Q , dy$ 是一个线积分。
$iint_D$ 表示在区域 $D$ 上的二重积分。
$dA$ 表示面积微元，在直角坐标系下通常是 $dx , dy$ 或 $dy , dx$。
$partial D$ 的方向规定为正向，即在沿着曲线运动时，区域 $D$ 始终在左侧。
为什么感觉格林公式“不对称”？
我们通常会关注到公式的右侧，也就是二重积分项：$left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight)$。这个表达式并不是简单的 $frac{partial Q}{partial x}$ 或 $frac{partial P}{partial y}$ 的简单积分，而是它们差值的积分。这就是人们感到“不对称”的根源。
深入理解格林公式的对称性：
格林公式的“对称性”体现在以下几个方面：
1. 形式上的对称性与内在的联系:
线积分 $oint_{partial D} (P , dx + Q , dy)$ 是一个一维的积分，它“看”的是曲线上的信息。
二重积分 $iint_D left(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y} ight) , dA$ 是一个二维的积分，它“看”的是区域内部的信息。
格林公式建立了一个桥梁，将区域内部的“性质”（由偏导数差值衡量）与边界上的“性质”（由线积分衡量）联系起来。这种联系本身就是一种深刻的对称性。
2. “全微分”的视角:
考虑一个函数 $F(x,y) = int P , dx + int Q , dy$ （这里只是一个概念上的表示，不是严格定义）。格林公式可以被看作是联系一个二维场（由 $P$ 和 $Q$ 构成的向量场）在区域上的“环量”与其“旋度”（在二维中是 $frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}$）在区域上的积分之间的关系。
3. 多种形式的格林公式:
我们可以通过对 $P$ 和 $Q$ 的选择，构造出不同形式的格林公式，而这些形式也体现了某种对称性：
面积计算公式:
令 $P = 0, Q = x$，则 $oint_{partial D} x , dy = iint_D (1 0) , dA = ext{Area}(D)$。
令 $P = y, Q = 0$，则 $oint_{partial D} y , dx = iint_D (0 (1)) , dA = ext{Area}(D)$。
令 $P = frac{1}{2}y, Q = frac{1}{2}x$，则 $oint_{partial D} (frac{1}{2}y , dx + frac{1}{2}x , dy) = iint_D (frac{1}{2} (frac{1}{2})) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
观察这几个公式，它们都计算了区域的面积，并且左侧的线积分形式看似不同，但通过对 $P$ 和 $Q$ 的巧妙选择，最终都得到了一个反映区域“大小”的二重积分。右侧的表达式 $(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y})$ 在这三个例子中分别为 $1$, $1$, $1$。
计算线积分的特殊情况:
考虑计算 $oint_{partial D} x , dy$。根据格林公式，它等于 $iint_D frac{partial}{partial x}(x) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
再考虑计算 $oint_{partial D} y , dx$。根据格林公式，它等于 $iint_D frac{partial}{partial y}(y) , dA = iint_D 1 , dA = ext{Area}(D)$。
这里我们看到，如果我们只考察一个线积分（例如只包含 $P , dx$ 或只包含 $Q , dy$），那么格林公式在右侧的体现是“不对称的”，因为它只包含了其中一个偏导数。但是，这是因为我们为了得到一个有意义的二重积分（比如面积），选择了特定的 $P$ 和 $Q$。格林公式本身允许我们通过改变 $P$ 和 $Q$ 来得到不同的结果。
4. 向量分析的推广:
在三维空间中，我们有斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)，它将一个面上的旋度积分与边界曲线上的环量联系起来：
$$ oint_{partial S} mathbf{F} cdot dmathbf{r} = iint_S ( abla imes mathbf{F}) cdot dmathbf{S} $$
格林公式可以看作是斯托克斯公式在二维平面的特殊情况。在二维平面上，我们通常处理的是一个二维向量场 $mathbf{F} = (P, Q)$。$ abla imes mathbf{F}$ 在二维中的类比就是旋量的“分量”，即 $(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}) mathbf{k}$。而二重积分中的 $dA$ 对应于 $dmathbf{S}$ 在 $xy$ 平面上的投影。
从这个角度看，格林公式的结构：一个闭合路径上的积分等于一个区域内的某种“散度”或“旋度”的积分，是数学中更广泛的定理（如高斯散度定理、斯托克斯公式）的体现，这些定理本身就具有深刻的对称性和联系性。
为什么我们常常关注到“不对称性”？
计算方便性: 很多时候，计算一个区域上的二重积分比计算其边界上的线积分要困难得多。格林公式提供了一种转化方法。在选择 $P$ 和 $Q$ 时，我们常常会选择使得 $frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}$ 形式更简单的情况，例如等于常数（如计算面积时）或者某个变量。在这种情况下，线积分的形式可能是更复杂的，反之亦然。人们关注的是“哪个形式更容易计算”。
“旋度”的概念: 在物理学（如流体力学、电磁学）中，“旋度”的概念 ($ abla imes mathbf{F}$ 或其二维类比) 经常出现，它描述了场在某一点的旋转趋势。格林公式将这个局部的旋转性质与整个区域的边界行为联系起来。人们会关注右侧的“旋度”项。
方向约定: 公式中的 $partial D$ 的正向是关键。如果反向积分，则结果会变号。这种方向的指定虽然是约定俗成的，但与二重积分的计算方向以及偏导数的定义密切相关。
总结来说，格林公式本身的结构是高度对称的，它建立了联系一维积分（边界）与二维积分（区域）的桥梁，并且是更高级定理在二维的体现。我们感觉到的“不对称性”并非公式本身的缺陷，而是源于我们为了特定计算目标（如计算面积、简化积分等）而对函数 $P$ 和 $Q$ 所做的选择，以及对公式中各个组成部分（线积分、二重积分、偏导数）在实际计算中的不同复杂程度的关注。
理解格林公式的“对称性”在于认识到它将不同维度上的积分以及导数操作联系起来，而我们看到的“不对称性”则是这种联系在具体应用和选择函数时所呈现出的侧重点。
网友意见
首先将Green公式的内容表述如下。
定理1（Green公式）设 是 中的有界闭区域， 由有限多条分段光滑曲线组成，若 ， ， 及 均在 上连续，则 其中 的定向为正向。
题主想说的，可能是右边的函数是“不对称”的，出现了一个负号。
但是事实上，注意到
因此公式 还可以写成 看，多对称呀。
在重积分理论中，有“三大公式”，还包括Gauss公式和Stokes公式。
事实上，Stokes公式也是非常“不对称的”。
首先将公式列举如下。
定理2（Gauss公式）设 是 中的一个有界闭区域， 由有限多个双侧的分片光滑曲面组成，定侧为外侧。又设 ， 和 ，则
定理3（Stokes公式）设 是 中的一个双侧的光滑曲面，它由参数方程 给出，其中 ， 和 ，边界 由有限多条分段光滑曲线组成。又假设存在开集 ，使得 ， 和 。现选定 的一侧，并由此确定 的方向，则有
看上去右边是比较复杂的，但是公式 也可以被简化为 这便减小了记忆的难度。
事实上，定理1到定理3是可以有统一的表达式的。
这也可以解释为什么公式的右边会这么“复杂”。
以下这些内容是我们的数学分析课程上，老师所给的一些扩展，可以加深自己的理解。
一、微分形式
首先，对于 中的 ， 和 ，我们可以定义“外积”运算 ，满足
（1） ；
（2） ；
（3） 。
注意到运算 并不满足交换律，这和我们之前在线性空间中所定义的外积有一定的相似之处。
接下来，设 ， ， 和 都是定义在 上的函数，我们先给出所谓的“微分形式”的定义。
（1）称 为 次微分形式，其相当于没有作微分运算；
（2）称 为 次微分形式，其是第二型曲线积分中出现的部分；
（3）称 为 次微分形式，其是第二型曲面积分中出现的部分；
（4）称 为 次微分形式，其是体积分中出现的部分。
在这样简单的定义之下，我们可以来研究一些比较特殊的运算。
二、外微分运算
接下来，我们可以定义外微分运算 ，满足对于 次微分形式，有 接下来，对于 次微分形式，记
则有
注意到此时右边便是Stokes公式右式中出现的被积函数。
再进一步，对于 次微分形式，记
则有
注意到此时右边便是Gauss公式右式中出现的被积函数。
三、三大公式的统一
在上面的定义的基础上，可以将三大公式写成一个统一的形式。
（1）对于Green公式，记
则可以将其简记为
（2）对于Gauss公式，记
则可以将其简记为
（3）对于Stokes公式，记
则可以将其简记为
注意到以上的公式，形式都是统一的，并且都是从低维向高维的过程。
事实上，这些公式都可以被认为是Newton-Leibniz公式的推广。
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