格林公式的几何意义是什么？
咱们不妨把这个“事情”具体化一下。在格林公式里，“曲线上的事情”通常指的是一个向量场沿着这条闭合曲线的线积分。向量场，你可以想象成风吹的方向和强度，或者水流动的方向和速度。线积分，就是你沿着湖岸走一圈，记录下每一步“风”或者“水”对你产生的“推力”或者“拉力”的总和。如果你沿着湖岸走得很慢，或者水流很弱，那这个总和可能就小；反之，如果水流湍急，你走得又快，那总和可能就大了。
而“区域”呢，就是这条闭合曲线所围起来的那片平面区域。在咱们的湖泊例子里，就是湖泊本身的面积。
格林公式告诉我们，你沿着湖岸走一圈，感受到的“总的推拉力”（线积分），和你身处湖泊之中，能感受到“整个湖泊的动量如何在一个点上聚集或分散”（面积分）是有关联的。具体来说，格林公式说的是：
一个向量场沿着一个简单闭合曲线的线积分，等于该向量场在它所围成的区域上的某个特定“散度”或“旋转度”的面积分。
听起来有点抽象？别急，咱们拆解一下。
1. 从线积分的角度看：
想象你沿着湖岸走一圈，每一步都记录下水流对你方向的影响。比如，你向前走，如果水流也是向前流，你可能会觉得“顺势而为”，有一种被推着走的能量；如果水流是向旁边流，你可能会觉得“有点别扭”，需要付出额外的力来维持前进。这个“顺势”或者“别扭”就是线积分在告诉你，你沿着曲线前进时，向量场是如何“配合”你或者“阻碍”你的。
2. 从面积分的角度看：
现在，咱们把目光从岸边移开，看看整个湖泊。你可能想知道，这个湖泊的水是整体在往一个方向“涌动”（散度），还是在绕着一个中心“旋转”（旋度）？
散度（Divergence）：散度描述的是向量场在一个点上是从该点“发散”出去还是向该点“汇聚”。比如，如果你在一个源头处，水是向四周散开的，那么这里的散度就是正的。如果你在一个漏斗的底部，水是向里汇聚的，那么这里的散度就是负的。
旋度（Curl）：旋度描述的是向量场在一个点上是否有一个“旋转”的趋势。就像水在漩涡里会绕着中心旋转一样，旋度就捕捉了这种旋转的“强度”和“方向”。
格林公式里，那个“特定散度或旋转度”是根据你选取的向量场来的。比如，如果你的向量场是 $F = (P, Q)$，那么它在区域上的面积分就是 $iint_D (frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y}) , dA$。这里的 $(frac{partial Q}{partial x} frac{partial P}{partial y})$ 就是向量场 $F$ 的一个叫做“二维旋度”或者“卷曲”的量。它告诉你，在区域的每个小块上，向量场是否有绕着一个方向“转”的趋势。
那么，这个联系到底有什么几何意义呢？
就好比：
“岸边的总的顺逆”等于“湖泊内部的整体旋转”： 想象一下，如果你沿着湖岸走一圈，感受到水流始终是把你往左边推（比如水流是绕着湖心逆时针旋转），那么你走完一圈，感受到的“左推”的总效应，就和你从湖底往上看，水流绕着中心旋转的“程度”和“范围”是成正比的。
“岸边的整体流动”等于“湖泊内部的净流出/流入”： 另一种形式的格林公式（利用散度定理）则说，沿着闭合曲线的线积分，等于向量场在区域内部的总“散度”的面积分。比如，如果你沿着一个管道的边界走，你感受到的“顺流”的总量，就等于管道内部水“从哪个地方流进，从哪个地方流出”的净效应。
更直观地理解，格林公式揭示了：
1. 局部与整体的统一： 它把一个一维的积分（沿曲线）和二维的积分（在区域上）联系起来。一维的线积分是“局部”的，它关注的是你在曲线上的每一点的体验；而二维的面积分是“整体”的，它关注的是整个区域的性质。格林公式说明，整体的性质（比如旋转或散发）可以通过在边界上的局部体验来计算。
2. “流动”与“源汇”的平衡： 对于散度形式的格林公式，它体现了“流出去的总量等于在边界上的线积分”。这就像说，在一个封闭的区域里，如果你测量了所有“流出”的“水”（散度），那么这些水最终一定是在边界上“流出去”或者“流进来”的。流体守恒的原理在里面体现得淋漓尽致。
3. “旋转”与“环流”的联系： 对于旋度形式的格林公式，它体现了“围绕区域的周线积分等于区域内部的平均‘旋转度’”。想象一下，如果你在一个区域的边界上感受到的“绕着转”的总效应，那么这个总效应一定是由区域内部各处“小小的旋转”累积而成的。
总结一下，格林公式的几何意义，就是将描述区域内部“内在性质”（如散发、旋转）的面积分，转化为了描述区域“边界行为”（如沿着边界的流动）的线积分。 它让我们能够从一个更容易处理的角度（比如边界）去计算一个可能更复杂的区域内的量，反之亦然。这在物理学（如电磁场、流体力学）和工程学中都至关重要，因为它允许我们在不同的“视角”下理解和计算物理现象。
它就像在告诉你：想知道整个湖泊的水是如何“动”的（面积分），你不必非得潜入水底去测量每个点的流动；你只要沿着湖岸，仔细感受水流把你往哪个方向“拉”或者“推”（线积分），然后用一种特殊的数学方法（格林公式）一算，就能得出整个湖泊的“运动模式”了。
网友意见
格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒。
比如，打台球：
它的能量守恒是这样的：
击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：
下面让我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林公式。
本人不才，下面的物理都主要重视直观理解，不求严格性，恳请物理大咖指点纠正。
1 关于旋转的物理问题
在剑桥大学的小路上，正在思考的乔治·格林被一个学生拦住了，学生愁眉苦脸的说：“老师，您好，有个问题我一直没有想清楚，您帮我合计合计。”
学生继续说道：“这个问题就是，我应该怎么去分析水流中，螺旋桨的做功情况？”
“这是一道应用题，”格林眉毛一拧：“肯定是先建模啊。”
2 模型的建立
首先，水流作用到螺旋桨上，表现为力，因此先把水流转为力场 ：
把这样的螺旋桨：
抽象一下，放入到力场中去，就会旋转起来（手动移动下螺旋桨的位置，还会发现在不同的位置旋转速度不一样）：
此处有互动内容，点击此处前往操作。
进一步简化一下，我们只研究其中某一个点的在旋转中的做功：
等价于研究某一点在圆形路径上的做功：
格林说：“问题就被转化为了沿路径做功了，我们看看物理层面怎么解答。”
3 物理的解答
3.1 旋转方向与有向路径
首先，规定逆时针旋转为正方向：
旋转有了方向之后，此点走过的路径也就有了方向，我们称为“有向路径”。
根据旋转的正方向，就可定义点走过的路径的正方向：
点要是反着转，那么走过的路径自然就是 。
3.2 做功分析
根据微积分的思想，我们把路径切成无数个微小的曲线段：
根据我们已知的两个知识（已知的意思，其实是我不想解释了）：
- 根据微积分“以直代曲”的思想，这些微小的曲线段可以用切线来代替
- 根据物理知识，我们知道，力只在路径方向做功
结合上述两点，我们可以得到，每个微小的曲线段上做的功为：
那么，很明显，整段封闭曲线做功可以表示为如下：
“哇，清晰多了！”同学搓搓手，递上一只大前门香烟：“老师，可是怎么计算呢？”
格林抽出笔来，刷刷地写道：“就这么算！”
4 数学计算
4.1 矢量形式转为标量形式
矢量形式 不太好计算，让我们转为标量形式。
根据我们一元微积分的知识，我们知道 在 方向的分量为：
那么，有 和 ，所以， ，所以：
4.2 非常简单的加减运算
我们给出一个简单的力场，这个力场的特点是：
- 只有水平方向的力
- 在同一个垂直高度上，力的大小一样
- 随着垂直高度的增加，力逐渐减小
画出来就是这样的（矢量的方向表示力的方向，矢量的长度表示力的大小）：
计算在此力场中，某点围绕正方形路径一圈所做的功，已知：
- 正方形边长为3
- 上边受力大小为1，下边受力大小为4
- 力与左右两边垂直，所以在这两边不做功
如图：
所以，算出某点围绕正方形路径一圈所做的功为：
把正方形均分为9宫格，每块都是变长为1的正方形，每条正方形的边所在力场的大小我也标注在图里了：
可见，两种运算方法得到的结果都是一样的。
这是一个简单的演算，可以推广为，任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以直代曲”的微积分思想）的边界上的功之和：
这也就是我刚开始说的守恒，虽然功和能量还不是一回事，不过也算紧密相关，允许我这个物理民科这么去直观理解。
4.3 计算微小矩形边界上的功
怎么计算微分矩形上做的功呢？让我取一个微分矩形出来，我把矩形的边和顶点、以及矩形的区域都标注出来了：
下面是代数推断了，我觉得过程还是很清晰明了的。
首先，注意到在 上 为0（因为 方向没有变化）， 上 为0，然后我们继续推下去：
微分矩形的边界做功求出来了，结合我们之间的结论，边界的做功＝微分矩形做功之和我们可以得到最终的结论：
其中 为 围成的区域。
同学之前听得屏息凝视，现在才有机会长出了口气：“真是精彩啊！”
格林反问道：“你知道 会得到什么吗？”
是法向量。
5 通量
代表力在运动方向做功，但是力并不会在与运动的垂直方向做功，那么 代表了什么？
如果把 看作流速，或者电流密度，那么 就在流体力学、电磁学中被称为通量。
关于通量更详细的可以看我另外一个回答 散度和旋度的物理意义是什么 ，其中回答了为什么是法向量方向。
比如，对于我们头顶上的太阳：
我们要计算穿过（包括射出和进入）太阳表面的能量总量：
这就是通量，记作：
太阳内部时时都在发生核聚变，以及其他的能量活动：
根据能量守恒，内部的能量总量，必然等于穿过太阳表面的能量总量。
也就是说，通量和内部能量总量相等。
定了这个基调之后，然后按照之前分析做功的方式，最终我们可以得到：
格林说完之后，突然发现，自己发现了不得了的东西，对于数学有重要的意义，相当于把封闭曲线的线积分转为了二重积分。所以，赶快去发表论文吧。
6 总结
乔治·格林（1793 — 1841），英国科学家，格林公式的发明者。
根据不同的物理意义，格林得到了两种格林公式的形式：
做功的形式（电磁学、流体力学也可以把 看作流速，下面就称为环流量）：
通量的形式：
旋度和散度也出现在公式中了。
本文轻度调侃了乔治·格林，并非不敬。在我眼中科学家才是真正的英雄，希望我可以写出这些科学大咖风采的一二，借用《红楼梦》中的一句话，但使大家知道“科学界历历有人”。
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