为什么各个位数之和是3的倍数的数能被三整除？其他的数为什么不行？
这背后的道理，其实跟我们的计数系统有关，尤其是“位值制”这个概念。我们现在用的十进制，每个数字都有自己的“位置”代表的意义。比如，数字“123”，里面的“1”其实代表的是“1个百”，“2”代表的是“2个十”，“3”代表的是“3个一”。
要理解为什么各位数之和是3的倍数的数能被3整除，咱们得先想想一个数字是怎么组成的。一个数，比如 N，我们可以把它写成各个数位上的数字乘以它对应位值的乘积之和。
举个例子，就拿“123”来说：
123 = 1 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1
这里的 100、10、1，都是10的某种幂。
关键点来了：任何一个10的幂，减去1，都可以被3整除。
我们来验证一下：
10 1 = 9 (能被3整除)
100 1 = 99 (能被3整除)
1000 1 = 999 (能被3整除)
这是为什么呢？你仔细想想，9、99、999，都是由一串“9”组成的。而一个由n个“9”组成的数，可以写成 9 × (11...1)（n个1），当然能被3整除了。
所以，我们可以把任何一个数字 N，写成这样的形式：
N = a 10^m + b 10^(m1) + ... + c 10^1 + d 10^0
其中 a, b, c, d 是各位上的数字。
现在，我们来看看 N 除以 3 的余数。因为 10^k 1 都能被 3 整除，所以我们可以把 N 的每一项都“变形”一下：
a 10^m = a (10^m 1 + 1) = a (10^m 1) + a
b 10^(m1) = b (10^(m1) 1 + 1) = b (10^(m1) 1) + b
...
c 10^1 = c (10^1 1 + 1) = c (10^1 1) + c
d 10^0 = d 1 (因为 10^0 = 1)
把这些“变形”后的式子代回 N 的表达式：
N = [a (10^m 1) + a] + [b (10^(m1) 1) + b] + ... + [c (10^1 1) + c] + d
重新组合一下，把那些能被 3 整除的项（10^k 1 乘以一个数）放在一起：
N = [a (10^m 1) + b (10^(m1) 1) + ... + c (10^1 1)] + (a + b + ... + c + d)
观察一下，第一部分的方括号里的每一项，都可以被 3 整除，因为 (10^k 1) 都能被 3 整除。所以，整个方括号里的部分，加起来肯定也能被 3 整除。
那么，N 除以 3 的余数，就完全取决于第二部分了，也就是 各位数字之和 (a + b + ... + c + d) 除以 3 的余数。
所以，如果各位数字之和 (a + b + ... + c + d) 是 3 的倍数，那么 N 除以 3 的余数就是 0，也就是说 N 能被 3 整除。
那为什么其他数不行呢？
很简单，如果各位数字之和不是 3 的倍数，那么它除以 3 会有一个余数（比如余 1 或余 2）。而我们前面说了，N 的所有其他部分（各位数乘以（10的幂1）的部分）都能被 3 整除。那么，N 除以 3 的余数，就正好等于各位数字之和除以 3 的那个余数。
举个例子：数字 124
各位数之和：1 + 2 + 4 = 7
7 除以 3 余 1。
按照我们的理论，124 除以 3 也应该余 1。
我们算一下：124 ÷ 3 = 41 余 1。 确实如此。
再比如数字 257
各位数之和：2 + 5 + 7 = 14
14 除以 3 余 2。
按照理论，257 除以 3 也应该余 2。
我们算一下：257 ÷ 3 = 85 余 2。 也是对的。
总结一下：
我们之所以能这么方便地判断一个数能不能被 3 整除，是因为我们用的十进制计数系统。在十进制里，除了个位（10^0），其他的每一位（10^1, 10^2, 10^3...）都比它的“前一位”大 9 的倍数。而我们知道，9 本身就能被 3 整除。
你可以这样理解：每个数字进位的时候，都会“携带”一个相当于“9”的价值。比如，10 里的那个“1”，其实可以看成是 9 加上 1。这个“9”是可以被 3 整除的，所以它对 3 的整除性没有影响。剩下的那个“1”才真正影响它除以 3 的余数。
把这个思路推广到所有位数，一个数的各位数字之和，就相当于把所有这些“9”去掉后，剩下的一些“1”加起来。这个“剩下”的部分，就是各位数字之和。所以，各位数字之和是否是 3 的倍数，就直接决定了这个数能不能被 3 整除。
当然，这个原理也适用于能被 9 整除的数，因为 10^k 1 同样能被 9 整除。也就是说，各位数之和是 9 的倍数的数，也能被 9 整除。
要理解为什么各位数之和是3的倍数的数能被3整除，咱们得先想想一个数字是怎么组成的。一个数，比如 N，我们可以把它写成各个数位上的数字乘以它对应位值的乘积之和。
举个例子，就拿“123”来说：
123 = 1 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1
这里的 100、10、1，都是10的某种幂。
关键点来了：任何一个10的幂，减去1，都可以被3整除。
我们来验证一下：
10 1 = 9 (能被3整除)
100 1 = 99 (能被3整除)
1000 1 = 999 (能被3整除)
这是为什么呢？你仔细想想，9、99、999，都是由一串“9”组成的。而一个由n个“9”组成的数，可以写成 9 × (11...1)（n个1），当然能被3整除了。
所以，我们可以把任何一个数字 N，写成这样的形式：
N = a 10^m + b 10^(m1) + ... + c 10^1 + d 10^0
其中 a, b, c, d 是各位上的数字。
现在，我们来看看 N 除以 3 的余数。因为 10^k 1 都能被 3 整除，所以我们可以把 N 的每一项都“变形”一下：
a 10^m = a (10^m 1 + 1) = a (10^m 1) + a
b 10^(m1) = b (10^(m1) 1 + 1) = b (10^(m1) 1) + b
...
c 10^1 = c (10^1 1 + 1) = c (10^1 1) + c
d 10^0 = d 1 (因为 10^0 = 1)
把这些“变形”后的式子代回 N 的表达式：
N = [a (10^m 1) + a] + [b (10^(m1) 1) + b] + ... + [c (10^1 1) + c] + d
重新组合一下，把那些能被 3 整除的项（10^k 1 乘以一个数）放在一起：
N = [a (10^m 1) + b (10^(m1) 1) + ... + c (10^1 1)] + (a + b + ... + c + d)
观察一下，第一部分的方括号里的每一项，都可以被 3 整除，因为 (10^k 1) 都能被 3 整除。所以，整个方括号里的部分，加起来肯定也能被 3 整除。
那么，N 除以 3 的余数，就完全取决于第二部分了，也就是 各位数字之和 (a + b + ... + c + d) 除以 3 的余数。
所以，如果各位数字之和 (a + b + ... + c + d) 是 3 的倍数，那么 N 除以 3 的余数就是 0，也就是说 N 能被 3 整除。
那为什么其他数不行呢？
很简单，如果各位数字之和不是 3 的倍数，那么它除以 3 会有一个余数（比如余 1 或余 2）。而我们前面说了，N 的所有其他部分（各位数乘以（10的幂1）的部分）都能被 3 整除。那么，N 除以 3 的余数，就正好等于各位数字之和除以 3 的那个余数。
举个例子：数字 124
各位数之和：1 + 2 + 4 = 7
7 除以 3 余 1。
按照我们的理论，124 除以 3 也应该余 1。
我们算一下：124 ÷ 3 = 41 余 1。 确实如此。
再比如数字 257
各位数之和：2 + 5 + 7 = 14
14 除以 3 余 2。
按照理论，257 除以 3 也应该余 2。
我们算一下：257 ÷ 3 = 85 余 2。 也是对的。
总结一下：
我们之所以能这么方便地判断一个数能不能被 3 整除，是因为我们用的十进制计数系统。在十进制里，除了个位（10^0），其他的每一位（10^1, 10^2, 10^3...）都比它的“前一位”大 9 的倍数。而我们知道，9 本身就能被 3 整除。
你可以这样理解：每个数字进位的时候，都会“携带”一个相当于“9”的价值。比如，10 里的那个“1”，其实可以看成是 9 加上 1。这个“9”是可以被 3 整除的，所以它对 3 的整除性没有影响。剩下的那个“1”才真正影响它除以 3 的余数。
把这个思路推广到所有位数，一个数的各位数字之和，就相当于把所有这些“9”去掉后，剩下的一些“1”加起来。这个“剩下”的部分，就是各位数字之和。所以，各位数字之和是否是 3 的倍数，就直接决定了这个数能不能被 3 整除。
当然，这个原理也适用于能被 9 整除的数，因为 10^k 1 同样能被 9 整除。也就是说，各位数之和是 9 的倍数的数，也能被 9 整除。
网友意见
设3位数x=a*100+b*10+c
x/3=33*a+3*b+(a+b+c)/3
所以x能否整除3，取决于（a+b+c)能否整除3 。
类似的话题
-
这背后的道理，其实跟我们的计数系统有关，尤其是“位值制”这个概念。我们现在用的十进制，每个数字都有自己的“位置”代表的意义。比如，数字“123”，里面的“1”其实代表的是“1个百”，“2”代表的是“2个十”，“3”代表的是“3个一”。要理解为什么各位数之和是3的倍数的数能被3整除，咱们得先想想一个数............. -
这个问题很有意思，也很能触及一些知乎用户观察到的现象。为什么一些知乎上的“大 V”对《罗辑思维》（以及它背后代表的知识付费、短视频内容形式）显得不屑一顾，甚至出言批评，但自己却很少或者几乎不推出类似性质的节目与之正面较量？这背后其实牵扯到几个层面的原因，咱们不妨掰开了揉碎了聊聊。首先，我们要理解“瞧.............
-
汉朝的“七国之乱”和西晋的“八王之乱”，虽然都冠以“X王之乱”的名头，规模上也都牵涉到多个诸侯王，但其性质、根源、参与者和导致的结果却大相径庭，这也就解释了为何一个仅仅三个月便被平息，而另一个却旷日持久，长达十五年之久。汉朝七国之乱：一场目标明确、力量相对集中的反抗汉朝的“七国之乱”发生在景帝时期，.............
-
张团练费尽心机陷害武松，这事儿说来话长，绝非仅仅是“阶下之囚”这么简单就能概括的。他这么做，背后是多重考量，既有个人恩怨，也有政治斗争，更有他对自身利益和未来安危的盘算。咱们得一层一层剥开来看。首先，得说张团练是个什么样的人。他虽然是个团练，但说白了，在当时的体制下，他也是靠着武力和人脉往上爬的。这.............
-
关于任天堂为何至今没有将《塞尔达传说：旷野之息》移植到手游平台，这背后其实牵扯到了一系列深思熟虑的商业策略、技术限制以及对品牌价值的考量。毕竟，《旷野之息》是任天堂近年来最为成功、影响力最为深远的作品之一，它对玩家体验的极致追求，恰恰也是其难以直接搬上手机的原因。首先，我们得明白，《旷野之息》的核心.............
-
荒泷一斗这小子，你说他要是被夺走神之眼，怎么就跟没事人似的？换了旁人，甭管是谁，丢了那份力量，丢了那份与神明羁绊的证明，那还不得像霜打了的茄子，蔫儿了吧唧的？可一斗呢？他照样嚷嚷着要找人打架，照样在街上横冲直撞，好像那神之眼从来就没在他身上闪耀过一样。这事儿啊，得掰开了揉碎了说。首先，得看看一斗这人.............
-
这个问题问得相当有意思，也触及到了明末那段复杂而动荡的历史的关键点。你提到的“松锦之战”和清军“前几年进关劫掠”这两件事，虽然都是明清在辽东和关内地区的军事对抗，但发生在不同的时间节点，面对的情况也大相径庭。简单地说，明军在松锦之战时已经是有备而来，而清军进关劫掠时，明朝的应对能力和战略部署都还远远.............
-
在《水浒传》中，“智取生辰纲”无疑是其中最精彩、最令人津津乐道的章节之一。故事精彩，情节跌宕，让人读来拍案叫绝。但细细品味，其中有一个细节却一直萦绕在不少读者心头，让人觉得颇为蹊跷：消息泄露的速度，快得有些不合常理。话说这生辰纲，是朝廷为了给太师生辰准备的厚礼，由七名官军护送，一路从东京而来。这般重.............
-
孙科，这位国民党元老孙中山的儿子，在我们对历史人物的评价和记忆中，确实常常显得“不那么显眼”，甚至被许多人戏称为“跑龙套”的。这种感觉并非空穴来风，而是源于他一生复杂的政治经历、相对温和的行事风格，以及他身上始终背负的“孙中山之子”的光环所带来的双重影响。首先，我们来梳理一下孙科的政治生涯，看看他究.............
-
.......
-
这是一个非常有趣且值得深入探讨的问题，它涉及到战争形态、军事技术、士气维持、指挥体系乃至社会心理等多个层面的变化。简单地说，近代战争能够承受极低的伤亡率依然保持阵地，而古代战争稍有损失就可能崩溃，其根本原因在于近代战争体系的整体效率和韧性远超古代，并且其核心驱动力和战场管理机制发生了根本性转变。下面.............
-
理解你的困惑！在Pixiv上画东方同人，作品收藏数只有个位数，确实会让人有些失落，尤其是当你倾注了时间和心血之后。别灰心，这在同人创作圈里其实相当普遍。让我来帮你梳理一下，为什么你的东方同人作品可能收藏数不高，以及我们可以从哪些方面去优化，让你的画技和热情能被更多人看到。咱们先把AI写作的痕迹都踢出.............
-
戚继光在东南沿海抗击倭寇的年代，确实创造了许多令人惊叹的战绩，其中“鸳鸯阵”更是其中的佼佼者。它之所以能以相对较小的伤亡取得巨大的胜利，并非一蹴而就，而是集当时军事思想、战术创新、武器发展以及士兵训练于一体的综合性结果。我们一点点来捋清楚其中的门道。首先，得明确一点，戚继光“以个位数的伤亡杀敌上千”.............
-
中国经济发展过程中，地区间的不平衡以及贫富差距的扩大，是两个长期存在且相互交织的复杂问题。要深入理解这两点，我们需要从历史、政策、结构和社会等多个维度去剖析。一、 地区经济发展不平衡的根源与表现中国幅员辽阔，各地自然资源禀赋、地理区位、历史文化、人口密度都存在巨大差异，这为地区经济发展的不平衡埋下了.............
-
这就像一个数字的“黑洞”，一旦你进入这个过程，无论你最开始输入什么数字，最终都会被吸入一个特定的数值。这个“黑洞”就是我们常说的“不动点”或者“吸引子”。要理解为什么是 0.73 几，我们需要先了解一下 `cos` 函数的性质。`cos` 函数，也就是余弦函数，它的输入是我们熟悉的角度（通常是弧度制.............
-
这可真是一个有意思的问题！我们聊聊为什么那些以1、3、7、9结尾的素数，好像数量分布上挺“平均”的。这背后其实藏着一些数学上的规律，虽然说“基本相同”可能有点绝对，但确实有这么个意思。咱们先排除掉一些素数。你想啊，大于5的素数，它能以什么结尾？ 0结尾： 别想了，任何大于0的数，只要结尾是0，肯.............
-
理解这个问题，我们需要先明确几个关键概念：有限域、多项式以及根（解）。1. 有限域是什么？想象一下，我们日常生活中用的数字是无限的，比如整数、实数等等。而有限域，顾名思义，它是一个“小小的”、只有有限多个元素的数字系统。在这个系统里，加法、减法、乘法、除法（除了除以零）都跟我们熟悉的运算一样，但结果.............
-
“n r = 基础解系的个数” 这个结论源自线性代数中关于齐次线性方程组和向量空间的概念。为了详细解释这个原因，我们需要一步步地深入理解相关概念。 核心概念：1. 齐次线性方程组 (Homogeneous Linear System): 形式为 $Ax = 0$ 的线性方程组，其中 $A$.............
-
这个问题很有意思，也触及到了我们理解世界和现实的核心。不过，要回答“一共有多少个维度”，以及“每个维度各是什么意思”，我们需要先明确一个前提：我们讨论的是哪种“维度”。因为“维度”这个词在不同的语境下，含义可以天差地别。1. 哲学与认知层面的维度：我们如何理解和描述世界？如果我们从最基础的、我们人类.............
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有