为什么随便在计算器上按个数，然后多次按 cos 键，结果总是趋近于 0.73几？
要理解为什么是 0.73 几，我们需要先了解一下 `cos` 函数的性质。`cos` 函数，也就是余弦函数，它的输入是我们熟悉的角度（通常是弧度制），输出是这个角度在单位圆上对应的 x 坐标。它的值域永远在 1 到 1 之间。
过程是这样的：
1. 你输入一个数字。 这个数字可以是你随便想到的，比如 5.21、100、0.314159，都可以。
2. 你按下 `cos` 键。 这里的 `cos` 函数，在你用计算器时，通常默认使用的是弧度制。这是一个非常关键的点。计算器输入的是一个数值，它会将其当作弧度值来计算余弦。
3. 得到一个新的结果。 这个结果一定是在 1 和 1 之间。
4. 你再次按下 `cos` 键。 这就相当于把上一步的结果，当作新的输入值，再次进行余弦计算。
5. 重复这个过程。 不断地将上一步的计算结果作为下一步的输入。
为什么会趋近于一个固定值？
想象一下，你输入一个数字 `x`。
第一次计算得到 `cos(x)`。
第二次计算得到 `cos(cos(x))`。
第三次计算得到 `cos(cos(cos(x)))`。
……
这样下去，直到我们得到 `y`，使得 `cos(y) = y`。
这个 `y` 就是我们一直在寻找的那个“不动点”。
为什么会有一个不动点？
`cos` 函数是一个连续的函数。如果把我们反复迭代的过程看作是一个函数 `f(x) = cos(x)`，那么我们就是在计算 `f(f(f(...f(x)...)))`。
数学上有个非常重要的定理叫做不动点定理。对于某些函数（比如压缩映射），无论你从哪个初始值开始迭代，最终都会收敛到一个固定的点，那个点就是不动点。
`cos(x)` 函数虽然不是严格意义上的压缩映射，但在实数范围内，它的迭代行为表现出了很强的收敛性。
那么，这个 0.73 几是怎么来的？
这个数字是一个超越数，不是一个简单的分数或整数。它是 `cos(x) = x` 这个方程的唯一实数解。
用图形来理解：
你可以画出函数 `y = cos(x)` 的图像。
同时，你也可以画出直线 `y = x`。
这两个图像的交点，就是满足 `cos(x) = x` 的 `x` 值。
当你反复计算 `cos` 时，就相当于你从一个随机的 `x` 值出发，沿着 `y = x` 这条线走，然后垂直地走到 `y = cos(x)` 的曲线上，再水平地回到 `y = x` 这条线，再垂直到 `y = cos(x)` 的曲线上…… 如此循环往复，你最终会“卡”在 `y = x` 和 `y = cos(x)` 相交的那一点上。
为什么是 0.73 几，而不是 0.5 几或者 1.2 几？
角度制（弧度 vs. 角度）： 如果你的计算器设置的是角度制（Degree），你输入 5.21，按下 `cos`，得到的是 `cos(5.21°) `，这个值会非常接近 1。但如果你不断计算 `cos(cos(...cos(5.21°)...))`，它会趋近于 `cos(x) = x` 在角度制下的解。但通常计算器的默认是弧度制。0.73 几这个值，就是弧度制下的那个特殊解。
`cos` 函数的形状： `cos` 函数的图像以及 `y = x` 直线的位置决定了这个交点的具体数值。`cos(x)` 在 0 附近的值比较接近 1，而且增长速度在 0 附近比较平缓。当 `x` 变大或变小时，`cos(x)` 的值会下降。这个“拉扯”的过程，最终将所有可能的输入“拉”到了 0.73 几这个点。
为什么任何数字都会趋近于它？
`cos` 函数的值域限制： 每次计算 `cos`，结果都会被限制在 [1, 1] 之间。
收敛性： 尽管我们开始的数字可能是 100，甚至是 10000，但第一个 `cos(100)` 就会把它拉回到 [1, 1] 的范围。然后，在 [1, 1] 这个区间内，`cos` 函数的迭代会以非常快的速度收敛到那个不动点。
比如，从 0.5 开始：`cos(0.5) ≈ 0.877`。
再来一次：`cos(0.877) ≈ 0.639`。
再来一次：`cos(0.639) ≈ 0.802`。
再来一次：`cos(0.802) ≈ 0.696`。
你会发现，虽然看起来还在跳动，但它在以一种“螺旋下降”的方式，越来越接近那个最终的稳定值。
总结一下：
你反复按 `cos` 键的过程，实际上是在进行一个迭代计算：`x_{n+1} = cos(x_n)`。
当这个序列收敛时，它会收敛到一个不动点，也就是满足 `x = cos(x)` 的值。
这个方程在弧度制下有一个唯一的实数解，大约是 0.739085。
由于 `cos` 函数的特殊性质，无论你从哪个数字开始，经过几次迭代，你的结果都会被“拉”到这个不动点附近。
所以，下次你用计算器随便按几个数字再按几次 `cos`，你看到的那个数字，其实是数学中一个非常有趣的不动点在现实中的小小体现。它就像一个数字世界的“黑洞”，把你输入的一切最终都引向了一个唯一的归宿。
网友意见
泻药
看到0.73几我就放心了
你很可能已经是个高中生了
毕竟计算器是弧度模式才是0.739085……
不难发现
如果解方程cos（x）=x
那么解就是这个数
那么这个数有什么意义呢……
没想好，想到再更
————————————————
想起一件事情
它之所以会从两侧不停向0.739靠拢
取决于函数cos（x）的性质
按了许多次相当于
cos(cos(cos(.......cos(x)))))))))).....)
无论x多大
在第一个cos之后就被限制在了-1到1间
再cos一下
负数也变成正数了
最后不断收缩范围（原因是cos（x）求导之后为sin，一定小于1）
就有了0.739这个
————————————————
好吧……
如果再深入一些，会发现
设x=0.7390851……
那么arccos x=x
这个数其实就是arccos与cos函数的交点（也就是说cos（x）=x）
———————-分割线——————
一晚上过去突然火了？？？
谢谢各位支持哈（折叠鞠躬）
这个过程实际上是数值计算方法中解方程的迭代方法之一——不动点迭代法（也称为简单迭代法）。
单行显示的计算器上输入一个数之后一直按[cos]键，或者双行显示以及其他更高级显示方式的计算器上输入一个数并计算之后，然后输入“cos(Ans)”再一直按[=]键，都是这样的过程。（注意是弧度制，角度单位必须统一，否则这样的迭代过程没有意义。）
在这个过程中，把每一次计算的结果（设为x）作为cos函数的自变量执行cos(x)的计算，这个计算的结果又被当成x，然后再计算cos(x)……如此循环往复，最后其实就是得到了方程x＝cos(x)的数值解。例如fx-991CN X是这样算的：
我们再把这个过程放到函数图象上看，这时就很清晰了：
假设我们从y＝x＝1开始，红色的箭头是迭代过程，黄色的圆圈所圈出的点就是每一步迭代计算的结果。黄色的圆圈逐渐逼近y＝x和y＝cos(x)的交点，不断地重复计算，这个圆圈所圈出来的点的纵坐标就越接近方程x＝cos(x)的解。
有朋友需要继续讲一讲不动点迭代法的收敛性，也有朋友询问这个方法的用途，这里就再补充一下好了。用途当然就是解一些难以手算求解的方程了，不过速度会有些慢。
我们先给出不动点迭代法（简单迭代法）的两个收敛定理（相关证明可以参考一些数值分析的教材）
定理1 大范围收敛定理
设函数 在 上连续，在 上可导，且满足以下两个条件：
（1）当 时， ；
（2）当 时， ，其中 为一常数。
则有如下结论：
（1）方程 在 上有唯一的根 ；
（2）对 ，迭代公式 产生的数列 且收敛于 。
定理2 局部收敛定理
设 ， 在包含 的某个开区间内连续。如果 ，则存在 ，当 时，由迭代公式 产生的数列 且收敛于 。
定理1指定了一个固定的区间 ，在这个区间里面任取一点 作为初始值，迭代都是收敛的。
定理2没有指出 的值是多少，只是说明了它的存在性。所以在满足定理2的条件时，只要 足够接近 ，迭代公式产生的数列都能收敛于 。
我们回到原来的问题中。迭代公式 ，根据定理1，
“随便在计算器上按个数”的意思就是任取一个 ，那么第一次按下[cos]键或执行“cos(Ans)”计算都能使得 ；
再迭代一次， ，
根据余弦函数的性质，对于 以后的 ，都能满足 。
然后这个时候的 时，都有 ，
即 。
这样定理1的两个条件都满足了，当然也就能确定以下结论：
（1）方程 在 上有唯一的根 ；
（2）对 ，迭代公式 产生的数列 且收敛于 。
经过计算器实际的计算，我们可以得到 。
我们再举一个例子：求解方程 。
构造函数 ，我们可以发现：
， ，
且当 时， 。
把这个方程写成迭代的形式： ，根据定理1，
由定理1可知在 上必有一个根，且在区间 内任取迭代的初始值，数列 必定会收敛于根 。
例如取 ，然后开始迭代。
我们仍然使用CASIO fx-991CN X计算器，为了更方便地看清迭代的过程，先把计算器设置为线性输入方式（按[SHIFT]、[菜单]、[1]、[3]），然后设置小字体（按[SHIFT]、[菜单]、[↑]、[↑]、[4]、[2]），先输入3，按[=]，再输入迭代式ln(Ans)+2，然后一直按[=]，得到下面的结果：
所以方程 的近似根就是 ，计算器给出的这个结果能保证显示的10位有效数字都是足够精确的。
除了不动点迭代法之外，还有其他更好的方程的迭代解法，例如牛顿法就是一个很好的例子。在一些功能较多的科学计算器上，例如我们这里用的CASIO fx-991CN X，上面带有一个“SOLVE”功能，就是专门用来求方程的数值解的，它所采用的方法是牛顿法。
牛顿法的收敛速度一般要比不动点迭代法快很多，在计算器上我们可以直接输入方程（方程中的等于号按[ALPHA]、[CALC]输入），按[SHIFT]、[CALC]进入SOLVE功能，指定一个迭代的初始值，立刻就能给出解。例如：
不仅如此，在SOLVE功能之外，我们还可以在计算器上还能用牛顿法的原理来求复系数方程、带有定积分或者导数的方程。感兴趣的朋友可以阅读以下的文章：
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