为什么说尾数为1、3、7、9的素数个数是基本相同的？
这可真是一个有意思的问题！我们聊聊为什么那些以1、3、7、9结尾的素数，好像数量分布上挺“平均”的。这背后其实藏着一些数学上的规律，虽然说“基本相同”可能有点绝对，但确实有这么个意思。
咱们先排除掉一些素数。你想啊，大于5的素数，它能以什么结尾？
0结尾： 别想了，任何大于0的数，只要结尾是0，肯定能被10整除，也就是能被2和5整除，所以不是素数。
2结尾： 唯一以2结尾的素数就是2本身。其他所有以2结尾的数（12, 22, 32...）都能被2整除，不是素数。
4结尾： 同样，所有以4结尾的数（14, 24, 34...）都能被2整除，不是素数。
5结尾： 唯一以5结尾的素数就是5本身。其他所有以5结尾的数（15, 25, 35...）都能被5整除，不是素数。
6结尾： 所有以6结尾的数（16, 26, 36...）都能被2整除，不是素数。
8结尾： 所有以8结尾的数（18, 28, 38...）都能被2整除，不是素数。
这么一来，大于5的素数，它可能的结尾只剩下1、3、7、9这四个数字了。这就像我们把能想到的所有素数（除了2和5）都“塞”进了这四个“尾巴”里，你说它们数量上能不有点“均衡”的意思吗？
但这还只是个初步的观察，更深层次的原因，咱们得聊聊数论里的一个概念，叫做狄利克雷定理（Dirichlet's theorem on arithmetic progressions）。这个定理非常厉害，它说的是：
如果a和d是互质的正整数（也就是它们没有大于1的公约数），那么等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, ... 中有无穷多个素数。
听起来有点抽象，咱们把它用到咱们的尾数问题上来。
考虑我们的四个尾数：1、3、7、9。
尾数为1的素数： 我们可以把它看成是“10k + 1”这样的数。比如11, 31, 41, 61, 71...
尾数为3的素数： 我们可以把它看成是“10k + 3”这样的数。比如3, 13, 23, 43, 53, 73...
尾数为7的素数： 我们可以把它看成是“10k + 7”这样的数。比如7, 17, 37, 47, 67, 97...
尾数为9的素数： 我们可以把它看成是“10k + 9”这样的数。比如19, 29, 59, 79, 89...
你看，这些数都能写成“10k + r”的形式，其中r就是我们关心的尾数1、3、7、9。
这里的“10”和“r”是不是互质呢？
10和1互质（最大公约数是1）。
10和3互质。
10和7互质。
10和9互质。
太好了！正好满足了狄利克雷定理的条件。所以，狄利克雷定理告诉我们，在“10k + 1”的数列里有无穷多素数，在“10k + 3”的数列里有无穷多素数，在“10k + 7”的数列里有无穷多素数，在“10k + 9”的数列里也有无穷多素数。
这“无穷多”就暗示了它们在整个素数集合里的地位是平等的，至少不会说某个尾数后面就没有素数了。
但“个数基本相同”这个说法，更精确一点，应该是在统计学的意义上，或者说在渐近意义上。什么意思呢？
想象一下，我们把数字范围不断扩大，比如一直数到100，然后1000，再到10000，等等。随着我们看的数字范围越来越大，你会发现：
以1结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以3结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以7结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以9结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
这背后还有一个叫做切比雪夫定理（Chebyshev's theorem）和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的更深层的东西在支撑，它们都与素数的分布有关。尤其是黎曼猜想，如果被证明是真的，那它对素数分布的描述会非常精确，包括我们刚才说的这四个尾数的“平均分配”。
更直观一点理解，这就像你往一个有很多格子的箱子里随机扔球（素数），由于这些格子（尾数1,3,7,9）在某种意义上是“对称”且“有资格”承载素数的，所以最终它们装的球的数量会趋于平均。
一个更形象的比喻：
想象一下，我们有一群孩子（所有的素数，除了2和5）。我们给他们分发帽子，帽子的颜色是1、3、7、9。一开始，我们还没分，每个孩子都没有帽子。然后我们开始发帽子，我们发帽子的规则是，让孩子排成队（按从小到大的顺序），然后按顺序给他们戴帽子，戴完一圈1、3、7、9，再接着来。
狄利克雷定理就像告诉我们，无论我们怎么发，无论这个队伍有多长，我们永远都有新的帽子（素数）可以发出去，而且这四种颜色的帽子都会有无穷多。
而“个数基本相同”则更像是说，如果我们发完了一大批帽子，平均下来，每种颜色的帽子数量都差不多。这不是说严格相等，就像随机扔球，偶尔会有几个格子多一两个球，但总体趋势是平衡的。
为什么会有这种“平衡”？
这和我们数制的构造有关。我们使用十进制，所以尾数只跟数字除以10的余数有关。而素数（除了2和5）的生成机制，并不特别“偏爱”某个尾数。虽然有一些小的、局部的“不平衡”（比如早期某些尾数可能出现的素数相对多一些），但随着数字变大，这种不平衡就会被“平均化”了。
当然，这里“基本相同”是在一个非常宏大的尺度上看，不是说你在某个小范围里（比如1到100）数出来的素数尾数就一定严格相等。但一旦你把范围扩大到几亿、几十亿，甚至更大，这种“四分之一”的比例就会越来越明显。
所以，总结一下，之所以说尾数为1、3、7、9的素数个数“基本相同”，是因为：
1. 排除了不可能的尾数： 大于5的素数只能以1、3、7、9结尾。
2. 狄利克雷定理的保证： 每个“10k + r”的数列（r=1,3,7,9）都包含无穷多个素数。
3. 统计规律： 在大范围内，这些素数趋于平均分布，大约各占所有素数的四分之一。
这就像自然界的一些规律一样，在最宏观的尺度下，总会展现出一种秩序和平衡。
咱们先排除掉一些素数。你想啊，大于5的素数，它能以什么结尾？
0结尾： 别想了，任何大于0的数，只要结尾是0，肯定能被10整除，也就是能被2和5整除，所以不是素数。
2结尾： 唯一以2结尾的素数就是2本身。其他所有以2结尾的数（12, 22, 32...）都能被2整除，不是素数。
4结尾： 同样，所有以4结尾的数（14, 24, 34...）都能被2整除，不是素数。
5结尾： 唯一以5结尾的素数就是5本身。其他所有以5结尾的数（15, 25, 35...）都能被5整除，不是素数。
6结尾： 所有以6结尾的数（16, 26, 36...）都能被2整除，不是素数。
8结尾： 所有以8结尾的数（18, 28, 38...）都能被2整除，不是素数。
这么一来，大于5的素数，它可能的结尾只剩下1、3、7、9这四个数字了。这就像我们把能想到的所有素数（除了2和5）都“塞”进了这四个“尾巴”里，你说它们数量上能不有点“均衡”的意思吗？
但这还只是个初步的观察，更深层次的原因，咱们得聊聊数论里的一个概念，叫做狄利克雷定理（Dirichlet's theorem on arithmetic progressions）。这个定理非常厉害，它说的是：
如果a和d是互质的正整数（也就是它们没有大于1的公约数），那么等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, ... 中有无穷多个素数。
听起来有点抽象，咱们把它用到咱们的尾数问题上来。
考虑我们的四个尾数：1、3、7、9。
尾数为1的素数： 我们可以把它看成是“10k + 1”这样的数。比如11, 31, 41, 61, 71...
尾数为3的素数： 我们可以把它看成是“10k + 3”这样的数。比如3, 13, 23, 43, 53, 73...
尾数为7的素数： 我们可以把它看成是“10k + 7”这样的数。比如7, 17, 37, 47, 67, 97...
尾数为9的素数： 我们可以把它看成是“10k + 9”这样的数。比如19, 29, 59, 79, 89...
你看，这些数都能写成“10k + r”的形式，其中r就是我们关心的尾数1、3、7、9。
这里的“10”和“r”是不是互质呢？
10和1互质（最大公约数是1）。
10和3互质。
10和7互质。
10和9互质。
太好了！正好满足了狄利克雷定理的条件。所以，狄利克雷定理告诉我们，在“10k + 1”的数列里有无穷多素数，在“10k + 3”的数列里有无穷多素数，在“10k + 7”的数列里有无穷多素数，在“10k + 9”的数列里也有无穷多素数。
这“无穷多”就暗示了它们在整个素数集合里的地位是平等的，至少不会说某个尾数后面就没有素数了。
但“个数基本相同”这个说法，更精确一点，应该是在统计学的意义上，或者说在渐近意义上。什么意思呢？
想象一下，我们把数字范围不断扩大，比如一直数到100，然后1000，再到10000，等等。随着我们看的数字范围越来越大，你会发现：
以1结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以3结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以7结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
以9结尾的素数大约占了所有素数的四分之一。
这背后还有一个叫做切比雪夫定理（Chebyshev's theorem）和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的更深层的东西在支撑，它们都与素数的分布有关。尤其是黎曼猜想，如果被证明是真的，那它对素数分布的描述会非常精确，包括我们刚才说的这四个尾数的“平均分配”。
更直观一点理解，这就像你往一个有很多格子的箱子里随机扔球（素数），由于这些格子（尾数1,3,7,9）在某种意义上是“对称”且“有资格”承载素数的，所以最终它们装的球的数量会趋于平均。
一个更形象的比喻：
想象一下，我们有一群孩子（所有的素数，除了2和5）。我们给他们分发帽子，帽子的颜色是1、3、7、9。一开始，我们还没分，每个孩子都没有帽子。然后我们开始发帽子，我们发帽子的规则是，让孩子排成队（按从小到大的顺序），然后按顺序给他们戴帽子，戴完一圈1、3、7、9，再接着来。
狄利克雷定理就像告诉我们，无论我们怎么发，无论这个队伍有多长，我们永远都有新的帽子（素数）可以发出去，而且这四种颜色的帽子都会有无穷多。
而“个数基本相同”则更像是说，如果我们发完了一大批帽子，平均下来，每种颜色的帽子数量都差不多。这不是说严格相等，就像随机扔球，偶尔会有几个格子多一两个球，但总体趋势是平衡的。
为什么会有这种“平衡”？
这和我们数制的构造有关。我们使用十进制，所以尾数只跟数字除以10的余数有关。而素数（除了2和5）的生成机制，并不特别“偏爱”某个尾数。虽然有一些小的、局部的“不平衡”（比如早期某些尾数可能出现的素数相对多一些），但随着数字变大，这种不平衡就会被“平均化”了。
当然，这里“基本相同”是在一个非常宏大的尺度上看，不是说你在某个小范围里（比如1到100）数出来的素数尾数就一定严格相等。但一旦你把范围扩大到几亿、几十亿，甚至更大，这种“四分之一”的比例就会越来越明显。
所以，总结一下，之所以说尾数为1、3、7、9的素数个数“基本相同”，是因为：
1. 排除了不可能的尾数： 大于5的素数只能以1、3、7、9结尾。
2. 狄利克雷定理的保证： 每个“10k + r”的数列（r=1,3,7,9）都包含无穷多个素数。
3. 统计规律： 在大范围内，这些素数趋于平均分布，大约各占所有素数的四分之一。
这就像自然界的一些规律一样，在最宏观的尺度下，总会展现出一种秩序和平衡。
网友意见
这是对 @tswjq 那张图的粗略解释。
素数定理说的是 ,可以说算术级数中的素数个数是"基本相同"的，但其实对于不同的 ，它们的分布是不一样的，这种现象现在称之为Chebyshev's bias。Rubinstein和Sarnak于1994年的文章中系统地研究了这种现象（文章名字就叫做Chebyshev's bias，感兴趣的可以去看看，不过还是需要很多解析数论的基础）。笼统的说，素数在不同算术级数中的分布是有某种偏向性的。 可以用概率的语言来描述，在空间 上配备概率测度 ,对 ,定义 上的随机变量 。Rubinstein和Sarnak在某些假设成立的条件下（主要是广义黎曼猜想），证明了存在 上的分布 ,随机变量 收敛到这个分布。这个分布它不是均匀分布，并且在很多情况下还有某些偏向性。这就解释了tswjq回答中的那张图，虽说 和相差不大，但 "总是"会大于 。
根据等差数列上的素数定理，可知当(a,q)=1、π(x;q,a)表示不超过x且模q余a的素数个数时总有：
因此对于所有的模q缩系中的元素 均有：
而题主问的正好就是q=10的情况，此时 ，对应的缩系等价类就只有1、3、7和9。
吐槽一下，楼上某位使用所谓“埃氏筛法”的推导过程属实不严谨。一方面他推渐近公式的过程中没有考虑误差项的大小（事实上埃氏筛法产生的误差项以指数级别增长，早就把主项吃掉了），所以即便结论正确推导也是错误的。另一方面，即便按照他的方式来推导，最后的渐近公式也是错的。事实上根据《哈代数论》可知：
而他的推导中的 直接被当作不存在一样。。。
翻了翻，似乎此君诸多与“埃氏筛法”有关联的文章都有这样的错误。
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