如何计算CNN中batch normalization的计算复杂度（FLOPs）？
咱们来聊聊卷积神经网络（CNN）里那玩意儿——Batch Normalization（BN）的计算复杂度，也就是俗称的FLOPs。别被那些花里胡哨的术语吓到，其实拆开了看，它比你想象的要简单。
首先，咱们得明白BN在CNN里扮演的角色。它主要是在每一层的激活函数之前，对一批（batch）数据进行归一化处理，这样做的目的是为了让模型的训练更稳定，收敛更快，而且还能在一定程度上减轻过拟合。BN做的核心操作就是：
1. 计算均值（Mean）: 对输入特征图（feature map）的每一个通道，在当前这个batch的所有空间位置上求平均。
2. 计算方差（Variance）: 同样是对输入特征图的每一个通道，在当前这个batch的所有空间位置上求方差。
3. 归一化（Normalization）: 用计算出来的均值和方差，对每个元素进行减均值除以标准差的操作。
4. 尺度缩放和偏移（Scale and Shift）: BN层还会学习两个参数——gamma（γ）和beta（β），将归一化后的结果乘以γ再加上β。
好，咱们就从这几个步骤来拆解FLOPs。假设我们有一个输入特征图，它的尺寸是：
`C`：通道数 (Channels)
`H`：高度 (Height)
`W`：宽度 (Width)
而我们处理的batch size是`N`。
1. 计算均值（Mean）
对于一个通道，我们需要遍历`N H W`个元素来计算它们的和，然后再除以`N H W`得到平均值。
乘法和加法通常被算作1个FLOP。所以，计算一个通道的和需要大约 `N H W 1` 次加法（为了简化，我们经常近似为 `N H W` 次加法）。然后除以 `N H W` 是一次除法。
总共有 `C` 个通道，所以计算所有通道的均值，大约需要 `C (N H W)` 次加法 + `C` 次除法。
近似计算： 很多人在计算FLOPs时，会把加法和乘法都视为FLOP。求和过程中，`N H W 1` 次加法，最后一次除法。如果把所有加法和乘法都算作FLOP，那么计算均值需要大约 `C N H W` 个FLOPs。
2. 计算方差（Variance）
计算方差（通常是无偏方差）的公式是 `E[(X μ)^2]`，也就是先计算 `(X μ)^2`，然后求这个值的平均。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次减法 (X μ)
`N H W` 次乘法 ((X μ)^2)
`N H W 1` 次加法（对 (X μ)^2 求和）
1 次除法（平均）
总共大约 `(N H W) + (N H W) + (N H W 1) + 1 ≈ 3 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以计算所有通道的方差大约需要 `C 3 N H W` 个FLOPs。
注意： 在实际实现中，有些会先计算 `E[X^2]`，然后用 `E[X^2] (E[X])^2` 来计算方差，这样操作可能会略有不同，但数量级是差不多的。
3. 归一化（Normalization）
这一步是 `(X μ) / sqrt(σ^2 + ε)`。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次减法 (X μ) 这个值我们在计算方差时已经算出来了，可以复用。
`N H W` 次加法 (+ ε)
`N H W` 次开方 (sqrt) 开方运算通常比乘除法复杂，有时会被单独计算，但为了简化，有时也算作1 FLOP。
`N H W` 次除法 (/ sqrt(...))
总共大约 `(N H W) + (N H W) + (N H W) + (N H W) = 4 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以归一化操作大约需要 `C 4 N H W` 个FLOPs。
4. 尺度缩放和偏移（Scale and Shift）
这一步是 `γ normalized_X + β`。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次乘法 (γ normalized_X)
`N H W` 次加法 (+ β)
总共大约 `2 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以尺度缩放和偏移操作大约需要 `C 2 N H W` 个FLOPs。
总的FLOPs计算（运行时/训练时）
把上面的FLOPs加起来，我们得到BN层在运行时（inference） 或 训练时（training） 的总FLOPs（近似）：
`Total FLOPs ≈ C N H W` (均值) + `C 3 N H W` (方差) + `C 4 N H W` (归一化) + `C 2 N H W` (缩放偏移)
`Total FLOPs ≈ C N H W (1 + 3 + 4 + 2)`
`Total FLOPs ≈ C N H W 10`
重要说明：
1. 均值和方差的计算是关键： 在训练时，BN确实需要计算batch的均值和方差。这部分FLOPs与`N`（batch size）成正比。
2. 运行时（Inference）的优化： 这是非常非常重要的一点！在模型推理（inference） 时，我们不再需要实时计算batch的均值和方差。取而代之的是，BN层会维护一个全局的均值和方差（running mean and running variance），这些值是在整个训练过程中通过指数移动平均（exponential moving average）累积下来的。
因此，在推理时，BN层就变成了一个非常简单的线性变换：`y = γ (x running_mean) / sqrt(running_variance + ε) + β`。
这个公式可以进一步合并： `y = (γ / sqrt(running_variance + ε)) x + (β γ running_mean / sqrt(running_variance + ε))`。
也就是说，在推理时，BN层可以被合并到前面的卷积层或全连接层中。例如，对于一个卷积层 `Conv(x) = W x + b`，其输出经过BN后是 `BN(Conv(x)) = γ' Conv(x) + β'` （这里 `γ'` 和 `β'` 是BN的最终合并参数），这等价于 `γ' (W x + b) + β' = (γ' W) x + (γ' b + β')`。
所以，在推理时，BN层不产生额外的FLOPs，它的计算量已经融入到前面层的权重和偏置中了。通常我们计算模型FLOPs时，指的是推理时的FLOPs，所以BN层可以认为贡献0 FLOPs。
更细致的FLOPs计算（如果需要非常精确的话）
如果你真的想把每个加法、乘法、除法、开方都算清楚，可以这样做：
均值计算： `C (N H W 1)` 次加法 + `C` 次除法。
方差计算： `C N H W` 次减法 + `C N H W` 次乘法 + `C (N H W 1)` 次加法 + `C` 次除法。
归一化： `C N H W` 次减法 (可以复用) + `C N H W` 次加法 (+ ε) + `C N H W` 次开方 + `C N H W` 次除法。
缩放偏移： `C N H W` 次乘法 + `C N H W` 次加法。
将加法、减法、乘法、除法、开方都计为1 FLOP：
均值： `C (N H W + 1)`
方差： `C (3 N H W + 1)`
归一化： `C (3 N H W + 1)` （这里假设 (Xμ) 已经计算好，开方计为1 FLOP）
缩放偏移： `C 2 N H W`
总计： `C (N H W + 1) + C (3 N H W + 1) + C (3 N H W + 1) + C 2 N H W`
`= C (N H W + 1 + 3 N H W + 1 + 3 N H W + 1 + 2 N H W)`
`= C (9 N H W + 3)`
这仍然是近似值，但量级是 `C N H W` 的一个常数倍。
总结一下：
训练时： BN层会增加计算量，主要集中在batch均值和方差的计算上，FLOPs大致与 `C N H W` 成正比。
推理时： BN层可以被合并到前一层，不产生额外的FLOPs。在评估一个模型的FLOPs时，通常指的是推理时的FLOPs，所以BN层被认为贡献 0 FLOPs。
所以，当你看到“CNN中BN的FLOPs”这个问题时，最好的回答是：在推理阶段，BN层可以被有效融合，不产生额外的计算量，因此通常计为0 FLOPs。 如果你是在讨论训练过程的开销，那才需要考虑batch均值方差的计算。
很多时候，提到FLOPs，大家默认是指模型推理时所需的计算量，所以BN的FLOPs为0是一个非常普遍且正确的说法。
首先，咱们得明白BN在CNN里扮演的角色。它主要是在每一层的激活函数之前，对一批（batch）数据进行归一化处理，这样做的目的是为了让模型的训练更稳定，收敛更快，而且还能在一定程度上减轻过拟合。BN做的核心操作就是：
1. 计算均值（Mean）: 对输入特征图（feature map）的每一个通道，在当前这个batch的所有空间位置上求平均。
2. 计算方差（Variance）: 同样是对输入特征图的每一个通道，在当前这个batch的所有空间位置上求方差。
3. 归一化（Normalization）: 用计算出来的均值和方差，对每个元素进行减均值除以标准差的操作。
4. 尺度缩放和偏移（Scale and Shift）: BN层还会学习两个参数——gamma（γ）和beta（β），将归一化后的结果乘以γ再加上β。
好，咱们就从这几个步骤来拆解FLOPs。假设我们有一个输入特征图，它的尺寸是：
`C`：通道数 (Channels)
`H`：高度 (Height)
`W`：宽度 (Width)
而我们处理的batch size是`N`。
1. 计算均值（Mean）
对于一个通道，我们需要遍历`N H W`个元素来计算它们的和，然后再除以`N H W`得到平均值。
乘法和加法通常被算作1个FLOP。所以，计算一个通道的和需要大约 `N H W 1` 次加法（为了简化，我们经常近似为 `N H W` 次加法）。然后除以 `N H W` 是一次除法。
总共有 `C` 个通道，所以计算所有通道的均值，大约需要 `C (N H W)` 次加法 + `C` 次除法。
近似计算： 很多人在计算FLOPs时，会把加法和乘法都视为FLOP。求和过程中，`N H W 1` 次加法，最后一次除法。如果把所有加法和乘法都算作FLOP，那么计算均值需要大约 `C N H W` 个FLOPs。
2. 计算方差（Variance）
计算方差（通常是无偏方差）的公式是 `E[(X μ)^2]`，也就是先计算 `(X μ)^2`，然后求这个值的平均。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次减法 (X μ)
`N H W` 次乘法 ((X μ)^2)
`N H W 1` 次加法（对 (X μ)^2 求和）
1 次除法（平均）
总共大约 `(N H W) + (N H W) + (N H W 1) + 1 ≈ 3 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以计算所有通道的方差大约需要 `C 3 N H W` 个FLOPs。
注意： 在实际实现中，有些会先计算 `E[X^2]`，然后用 `E[X^2] (E[X])^2` 来计算方差，这样操作可能会略有不同，但数量级是差不多的。
3. 归一化（Normalization）
这一步是 `(X μ) / sqrt(σ^2 + ε)`。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次减法 (X μ) 这个值我们在计算方差时已经算出来了，可以复用。
`N H W` 次加法 (+ ε)
`N H W` 次开方 (sqrt) 开方运算通常比乘除法复杂，有时会被单独计算，但为了简化，有时也算作1 FLOP。
`N H W` 次除法 (/ sqrt(...))
总共大约 `(N H W) + (N H W) + (N H W) + (N H W) = 4 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以归一化操作大约需要 `C 4 N H W` 个FLOPs。
4. 尺度缩放和偏移（Scale and Shift）
这一步是 `γ normalized_X + β`。
对于一个通道，我们需要：
`N H W` 次乘法 (γ normalized_X)
`N H W` 次加法 (+ β)
总共大约 `2 N H W` 个FLOPs。
因为有 `C` 个通道，所以尺度缩放和偏移操作大约需要 `C 2 N H W` 个FLOPs。
总的FLOPs计算（运行时/训练时）
把上面的FLOPs加起来，我们得到BN层在运行时（inference） 或 训练时（training） 的总FLOPs（近似）：
`Total FLOPs ≈ C N H W` (均值) + `C 3 N H W` (方差) + `C 4 N H W` (归一化) + `C 2 N H W` (缩放偏移)
`Total FLOPs ≈ C N H W (1 + 3 + 4 + 2)`
`Total FLOPs ≈ C N H W 10`
重要说明：
1. 均值和方差的计算是关键： 在训练时，BN确实需要计算batch的均值和方差。这部分FLOPs与`N`（batch size）成正比。
2. 运行时（Inference）的优化： 这是非常非常重要的一点！在模型推理（inference） 时，我们不再需要实时计算batch的均值和方差。取而代之的是，BN层会维护一个全局的均值和方差（running mean and running variance），这些值是在整个训练过程中通过指数移动平均（exponential moving average）累积下来的。
因此，在推理时，BN层就变成了一个非常简单的线性变换：`y = γ (x running_mean) / sqrt(running_variance + ε) + β`。
这个公式可以进一步合并： `y = (γ / sqrt(running_variance + ε)) x + (β γ running_mean / sqrt(running_variance + ε))`。
也就是说，在推理时，BN层可以被合并到前面的卷积层或全连接层中。例如，对于一个卷积层 `Conv(x) = W x + b`，其输出经过BN后是 `BN(Conv(x)) = γ' Conv(x) + β'` （这里 `γ'` 和 `β'` 是BN的最终合并参数），这等价于 `γ' (W x + b) + β' = (γ' W) x + (γ' b + β')`。
所以，在推理时，BN层不产生额外的FLOPs，它的计算量已经融入到前面层的权重和偏置中了。通常我们计算模型FLOPs时，指的是推理时的FLOPs，所以BN层可以认为贡献0 FLOPs。
更细致的FLOPs计算（如果需要非常精确的话）
如果你真的想把每个加法、乘法、除法、开方都算清楚，可以这样做：
均值计算： `C (N H W 1)` 次加法 + `C` 次除法。
方差计算： `C N H W` 次减法 + `C N H W` 次乘法 + `C (N H W 1)` 次加法 + `C` 次除法。
归一化： `C N H W` 次减法 (可以复用) + `C N H W` 次加法 (+ ε) + `C N H W` 次开方 + `C N H W` 次除法。
缩放偏移： `C N H W` 次乘法 + `C N H W` 次加法。
将加法、减法、乘法、除法、开方都计为1 FLOP：
均值： `C (N H W + 1)`
方差： `C (3 N H W + 1)`
归一化： `C (3 N H W + 1)` （这里假设 (Xμ) 已经计算好，开方计为1 FLOP）
缩放偏移： `C 2 N H W`
总计： `C (N H W + 1) + C (3 N H W + 1) + C (3 N H W + 1) + C 2 N H W`
`= C (N H W + 1 + 3 N H W + 1 + 3 N H W + 1 + 2 N H W)`
`= C (9 N H W + 3)`
这仍然是近似值，但量级是 `C N H W` 的一个常数倍。
总结一下：
训练时： BN层会增加计算量，主要集中在batch均值和方差的计算上，FLOPs大致与 `C N H W` 成正比。
推理时： BN层可以被合并到前一层，不产生额外的FLOPs。在评估一个模型的FLOPs时，通常指的是推理时的FLOPs，所以BN层被认为贡献 0 FLOPs。
所以，当你看到“CNN中BN的FLOPs”这个问题时，最好的回答是：在推理阶段，BN层可以被有效融合，不产生额外的计算量，因此通常计为0 FLOPs。 如果你是在讨论训练过程的开销，那才需要考虑batch均值方差的计算。
很多时候，提到FLOPs，大家默认是指模型推理时所需的计算量，所以BN的FLOPs为0是一个非常普遍且正确的说法。
网友意见
下面分析在推理 (或者说测试) 时 BN 层的计算量:
设 是BN层的输入, 其尺寸为 ; 是BN层的moving mean, 是BN层的moving variance, 是BN层的scale, 是BN层的shift, 它们的尺寸均为 . 为了简化推导, 设 , 并令 , , , , , . 则BN层的输出的第k个通道为:
, 式中 是全1矩阵(而不是单位矩阵), 是一个很小的正数, 防止除零的发生.
令 , 则 . 由于 都是已知的, 和 可以预先计算 (NCNN中就是这样做的[1]), 在推理时不会占用额外的计算时间, 于是 的计算量只有 次乘法运算和 次加法运算, 对于C个通道计算量则有 次乘法运算和 次加法运算. 这个计算量相对于一般卷积层的计算量是很小的. 对于一般卷积则需要 次乘法运算, 次加法运算(有偏置项) 或 次加法运算(无偏置项), 这些符号可以顾名思义, 这里就不赘述了, 详细的推导可以参考[2].
另外如果网络采用Conv-BN-ReLU的设置, 则BN的参数还可以折叠 (fold) 到前面的卷积层的参数中, 这时BN的计算被包含到卷积的计算中了.
参考
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