无限群是否一定含无限阶元？无限群是否一定有无限多个子群？
关于无限群是否一定含无限阶元、以及是否有无限多个子群的问题，这是群论中非常基础且重要的话题。让我们一层层地剥开来，深入理解其中的缘由。
第一部分：无限群是否一定含无限阶元？
要回答这个问题，我们需要先明确什么是“无限阶元”。一个群 $G$ 中的元素 $g$ 称为有限阶元，如果存在一个正整数 $n$，使得 $g^n = e$，其中 $e$ 是群的单位元。如果不存在这样的正整数，那么 $g$ 就称为无限阶元。
现在，我们来思考一个无限群 $G$。无限群意味着群中元素的个数是无限的。那么，是否所有这些元素都是有限阶元呢？
结论是：无限群不一定含有无限阶元。
这似乎有点违反直觉，毕竟群是无限的，但其中的每个元素都可能在有限次操作后回到单位元。让我来举个例子，并从不同角度解释：
反例：构造一个无限群，其中所有元素都是有限阶元。
最经典的例子是凯莱（Cayley）图的概念。凯莱图可以用来可视化一个群的结构。另一种更直接的方式是构造一个模群。
考虑一个非常有名的群：整数加法群 $mathbb{Z}$。
这个群的元素是全体整数 $dots, 2, 1, 0, 1, 2, dots$，运算是加法。
单位元是 $0$。
这个群是无限的，因为有无限多个整数。
现在，我们来看它的元素：
元素 $1$： $1 eq 0$, $1+1 = 2 eq 0$, $1+1+1 = 3 eq 0$, ... 无论加多少次 $1$，都不会得到 $0$（除非是 $0$ 次，但我们讨论的是正整数次）。所以，$1$ 是一个无限阶元。
元素 $n$（非零整数）：对于任何非零整数 $n$， $n$ 的任何正整数次加法 $n+n+dots+n$ ( $k$ 次) 结果是 $kn$。如果 $kn=0$，由于 $n eq 0$，只能是 $k=0$。但我们考虑的是正整数次，所以 $kn$ 永远不会等于 $0$。因此，$n$ 也是一个无限阶元。
所以，整数加法群 $mathbb{Z}$ 是一个无限群，并且它含有无限阶元。这似乎支持了“无限群一定含无限阶元”的观点，但我们说的是“一定”，所以需要找一个反例。
真正的反例：考虑整数模 $n$ 加法群的直接积
让我们构建一个群，它的元素是所有整数的元组 $(a_1, a_2, a_3, dots)$，其中只有有限个 $a_i$ 是非零的，运算是分量相加（模一个数）。
一个更清晰且著名的反例是：两个循环群 $C_2 imes C_2 imes C_2 imes dots$ 的直积。
$C_2$ 是二阶循环群，它有两个元素：单位元 $e$ 和另一个元素 $a$，其中 $a^2 = e$。
我们考虑无限个 $C_2$ 的直积 $G = underbrace{C_2 imes C_2 imes C_2 imes dots}_{ ext{无限个}}$.
$G$ 的元素是形如 $(g_1, g_2, g_3, dots)$ 的元组，其中每个 $g_i in {e, a}$，且只有有限个 $g_i$ 是 $a$。
运算是分量相乘。
这个群 $G$ 是无限的，因为有无限多个位置可以放置 $a$。
现在来看 $G$ 中的元素：
考虑一个元素 $g = (a, e, e, e, dots)$。
$g^1 = (a, e, e, dots)$
$g^2 = (a, e, e, dots) imes (a, e, e, dots) = (a imes a, e imes e, e imes e, dots) = (e, e, e, dots)$，这是单位元。
所以，$g$ 是一个二阶（有限阶）元。
再考虑另一个元素 $h = (e, a, e, e, dots)$。
$h^2 = (e, e, e, dots)$，单位元。
所以，$h$ 也是一个二阶（有限阶）元。
对于任何一个非单位元的元素 $x = (g_1, g_2, g_3, dots)$，其中至少有一个 $g_i = a$。
考虑 $x^2 = (g_1^2, g_2^2, g_3^2, dots) = (e, e, e, dots)$，因为在 $C_2$ 中，任何元素的平方都是单位元。
这意味着，在这个无限群 $G$ 中，每一个非单位元的元素，经过平方运算后都会变成单位元。因此，群 $G$ 中的所有元素都是有限阶元（阶数为 1 或 2）。
结论：无限群不一定含有无限阶元。
解释为什么会这样：
群的“无限性”体现在它的元素个数上，而元素的“阶”体现在它通过自身乘法回到单位元所需的步数。一个无限群可以通过将许多“小”的、有限阶的结构以一种“无限”的方式组合起来，从而保持所有元素的阶数仍然是有限的。
想象一下，你有很多种不同的“开关”，每个开关都有一个“打开”和“关闭”的状态。你还可以把这些开关无限地排列下去。你可以想象一个操作：只改变第一个开关的状态。这个操作的“阶”是 2，因为它两次操作就回到原样。你可以有无限多个这样的操作（改变第一个开关，改变第二个开关，依此类推）。当你将这些操作组合起来，形成一个无限群时，每个“基本操作”（只改变一个开关）的阶数都是有限的。
第二部分：无限群是否一定有无限多个子群？
结论是：是的，几乎所有的无限群都有无限多个子群。
要严格证明这一点，需要借助一些更高级的群论概念，比如“子群生成”或者“有限生成群”的性质。但是，我们可以通过一些直观的例子来理解。
为什么大多数无限群都有无限多个子群？
子群是群的“小”结构。在一个无限群中，你可以尝试“抽取”出不同部分的元素来形成子群。
一个非常简单的例子：整数加法群 $mathbb{Z}$
我们再次以 $mathbb{Z}$ 为例。
${0}$ 是 $mathbb{Z}$ 的一个子群（零阶元）。
${ dots, 2, 0, 2, 4, dots }$，即所有偶数的集合，记为 $2mathbb{Z}$，是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。运算仍然是加法。
${ dots, 3, 0, 3, 6, dots }$，即所有 3 的倍数的集合，记为 $3mathbb{Z}$，是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。
依此类推，对于任何一个正整数 $n$， $nmathbb{Z} = { dots, 2n, n, 0, n, 2n, dots }$，也就是所有 $n$ 的倍数的集合，都是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。
由于存在无限多个正整数 $n$ (1, 2, 3, 4, ...)，所以我们构造了无限多个不同的子群：
$1mathbb{Z} = mathbb{Z}$
$2mathbb{Z}$
$3mathbb{Z}$
$4mathbb{Z}$
...
这些子群是相互包含的 ($nmathbb{Z} supset knmathbb{Z}$)，但它们是不同的集合。因此，整数加法群 $mathbb{Z}$ 拥有无限多个子群。
另一个例子：有限生成无限群
考虑一个由一个元素 $a$ 生成的群，其中 $a$ 是无限阶元。这样的群就是整数加法群 $mathbb{Z}$（如果我们用加法符号），或者说是一个无限循环群。
如果一个群 $G$ 是由有限个元素 $g_1, g_2, dots, g_k$ 生成的，并且 $G$ 本身是无限的。那么，大部分情况下，这样的群也会有无限多个子群。
是否存在无限群，但子群的数目是有限的？
理论上，这是可能的，但这类群非常特殊，并且通常“相对不那么无限”。
一个著名的例子是：有限的 p群。
一个 p群 是一个群，它的所有元素的阶都是 p 的幂次（p 是一个素数）。
一个 无限的 p群 仍然可以有有限的子群。
例如，BruhatTits 树上的一个顶点稳定子群，或者一些特定的 padic 数域上的群。这些例子相当复杂，超出了初级的范畴。
但是，对于“大部分”我们接触到的无限群，尤其是那些由有限个生成元给出的群（有限生成群），如果它们本身是无限的，它们几乎肯定会有无限多个子群。
直观理解：
想象一个无限大的网络。你可以通过选择不同的“节点”来定义一个子集。如果这个网络结构是“丰富”的，那么你总能找到不同的方式来“切割”出不同的子集，并且这些子集还能保持群的运算封闭性。
在一个无限群中，如果存在无限阶元，那么由该无限阶元生成的无限循环子群 ${dots, g^{2}, g^{1}, e, g, g^2, dots}$ 本身就提供了无限多个子群（由 $g^k$ 生成的子群，其中 $k$ 是整数）。
即使群的所有元素都是有限阶元（比如我们之前那个 $C_2 imes C_2 imes dots$ 的例子），它仍然可以拥有无限多个子群。比如，我们可以选择只涉及前 $n$ 个分量的有限子群，或者更复杂的组合。
总结：
1. 无限群不一定含无限阶元。 存在无限群，其所有元素都是有限阶元（例如，无限个二阶循环群的直积）。
2. 几乎所有无限群都有无限多个子群。 最常见的例子，如整数加法群 $mathbb{Z}$，以及大多数有限生成无限群，都拥有无限多个子群。存在一些高度特殊的无限群，其子群数目是有限的，但这些群的构造和性质通常更为复杂。
希望这样的解释足够详细，并且不带有AI写作的痕迹。群论是一个非常迷人的领域，越深入越能体会到其数学之美。
第一部分：无限群是否一定含无限阶元？
要回答这个问题，我们需要先明确什么是“无限阶元”。一个群 $G$ 中的元素 $g$ 称为有限阶元，如果存在一个正整数 $n$，使得 $g^n = e$，其中 $e$ 是群的单位元。如果不存在这样的正整数，那么 $g$ 就称为无限阶元。
现在，我们来思考一个无限群 $G$。无限群意味着群中元素的个数是无限的。那么，是否所有这些元素都是有限阶元呢？
结论是：无限群不一定含有无限阶元。
这似乎有点违反直觉，毕竟群是无限的，但其中的每个元素都可能在有限次操作后回到单位元。让我来举个例子，并从不同角度解释：
反例：构造一个无限群，其中所有元素都是有限阶元。
最经典的例子是凯莱（Cayley）图的概念。凯莱图可以用来可视化一个群的结构。另一种更直接的方式是构造一个模群。
考虑一个非常有名的群：整数加法群 $mathbb{Z}$。
这个群的元素是全体整数 $dots, 2, 1, 0, 1, 2, dots$，运算是加法。
单位元是 $0$。
这个群是无限的，因为有无限多个整数。
现在，我们来看它的元素：
元素 $1$： $1 eq 0$, $1+1 = 2 eq 0$, $1+1+1 = 3 eq 0$, ... 无论加多少次 $1$，都不会得到 $0$（除非是 $0$ 次，但我们讨论的是正整数次）。所以，$1$ 是一个无限阶元。
元素 $n$（非零整数）：对于任何非零整数 $n$， $n$ 的任何正整数次加法 $n+n+dots+n$ ( $k$ 次) 结果是 $kn$。如果 $kn=0$，由于 $n eq 0$，只能是 $k=0$。但我们考虑的是正整数次，所以 $kn$ 永远不会等于 $0$。因此，$n$ 也是一个无限阶元。
所以，整数加法群 $mathbb{Z}$ 是一个无限群，并且它含有无限阶元。这似乎支持了“无限群一定含无限阶元”的观点，但我们说的是“一定”，所以需要找一个反例。
真正的反例：考虑整数模 $n$ 加法群的直接积
让我们构建一个群，它的元素是所有整数的元组 $(a_1, a_2, a_3, dots)$，其中只有有限个 $a_i$ 是非零的，运算是分量相加（模一个数）。
一个更清晰且著名的反例是：两个循环群 $C_2 imes C_2 imes C_2 imes dots$ 的直积。
$C_2$ 是二阶循环群，它有两个元素：单位元 $e$ 和另一个元素 $a$，其中 $a^2 = e$。
我们考虑无限个 $C_2$ 的直积 $G = underbrace{C_2 imes C_2 imes C_2 imes dots}_{ ext{无限个}}$.
$G$ 的元素是形如 $(g_1, g_2, g_3, dots)$ 的元组，其中每个 $g_i in {e, a}$，且只有有限个 $g_i$ 是 $a$。
运算是分量相乘。
这个群 $G$ 是无限的，因为有无限多个位置可以放置 $a$。
现在来看 $G$ 中的元素：
考虑一个元素 $g = (a, e, e, e, dots)$。
$g^1 = (a, e, e, dots)$
$g^2 = (a, e, e, dots) imes (a, e, e, dots) = (a imes a, e imes e, e imes e, dots) = (e, e, e, dots)$，这是单位元。
所以，$g$ 是一个二阶（有限阶）元。
再考虑另一个元素 $h = (e, a, e, e, dots)$。
$h^2 = (e, e, e, dots)$，单位元。
所以，$h$ 也是一个二阶（有限阶）元。
对于任何一个非单位元的元素 $x = (g_1, g_2, g_3, dots)$，其中至少有一个 $g_i = a$。
考虑 $x^2 = (g_1^2, g_2^2, g_3^2, dots) = (e, e, e, dots)$，因为在 $C_2$ 中，任何元素的平方都是单位元。
这意味着，在这个无限群 $G$ 中，每一个非单位元的元素，经过平方运算后都会变成单位元。因此，群 $G$ 中的所有元素都是有限阶元（阶数为 1 或 2）。
结论：无限群不一定含有无限阶元。
解释为什么会这样：
群的“无限性”体现在它的元素个数上，而元素的“阶”体现在它通过自身乘法回到单位元所需的步数。一个无限群可以通过将许多“小”的、有限阶的结构以一种“无限”的方式组合起来，从而保持所有元素的阶数仍然是有限的。
想象一下，你有很多种不同的“开关”，每个开关都有一个“打开”和“关闭”的状态。你还可以把这些开关无限地排列下去。你可以想象一个操作：只改变第一个开关的状态。这个操作的“阶”是 2，因为它两次操作就回到原样。你可以有无限多个这样的操作（改变第一个开关，改变第二个开关，依此类推）。当你将这些操作组合起来，形成一个无限群时，每个“基本操作”（只改变一个开关）的阶数都是有限的。
第二部分：无限群是否一定有无限多个子群？
结论是：是的，几乎所有的无限群都有无限多个子群。
要严格证明这一点，需要借助一些更高级的群论概念，比如“子群生成”或者“有限生成群”的性质。但是，我们可以通过一些直观的例子来理解。
为什么大多数无限群都有无限多个子群？
子群是群的“小”结构。在一个无限群中，你可以尝试“抽取”出不同部分的元素来形成子群。
一个非常简单的例子：整数加法群 $mathbb{Z}$
我们再次以 $mathbb{Z}$ 为例。
${0}$ 是 $mathbb{Z}$ 的一个子群（零阶元）。
${ dots, 2, 0, 2, 4, dots }$，即所有偶数的集合，记为 $2mathbb{Z}$，是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。运算仍然是加法。
${ dots, 3, 0, 3, 6, dots }$，即所有 3 的倍数的集合，记为 $3mathbb{Z}$，是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。
依此类推，对于任何一个正整数 $n$， $nmathbb{Z} = { dots, 2n, n, 0, n, 2n, dots }$，也就是所有 $n$ 的倍数的集合，都是 $mathbb{Z}$ 的一个子群。
由于存在无限多个正整数 $n$ (1, 2, 3, 4, ...)，所以我们构造了无限多个不同的子群：
$1mathbb{Z} = mathbb{Z}$
$2mathbb{Z}$
$3mathbb{Z}$
$4mathbb{Z}$
...
这些子群是相互包含的 ($nmathbb{Z} supset knmathbb{Z}$)，但它们是不同的集合。因此，整数加法群 $mathbb{Z}$ 拥有无限多个子群。
另一个例子：有限生成无限群
考虑一个由一个元素 $a$ 生成的群，其中 $a$ 是无限阶元。这样的群就是整数加法群 $mathbb{Z}$（如果我们用加法符号），或者说是一个无限循环群。
如果一个群 $G$ 是由有限个元素 $g_1, g_2, dots, g_k$ 生成的，并且 $G$ 本身是无限的。那么，大部分情况下，这样的群也会有无限多个子群。
是否存在无限群，但子群的数目是有限的？
理论上，这是可能的，但这类群非常特殊，并且通常“相对不那么无限”。
一个著名的例子是：有限的 p群。
一个 p群 是一个群，它的所有元素的阶都是 p 的幂次（p 是一个素数）。
一个 无限的 p群 仍然可以有有限的子群。
例如，BruhatTits 树上的一个顶点稳定子群，或者一些特定的 padic 数域上的群。这些例子相当复杂，超出了初级的范畴。
但是，对于“大部分”我们接触到的无限群，尤其是那些由有限个生成元给出的群（有限生成群），如果它们本身是无限的，它们几乎肯定会有无限多个子群。
直观理解：
想象一个无限大的网络。你可以通过选择不同的“节点”来定义一个子集。如果这个网络结构是“丰富”的，那么你总能找到不同的方式来“切割”出不同的子集，并且这些子集还能保持群的运算封闭性。
在一个无限群中，如果存在无限阶元，那么由该无限阶元生成的无限循环子群 ${dots, g^{2}, g^{1}, e, g, g^2, dots}$ 本身就提供了无限多个子群（由 $g^k$ 生成的子群，其中 $k$ 是整数）。
即使群的所有元素都是有限阶元（比如我们之前那个 $C_2 imes C_2 imes dots$ 的例子），它仍然可以拥有无限多个子群。比如，我们可以选择只涉及前 $n$ 个分量的有限子群，或者更复杂的组合。
总结：
1. 无限群不一定含无限阶元。 存在无限群，其所有元素都是有限阶元（例如，无限个二阶循环群的直积）。
2. 几乎所有无限群都有无限多个子群。 最常见的例子，如整数加法群 $mathbb{Z}$，以及大多数有限生成无限群，都拥有无限多个子群。存在一些高度特殊的无限群，其子群数目是有限的，但这些群的构造和性质通常更为复杂。
希望这样的解释足够详细，并且不带有AI写作的痕迹。群论是一个非常迷人的领域，越深入越能体会到其数学之美。
网友意见
说说第一个问题吧
在可数交换群的情况，这种群的分类是经典的，下面都假设群是交换群
Def 1 我们称群是周期的，如果每个元素都有有限阶数
设 是一个素数，一个群 的 子群是它所有阶数是 这种形式的元素构成的子群，可以知道对于交换群的情况，它们确实构成一个子群
Thm 1 周期的群是它所有 子群的直和
嘿，这个就爽歪歪了，我们只用研究周期的 群长啥样就好
下面这个定理给出了交换群的一个（并不典范的）直和分解
Def 2 我们称一个群 是可除的，如果
（可除群是Abel群范畴里的内射对象，这可能就是Tor函子怎么来的吧hhh不过这儿扯远了~）
一个群的任何两个可除的子群之和都还是可除的，所以存在最大的可除子群，我们就直接叫它可除子群好了……记作
那么特别不可除的群，即 的群，我们也给个名字，叫作即约群好了。
Thm 2 一个交换群是它的可除子群和一个即约的子群的直和，即
定理1的证明很简单，不过定理2的证明需要Zorn引理，或者，等价的，选择公理。所以你可以选择不相信它，不过why not
Def 3 我们给出一个特别的群，定义 是 的 子群，它其实就是 的所有分母是 的这种数
Thm 3 可除的 群是一些 的直和
定理3的证明不是很困难。下面我们把重点转向即约的群，这种群的分类会难一些
Thm 4 (Prufer)一个可数的即约 群，那么它是一些 的直和
提一嘴，这个定理里的可数条件是无法去掉的w
到此基本上解决这件事情的分类问题了（趴）
Thm 5 一个可数的周期群 可以写成一些形如 (其中 是一个素数， 可以取 )的群与一些 的直和
啊，收工，睡觉！
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