既然是无限不循环小数，那么我随机说出一串数字，这串数字是不是一定会出现在小数点后的某一段上？

这个问题很有趣，也触及到了“无限不循环小数”这个概念的核心。简单来说，你随机说出一串数字，这串数字几乎可以肯定地会出现在小数点后的某一段上，但从严格的数学意义上讲，并不能百分之百地断定。让我详细说说为什么：

我们先来聊聊你说的“无限不循环小数”。数学上，我们一般会把小数分为两类：

1. 有限小数： 小数点后的数字会终结，比如 0.5，1.25。
2. 无限循环小数： 小数点后的数字虽然无限，但会有一个或一组数字不断重复出现，比如圆周率 π 是 3.1415926535...（这是无限不循环的例子，我后面会详细解释），而 1/3 是 0.3333...（这里的“3”是循环节），1/7 是 0.142857142857...（这里的“142857”是循环节）。

你提到的“无限不循环小数”，最典型的例子就是无理数。比如我们熟知的圆周率 π、自然对数的底数 e，还有一些像 √2 (根号2) 这样的数。它们的特点是小数点后的数字既不重复，也永远不会终结。

现在，让我们回到你的问题：你随机说出一串数字，这串数字是不是一定会出现在小数点后的某一段上？

答案是：是的，对于一个真正的“无限不循环小数”，你的任何有限长度的数字串，理论上都一定会出现在小数点后的某一段上。

为什么会这样呢？我们可以从几个角度来理解：

1. 排列组合的威力（一个通俗的理解）

想象一下，我们正在生成一个无限不循环小数的数字串。这个过程就像在无穷无尽的纸带上随机地写下数字（0到9）。你随机说出的那一串数字，比如“12345”，就好比你在寻找这张无限长的纸带上有没有“12345”这个连续的片段。

因为这张纸带是无限长的，而且每一个位置上的数字都是随机产生的（不遵循任何固定的循环规律），这意味着所有可能的有限数字组合出现的机会都是存在的。虽然无限不循环小数的数字生成方式不是真正意义上的“随机”，但它的不可预测性和非循环性，使得任何一个有限的数字模式都有可能出现。

打个比方，如果你扔一枚硬币无数次，你扔出“正面反面正面”这个组合的概率虽然很小，但只要你扔的次数足够多，这个组合出现的几率就会越来越大。无限不循环小数的“长度”是无限的，它比你扔硬币的次数要多得多，所以任何一个有限的数字串出现的可能性，虽然不等于1，但在实际应用中，几乎就是100%了。

2. 数学上的严谨性（更深入的理解）

在数学上，我们说一个数字是“正规数”（normal number）时，它的定义就包含了你刚才提到的性质：在该数的小数展开中，任何一个长度为 k 的数字串（由 09 组成），出现的频率都趋近于 1/10^k。

比如，对于一个正规数：
单独的数字“0”出现的频率是 1/10。
两个数字的组合（如“00”，“01”，“12”...“99”）总共有 100 种可能，每一种出现的频率都趋近于 1/100。
你说的“12345”这个五位数字串，一共有 10^5 = 100,000 种可能的五位组合。对于一个正规数，这串“12345”出现的频率会趋近于 1/100,000。

虽然绝大多数无理数并不是严格意义上的“正规数”（证明一个数是正规数非常困难），但许多著名的无理数，如 π 和 e 的一些开头部分，在统计学上表现得非常像正规数。换句话说，它们的数字分布非常均匀，几乎包含了所有可能的有限数字组合。

那么，是否存在一个无限不循环小数，它恰好就不包含你说的某一个数字串呢？

从理论上讲，确实可能存在这样的无限不循环小数。比如，我们可以构造一个这样的数：它的小数部分是这样组成的：先写 1 个 0，然后是 1 个 1，然后是 2 个 0，然后是 1 个 1，然后是 3 个 0，然后是 1 个 1...（这种构造方式很复杂，是为了避免“01”这个组合的出现，但最终还是会遇到其他组合的问题）。

但是，这种构造出来的“特殊”的无限不循环小数，往往不是我们通常意义上遇到的数学常数（如 π, e, √2）。 像 π 这样的数，它的出现机制非常复杂，而且我们没有证据表明它的数字序列里会缺失任何一个有限的数字串。事实上，数学家们普遍相信，像 π 这样的数是“数字学上均匀”的，意味着所有有限的数字串都会在其中出现。

核心区别在于“随机”的含义：

真正的随机序列： 如果我们有一个真正意义上的、无限随机生成的数字序列（每个位置的数字都是在 09 中独立均匀选择），那么任何一个有限的数字串都几乎肯定会无限多次地出现。
无限不循环小数（如 π）： 它的生成机制不是随机的，而是由一个数学定义决定的。但是，这种定义往往导致了一个非常“混杂”和“均匀”的数字分布，以至于在实践中，它的行为非常接近随机序列，包含所有可能的有限数字串。

总结一下：

你随机说出的任何有限一串数字，比如“78905612”，这串数字几乎可以肯定会出现在像 π 这样著名的无限不循环小数的小数点后某一段上。这是因为这些数的数字分布非常“混杂”和“均匀”，包含了所有可能的有限组合的模式。
从最最严格的数学定义来看，不能百分之百断定，因为理论上可能存在一些特殊构造的无限不循环小数，它们恰好不包含某一个特定的数字串。但这种小数非常罕见，而且不是我们通常接触到的数学常数。

所以，如果你说出一串数字，放心地去 π 的小数后面找找看吧，很大概率能找到的！

网友意见

π，圆周长与其直径之比，这是开始。后面一直有，无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中，包含每种可能的组合。你的生日，储物柜密码，你的社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母，就能得到所有的单词，无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。用这些信息做什么，它有什么用，取决于你们。”
很多观众看到这一段之后十分感动，还有人感慨：为什么我们的数学老师没有这么教我们呢？
之所以我们的老师不讲，是因为这段话在数学上是不对的。
无理
宅总的前两句话正确地描述了π的一个属性：无穷无尽且永不重复——换句话说，π是个“无限不循环小数”，也就是“无理数”。
但是，一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。
举个简单的反例：0.909009000900009000009……
（除非特别声明，所有数字都是10进制的，下同。）
这个数的特点是，两个“9”之间的距离会越来越长，每次多一个0，直到无限。它是无穷无尽的，也是不循环的，因此是无理的；但别说“每种可能的数字组合”了，它连0到9这十个数字都凑不齐呢！
合取
包含所有数字组合的数，叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。
一个典型的合取数是这样的：0.10200300040000500000600……000110000000000012000……
在越来越长的0串中间，夹杂着从1开始的所有自然数，直到无限。既然包含了所有自然数，当然也就包含了所有的数字组合。
正规
但是写这么多0，多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢？
得到的数就是这样：0.123456789101112131415……
这个数不但是合取的，还是“正规”的——从0到9的每一个数字，出现的频率都趋向于一样的值。
随机
如果我们再进一步，连生成规律都不要了，而是用某种真随机生成器（比如哥本哈根解释下的量子随机性）造出一个每位都随机的数，那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致，任何位置出现的概率也都一样。
那pi是什么？
非常遗憾的是，目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取（包含所有可能）的吗？是正规（所有数字出现频率趋于一致）的吗？是随机（每一位上的数字都随机）的吗？
答案是：全都不知道。
我们很容易构造出一个合取数或者正规数，甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的，但是随便拿一个具体的数字，要想判断它是否合取、是否正规，却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机？别跟我提什么随机。
合取数和正规数有另一个有趣的性质：和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数（Stoneham number），在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了，可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规，可以称之为“绝对正规”。不幸的是，pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2，有论文证明，假如某个猜想是对的，那么pi就是二进制正规；但那个猜想本身也只是“很可能正确”，还没有得到严格证明。
当然，我们都已经计算出pi的几百亿位了，可以看看它们的分布来猜规律；也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看，pi和正规性吻合得非常之好，换做任何别的人文、社科、自然科学，都可以当做定论来用了，因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜，这是数学，数学是靠证明说话的，只要拿不出证明，数学家就不能安心睡好觉。
这篇文章不是为了批评《疑犯追踪》这部剧，事实上看到这一幕的时候我还非常高兴：影视剧里到处都是坏掉的理化生，而坏掉的人文社科干脆就是某些作品的主干——但现在终于出现了（哪怕是坏掉的）数学了！数学至少有了存在感！
但是这文章又必须要写，因为编剧在写这个段子的时候违反了基本的数学精神。其一，数学靠证明说话，哪怕pi距离“包含所有可能序列”离得再近，哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说；其二，数学是一个严密的逻辑体系，就算pi真的包含了所有可能性，你也不能说“因为它是无理数所以它是合取数”，这个推论本身的逻辑是错的。哪怕结果蒙对了，也不能为此放过错误的过程，否则整个数学体系就无法存在。
目前看来，pi“应该”是正规和合取的。如果让我打赌，我当然押“包含所有序列”一边；如果我在现实生活中用到了pi，我也会把它当做合取数和正规数那样用。甚至可以说，我“相信”pi是正规的：如果有人告诉我它不正规，我第一反应肯定是不接受；如果计算发现pi从第一万亿位开始变成了9090090009……，我没准都会开始怀疑宇宙的真实性——但是，只要没有出现证明，我就不能言之凿凿对你说：“pi里面包含了所有可能的数字组合”，更不能用似是而非的推论来支持这个说法。经验、审美甚至信仰，在数学里，都敌不过薄薄的一纸证明。

我仔细想了想，其实构造一个无理数只需要两个数字就可以了，就比如我们把一个无理数写成二进制，那这个二进制数还是无限且不循环的，但他只含有0和1，其他任何包含23456789的数字组合都不会在其中出现。如果要小数最多再加一个小数点。

“包含无限种可能”与“包含所有可能”是不同的。

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