有哪些有趣的概率问题？
你有没有想过，生活中那些看似随机的事件背后，其实隐藏着一些非常有意思的数学规律？我最近沉迷于研究一些概率问题，简直打开了新世界的大门！这些问题有的挑战我们的直觉，有的则能解释一些我们习以为常的现象，甚至还能带来一些有趣的启发。今天就想跟大家分享几个我特别喜欢的，希望能点燃你对概率的好奇心！
1. 生日悖论：你和别人同一天生日的概率，比你想象的要高得多！
这绝对是概率界最著名的“反直觉”问题之一。通常我们一听到“生日悖论”，都会觉得这是个玄乎其玄的东西。但实际上，它的逻辑非常清晰，只是结果会让你大吃一惊。
问题是这样的： 在一个聚会上，需要多少人才能让有至少两个人在同一天生日的概率超过50%？
你可能会想，一年有365天，总共365个可能的生日。要凑够两个人同一天生日，可能需要很多人吧？也许四五十人？
事实是： 只需要23个人！
是不是很震惊？为什么会这样呢？原因在于，我们关注的不是“特定某两个人”同一天生日，而是“聚会中的任何两个人”都有可能同一天生日。
咱们从反面来思考一下。假设现在聚会上有 $n$ 个人。他们生日都不相同的概率是多少呢？
第一个人生日可以是365天中的任意一天，概率是 $frac{365}{365}$。
第二个人生日不能和他一样，所以有364天可以选择，概率是 $frac{364}{365}$。
第三个人生日不能和前面两人一样，有363天可以选择，概率是 $frac{363}{365}$。
以此类推，第 $n$ 个人生日不能和前面 $n1$ 个人一样，概率是 $frac{365 (n1)}{365}$。
所以，$n$ 个人生日都不同的概率 $P( ext{all different})$ 就是：
$P( ext{all different}) = frac{365}{365} imes frac{364}{365} imes frac{363}{365} imes dots imes frac{365 (n1)}{365}$
我们可以把这个式子写成阶乘的形式：
$P( ext{all different}) = frac{P(365, n)}{365^n} = frac{365!}{(365n)! imes 365^n}$
有了这个式子，我们就可以计算当 $n$ 取不同值时，生日都不同的概率。而我们想知道的“至少两个人同一天生日的概率”，就是 1 减去“所有人生日都不同的概率”。
$P( ext{at least two same}) = 1 P( ext{all different})$
当我们把 $n=23$ 代入计算，你会发现 $P( ext{all different})$ 大约是 $0.4927$。那么，$P( ext{at least two same}) = 1 0.4927 = 0.5073$，也就是超过50%了！
而且，当人数增加到57人时，同一天生日的概率就能超过99%！是不是瞬间觉得身边的人，跟自己同一天生日的概率，其实没那么渺茫了？
2. 蒙提霍尔问题 (Monty Hall Problem)：换门真的有用吗？
这个问题的名字可能有些陌生，但如果你看过《Let's Make a Deal》这样的节目，或者对概率稍有了解，就会对它印象深刻。它是我第一次真正体会到“直觉可能是错的”是什么感觉。
问题是这样的： 你正在参加一个游戏节目。主持人蒙提霍尔给你三个门，其中一个门后面有汽车大奖，另外两个门后面是山羊。你先选择一个门（比如1号门）。然后，主持人（他知道哪个门后面是汽车）会打开另外两个门中的一个，而且他永远不会打开有汽车的门，他只会打开一个后面是山羊的门（比如他打开了3号门，露出了山羊）。
现在，主持人问你：“你要继续坚持你最初的选择（1号门），还是选择另一个未打开的门（2号门）？”
你的直觉可能会怎么说？ 很多人的第一反应是：现在还剩下两个门（你选的1号门和未打开的2号门），汽车就在这两个门后面之一，所以概率是各占50%，换不换都一样。
但正确答案是：你应该换门！换门后你赢得汽车的概率会从原来的 1/3 变成 2/3！
这怎么可能？为什么不是50%？让我来好好解释一下：
你最初选择一个门的概率： 你随便选一个门，赢得汽车的概率是 $frac{1}{3}$。这意味着，有 $frac{2}{3}$ 的概率，汽车在你没有选的另外两个门后面。
主持人打开了一个山羊门： 这是关键！主持人不是随机打开一个门，他有意识地打开了一个后面是山羊的门。
情况一： 如果你最初选对了（概率 $frac{1}{3}$），那么汽车就在你选的门后面。主持人会打开另外两个门中的任意一个山羊门。如果你不换，你就赢了。如果你换了，你就输了。
情况二： 如果你最初选错了（概率 $frac{2}{3}$），那么汽车就在你没选的另外两个门中的一个。而另一个门是山羊。主持人知道汽车在哪，他必须打开那个剩下有山羊的门。这样，未被打开的那个门（不是你最初选的那个）就一定是汽车！所以，如果你在这种情况下换门，你一定会赢。
总结一下：
不换门，赢的概率就是你最初选对的概率，即 $frac{1}{3}$。
换门，你赢的概率就是你最初选错的概率，即 $frac{2}{3}$。
这个问题的核心在于，主持人提供了额外的信息，他通过打开一个山羊门，将原来那“2/3概率”的力量，集中到了另一个未打开的门上。所以，换门是更优的选择。
第一次听到这个解释的时候，我感觉脑子被重塑了一样！它告诉我们，在处理概率问题时，要仔细分析所有已知信息和信息是如何被传递的。
3. the Birthday Problem but with people and specific birthdates (更具体的生日问题，但与上面的不同)
前面我们讨论了“至少两人同一天生日”的概率，这是最经典的生日问题。但还有一个类似的、也非常有趣的问题，它的提问方式更具象化：
问题是这样的： 在一个随机抽取的人群中，你遇到一个生日与你恰好同一天的人的概率是多少？
这个问题和第一个生日悖论听起来有点像，但角度完全不同。第一个问题是问“在这个群体中，是否存在同一天生日的人？” 而这个问题是问“我遇到一个和我生日相同的人的可能性有多大？”
让我们来算一下：
假设这个群体足够大，我们可以认为每个人选择生日都是完全随机且独立的，每个生日（365天，忽略闰年）被选中的概率都是 $frac{1}{365}$。
我自己的生日： 假设我的生日是1月1日。
我遇到第一个人： 他生日是1月1日的概率是 $frac{1}{365}$。
我遇到第二个人： 他生日是1月1日的概率是 $frac{1}{365}$。
...
我遇到第 $k$ 个人： 他生日是1月1日的概率是 $frac{1}{365}$。
所以，我遇到第一个生日和我一样的人，取决于我遇到多少人。
如果我只遇到一个人，他生日和我一样的概率就是 $frac{1}{365}$。
如果我遇到100个人，我至少遇到一个和我同一天生日的人的概率是多少呢？
这次我们同样可以从反面来计算：遇到 $k$ 个人，没有一个人生日和我一样（也就是生日都在剩下的364天里）的概率是：
$P( ext{none same as me}) = (frac{364}{365})^k$
那么，至少有一个人生日和我一样的概率就是：
$P( ext{at least one same as me}) = 1 (frac{364}{365})^k$
如果我们想让这个概率达到50%（也就是 $frac{1}{2}$）：
$1 (frac{364}{365})^k ge frac{1}{2}$
$(frac{364}{365})^k le frac{1}{2}$
为了解出 $k$，我们可以取对数：
$k imes log(frac{364}{365}) le log(frac{1}{2})$
$k imes (log(364) log(365)) le log(2)$
$k imes ( log(frac{365}{364})) le log(2)$
$k imes (log(frac{365}{364})) ge log(2)$
$frac{365}{364} approx 1.00274$
$log(1.00274) approx 0.001189$
$log(2) approx 0.6931$
所以，$k imes 0.001189 ge 0.6931$
$k ge frac{0.6931}{0.001189} approx 583.09$
这意味着，你需要遇到大约 584个人，才有超过50%的概率，遇到一个和你生日相同的人。
这个数字（584）比第一个生日悖论中的23要大得多，这很直观：从365个人里找出“任意两人相同”比从一群人里找出“和我相同”要容易得多。但这两个问题都揭示了概率计算中，我们如何去定义和处理“事件”的重要性。
4. 淋浴间悖论（或者叫“串行概率问题”）
这个名字听起来就有点怪怪的，但它是一个非常好的例子，说明了当你从一连串事件中进行采样时，会发生什么。
问题是这样的： 假设有一个非常长的淋浴间，里面有很多个淋浴喷头。现在我们随机地选择一个人去使用淋浴间。这个人会随机选择一个淋浴喷头。然后又有一个人来，他也会随机选择一个空闲的喷头。如果继续这样下去，直到淋浴间里的人数达到某个数量，我们想知道的是：
当淋浴间里有 $n$ 个人时，他们使用的喷头中有多少个是相邻的？
这个问题听起来像是在描述一个抽象的物理场景，但它背后是对随机分布和邻近性的探讨。我们来设想一个更简单的版本，比如一个只有10个喷头的淋浴间，然后随机进入了5个人。
更一般地，让我们考虑一个大小为 $N$ 的排队（比如 $N$ 个格子），然后随机选择 $k$ 个格子进行标记（比如这 $k$ 个人使用了喷头）。我们关注的是，这 $k$ 个标记的格子中，有多少对是相邻的。
这其实是一个组合概率的问题。我们可以计算出所有可能的选择 $k$ 个格子（不考虑顺序）的方式，总共有 $inom{N}{k}$ 种。
然后，我们想知道有多少种选择方案，能让我们得到至少一对相邻的格子。和生日问题类似，我们还是从反面思考：有多少种选择方案，能让这 $k$ 个格子没有一对是相邻的？
想象一下，我们先把 $Nk$ 个未被选择的格子放好，它们之间会形成 $Nk+1$ 个“空隙”（包括两端的）。
```
_ X _ X _ X _ ... _ X _
```
这里的 `X` 代表未被选的格子（ $Nk$ 个），`_` 代表可以放被选格子的“空隙”。总共有 $Nk+1$ 个这样的空隙。
为了保证选出的 $k$ 个格子不相邻，我们只能从这 $Nk+1$ 个空隙中，每个空隙最多选择一个格子来标记。所以，选择 $k$ 个不相邻的格子的方式就有 $inom{Nk+1}{k}$ 种。
因此，在 $N$ 个格子中选择 $k$ 个格子，使得没有一对相邻的方案数是 $inom{Nk+1}{k}$。
那么，在 $N$ 个格子中选择 $k$ 个格子，使得至少有一对相邻的方案数就是：
总方案数 不相邻方案数 = $inom{N}{k} inom{Nk+1}{k}$
这个结果可以告诉我们，在随机选择时，出现“相邻”现象的概率。比如，如果你想知道在10个喷头里选出5个，有多少种组合会使得至少有两个喷头是相邻的，你就可以计算 $inom{10}{5} inom{105+1}{5} = inom{10}{5} inom{6}{5} = 252 6 = 246$。
这个“淋浴间悖论”让我觉得，很多看似简单的随机分布问题，都可以用巧妙的组合数学方法来解决，而且推导过程本身也很有趣，它让我开始关注“不相邻”这种负向的条件，有时反而更容易计算。
写到这里，感觉大脑又被这些概率的奇妙逻辑“洗礼”了一遍。这些问题不仅仅是数字和公式，它们更像是一种思考的工具，帮助我们更清晰地认识随机性，也让我们在面对生活中的不确定性时，多一份理性的思考和有趣的洞察。
希望这些问题也能激发你对概率世界的兴趣，一起探索那些隐藏在表象之下的数学之美！你有没有遇到过什么让你拍案叫绝的概率问题呢？非常期待听到你们的分享！
网友意见
有一个很反直觉的问题，叫作百囚徒挑战。
监狱决定给关押的100名囚徒一次特赦的机会，条件是囚徒通过一项挑战。所有囚徒被编号为1-100，对应他们编号的100个号码牌被打乱顺序放在了100个抽屉里。每个囚徒需要从所有抽屉里打开至多半数(50个)，并从中找出对应自己编号的号码牌。如果找到了则该名囚徒的任务成功。所有囚徒会依次单独进入挑战室完成任务，并且从第一个囚徒进入挑战室开始，直到所有囚徒结束挑战为止囚徒之间任何形式的交流都是禁止的。当一名囚徒完成任务后，挑战室会被恢复为他进入之前的样子（号码牌当然也放回原来的抽屉里）。在这100名囚徒中，任意一名囚徒的失败都会导致整个挑战失败，只有当所有囚徒全部成功完成任务时，他们才会统一得到特赦的机会。最后，在开始挑战之前，监狱给了所有囚徒一个月时间商量对策。那么，囚徒究竟有多大的几率得到释放？
A.小于0.0000000000000000000000000001%
B.大于0.0000000000000000000000000001%小于0.1%
C.大于0.1%小于30%
D.大于30%
假设囚徒的数量趋于无穷大，那么囚徒获得释放的几率趋于多少？
A.趋于0
B.趋于1
C.趋于(0,1)内的某个实数
D.在某个区间内振荡
之所以反直觉，是因为一眼看上去囚徒获胜的概率小的可怜，因为假如每个人的任务都是一次独立实验，那么他完成任务的概率只有 ，再乘以基数 人最终的成功概率约等于 ，当人数趋于无穷时这个数值还会继续缩小直到无限趋于0.这样才对。
但是实际上，这个题目并不是单纯的概率题。比如考虑最简单的情况，囚徒只有两人，那么他们每人只能从两个抽屉里选择一个抽屉打开，这时他们被释放的概率是1/4吗？不是。如果两个囚徒打开不同的抽屉，那么他们被释放的概率是1/2，反之如果两个囚徒打开同一个抽屉，那么他们被释放的概率是0.
因此，只要囚徒采取了正确的策略，那他们获胜的概率很大，在人数为100人时，仍旧有 那么多。同时，当人数趋于无穷，这个概率不会变得更小，而是趋近于 .
解答环节。
不妨假设抽屉里的号码牌是随机放置的（否则，囚徒可以自己在脑内打乱所有抽屉的位置以达到同样的效果※），之后囚徒首先为抽屉编号，例如从左上到右下依次编号。而每个囚徒的策略，就是首先打开与自己编号相同的抽屉，从中取出号码牌，并打开号码牌所对应的抽屉。之后，重复此过程，直到找到自己的号码牌，或者50个抽屉的机会用完。
例如，29号囚徒首先打开了29号抽屉，里面放着51号的号码牌，于是他打开51号抽屉，里面放着18号的号码牌，于是他打开18号的抽屉，里面放着29号的号码牌，他完成了任务。（只是随便举例）（※※）
为了计算成功概率，首先对这个游戏进行化简。将抽屉与号码牌的对应关系视为一个映射，例如 ， ，那么从任意一个数出发，不停地迭代计算，最终总能回到这个数。通过这种方法， 的数字被分割为了一些“圆环”，而每个圆环的长度不一，比如 的长度就是1，意味着3号抽屉里装着3号号码牌， 的长度是3；这时，我们发现，所有囚徒能够通过挑战，当且仅当所有圆环的长度不超过50，此时显然每个囚徒都能在50次以内找到自己的号码牌，反之如果有一个圆环长度超过50，那么这个圆环上的所有人都会失败。
接下来就是计算了。比起计算“所有圆环的长度不超过50”的概率，“有一个圆环长度超过50”的概率更容易计算。因为“有一个圆环的长度是51”和“有一个圆环的长度是52”之类的事件是彼此互斥的（圆环的长度总和是100），所以总概率就是它们的和。而对于 ，只需先选出 个元素，将它们构成一个环，之后再将剩下的元素随机打乱即可唯一地得到一种分布。具体地说，所有形成长度为 环的映射种类为 ，全排列个数为 ，因此这个概率等于
综上，所有圆环长度不超过50的概率等于 ，这个概率就是囚徒被释放的概率。当囚徒人数趋于无穷大时，概率趋向于
不那么严密地说，这个策略的关键点在于让所有囚徒尽可能地一起成功或者一起失败，因此所有玩家的任务不再是独立的，一旦有一个人成功，他所翻出的号码牌对应的人也一定会成功，同时只要有一半的人成功，剩下的人都一定成功。
通过计算可得，在之前所有人都成功的条件下，下一个人成功的概率依次为
这个策略被证明最优。
※否则，囚徒可以自己在脑内打乱所有抽屉的位置以达到同样的效果
因为在挑战开始之前有一个月时间商讨对策，所以囚徒可以在这段时间内约定好随机打乱抽屉的方式。另外，如果担心囚徒的策略被狱警知晓，也可以考虑迪菲赫尔曼密钥交换（前提是P≠NP），这是一种大声说悄悄话的方法，具体做法是利用非对称算法，使得两个没有任何共同知识的人知晓一个共同的关键词，并且任何窃听者无法通过两人的对话推理出这个关键词，之后这个关键词可以作为加密的秘钥使用。
※※另外直观地解释一下这个策略的含义，这里以10个人的情况举两个例子。
假如说10个抽屉与号码牌的对应关系如下：
1号抽屉→5号牌
2号抽屉→7号牌
3号抽屉→3号牌
4号抽屉→2号牌
5号抽屉→9号牌
6号抽屉→10号牌
7号抽屉→4号牌
8号抽屉→8号牌
9号抽屉→1号牌
10号抽屉→6号牌
1号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即1号抽屉，取出5号号码牌，接着打开5号抽屉，取出9号号码牌，接着打开9号抽屉，取出1号号码牌，完成任务；
2号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即2号抽屉，取出7号号码牌，接着打开7号抽屉，取出4号号码牌，接着打开4号抽屉，取出2号号码牌，完成任务；
……
10号囚徒首先打开自己的编号对应的抽屉即10号抽屉，取出6号号码牌，接着打开6号抽屉，取出10号号码牌，完成任务；
就这样，在这种对应关系下，所有囚徒都完成了任务；
假如说10个抽屉与号码牌的对应关系如下：
1号抽屉→2号牌
2号抽屉→8号牌
3号抽屉→5号牌
4号抽屉→6号牌
5号抽屉→1号牌
6号抽屉→4号牌
7号抽屉→10号牌
8号抽屉→9号牌
9号抽屉→3号牌
10号抽屉→7号牌
1号囚徒打开1号抽屉，取出2号号码牌；打开2号抽屉，取出8号号码牌；打开8号抽屉，取出9号号码牌；打开9号抽屉，取出3号号码牌；打开3号抽屉，取出5号号码牌；任务失败
4号囚徒打开4号抽屉，取出6号号码牌；打开6号抽屉，取出4号号码牌；任务成功
题源是14年香港队选拔考试
题目不难，就是题面挺有意思
一个外星人来到地球后，它每天都会在以下4件事中等可能地选择一件完成：
(1)自我毁灭
(2)分裂成两个外星人
(3)分裂成三个外星人
(4)什么也不做
此后每天，每个外星人都会做一次选择，且彼此之间互相独立，求地球上最终没有外星人的概率。
会自我毁灭并且还实行“计划生育”的外星人......
好了我们还是来做这个题吧
这里有两个变量，一个是天数，一个是外星人数量。如果考虑每天的变化会把问题变成一个很复杂的过程，还会涉及到极限的问题。
所以我们设 为地球上目前有 个外星人，但最终都消失的概率。
我们要求的就是
显然 个外星人最终都消失的概率就等于 个独立个体消失的概率，因此
而由条件 ，右式的四项分别对应自我毁灭、什么也不做、分裂成两个外星人和分裂成三个外星人
因此我们得到了关于 的三次方程
因式分解得
故 ，就酱
假如真有这样的外星人来到地球，有超过40%的概率最后自己就消...消失了
你说外星人会不会真的来过地球（x
感谢大家的赞和讨论，我一开始也没有思考得很深入。 @Yves S 大佬已经讲清楚了原理并附上了书名，书已经找到了，有时间我也去啃一啃，留个坑先......
只是有些知友，真是打死不看精评也不自主思考，恕不一一回复了
昨天晚上躺床上刷抖音，看到这么一个街头游戏：
三种颜色的塑料球，每种8个，共计24个
自己从里面随便拿12个出来，根据三种颜色球分别的数量，按对应图表给钱：
转了转我不太聪明的小脑瓜，玩的话基本上是零成本（有的两毛钱一局，有的两块钱一局），24选12，应该有非常多种可能性。最后结果出来，除了543要倒给老板钱，其余的都是赚钱的，那岂不是血赚？
继续看视频，抽一次是543，抽一次是543，24个球是自己放进去的，12个球是自己抽出来的，盒子就一个普通纸盒做不了手脚......
怎么都绕不过来这个弯，开始暴力穷解：
程序跑他一百万次，结果竟然
543的几率快他喵的到50%了啊！！！！
而且是正经的50%！！！
不是那种要么是543，要么不是543，所以概率是50%的50%！！
不过虽然543的概率是50%，但至少还有其他一半是赚钱的，而且赚一百两百三百的都有
那么重新改一下程序的计算方式，先玩他一百次，只要我玩的次数够多：
我就他喵的能把自己赔的倾家荡产啊！！！
不过换个角度，如果我去摆摊...
一天遇到十个像我一样的傻子的话，就能日入过万了
现在缺几个合伙人，工作内容是摆摊的时间如果我被打的话替我拦住对面（或者替我挨打），要求身高180以上，身体素质强，保安转业，退伍军人优先。待遇从优，私信联系即可。
更新：
谢评论区 @Coldwind 提供的思路
易得出现各种情况的概率为
其中a+b+c=12，n值由abc值确定
不考虑系数n情况下，若想让结果为最大值，abc应分别为4。但此时系数n为1
在考虑n的情况下，应让其中一值为4，另外两值分别向上向下取整，此时n=6，abc为345。计算可知345分布可以出现的情况最多，概率最大
继续延伸：
n、a、b、c四变量都是随机抽取，无法人为控制。总数12为游戏规则，无法改变。若想操纵概率，只能从底数动手：
比如，先从24个球中，偷走一个球装自己兜里，让它全程不参与
那么概率就变成了
因为不需要精确数据，为省时所以不计算，以下数据均为万次模拟结果：
只需要把程序的24改23，就相当于扔掉一个球：
结果：
543的概率还是奇高，可以看出拿走一个对结果基本没有影响
继续延伸：一不做二不休，我先偷出俩球藏自己兜里
此时分两种情况，两球同色和两球不同色，程序上再改个数直接出结果：
显而易见，如果两球不同色的话，对结果影响微乎其微，毕竟两个底数由8变为7，远不如其中一个底数由8变为6来的实在。
这时，如果我艺高人胆大，先拿走三个球：
此时便有三种情况：三球同色/三球两色2：1/三球三色111
由上可知，三球三色对概率影响不大，不再考虑
还是三球同色对概率的影响比较大，但还远远不够
我再提前拿走四个球
（由于四球分布的情况较多，之后不再逐个尝试，只考虑同色。毕竟都能明目张胆的偷四个了，干脆就挑四个一样颜色的得了）
肉眼可见，出现543的概率骤降。那么此时，我玩一万次的期望收入为：
好家伙，都这样了还倒欠老头一万块钱
想要赚钱，再试试提前拿走五个同色球
终于对老头吹响了反攻的号角
如果我提前拿走六个同色球，此时543已经不可能再出现了：
到这里，地摊老头就应该比你先报警了
请远离赌博，不占小便宜，警惕街头骗局
以上
注：因题目为有哪些【有趣】的概率问题。此回答全篇仅为娱乐，未仔细核对，如有错误欢迎指正
如果一个赌徒进行一个赌博游戏，赌徒先压一定数量的押金，扔一枚完全公平的硬币，如果正面向上的话那么赌徒会赢得两倍于下注数量的回报（并拿回自己下注的押金），如果正面向下的话会输掉全部押金，问题是这个赌徒应该每次下多少注才是最优的呢？
风险投资陷阱：做的每一笔投资都是正预期收益的，但是最后几乎会变得一无所有。
在进行投资或者购买股票的时候，预期收益是一个非常重要的参考。当今越来越多的人接受概率的观点，知道虽然买彩票或者赌博有可能暴富，但是因为从期望角度而言每买一张彩票或者是下一个赌注都是亏损的，所以从理性角度不应该进行这一笔交易。
但是收益为正的投资一定是理性的么？
我们设想有这样一种风险投资：如果当前的的资产为S的话，下一个单位时间的资产50%的概率变为原来的0.9倍，50%的概率变成原来的1.11倍。问题是：每次都投入全部资产，持续进行这样的投资是否是理性的。
经过简单的计算可以得到，经过一个单位时间后，资产的数学期望是 ，这样预期收益为 ，也就是说，该投资单位时间的期望收益率为0.5%。
也许看到这里你会觉得，不断进行这样的投资是无比理性的，看起来每一笔投资都无比的乐观。但是事实上，如果一个人不断进行这样的投资，他几乎会满盘皆输。
我们用数学语言来描述这个问题：如果最初的资产是 ， 个单位时间后的资产 是 的 倍， 之间是独立的，有50%的概率为0.11，50%的概率为-0.1。那么 。由于独立性，
因此 ，也就是说理论上投资期望收益是正无穷。但是
有50%的概率为 ，50%的概率为 ，所以 。根据强大数定律， ，也就是说 ，即几乎可以肯定不断进行这样的投资会血本无归。
到这里读者可能会产生困惑，明明期望是正无穷为何几乎血本无归呢？这是因为尽管 趋于零，但是 趋于正无穷，就是说可能存在 很大很大，当然这种事情发生的概率非常非常小。 结果导致很少的人赚很多的钱，但是绝大部分人血本无归。
为了验证这一观点，我使用蒙特卡洛方法进行了数值上的模拟。我一共模拟了一万个投资者，初始资产都为1，经历了300个单位时间。模拟的结果如下：
每一点代表了对应时间一个投资者的资产。我们可以看到，随着时间的推进，越来越多的投资者的资产越来越少，但是与此同时，极少数投资者获得了惊人的利润。也就是说，虽然社会总资产看起来是不断增加的，但是背后隐藏的是社会上绝大部分的资产会掌握在极少数人的手里，和绝大部分人会血本无归。
这就是风险投资中的陷阱：看上去无比乐观的投资却屡屡亏损，明明理论上投资的期望收益是正无穷，但是市场上几乎没有真正赚钱的投资者。
风险投资如此，赌博亦然，在赌场中基本上每次下注的期望收益都是负的，对一个赌性很大的赌徒而言，他眼里的只能看到通过赌博可以一夜富有，可是残酷的事实是，真正能够通过赌博赚钱的人是极其稀有的，持续的赌博背后一个人几乎注定（100%概率）会血本无归。
使用MatLab模拟200000个体历经1000单位时间，红线是 代表数学期望的理论值，蓝线是模拟数据的平均值，可以看到平均值比较好的和理论数学期望结果相一致：
N = 200000; T = 1000; X = ones(N, T); Y = ones(N, 1) * (1:T); a = 0.9; b = 1.11; rm = randi(2, size(X)) - 1; for i = 2:T X(:, i) = rm(:, i-1) .* X(:, i-1) * a + (1-rm(:, i-1)) .* X(:, i-1) * b; end plot(Y(:), X(:), '.') plot(1:T, mean(X, 1)) hold on plot(1:T, 1.005.^(1:T)) xlabel('时间') ylabel('资产') legend('模拟值', '理论值') 凯利公式
评论区 @Zhang Wang 提到了凯利公式，我也挺感兴趣，下面我就来继续讨论每次投资的时候应该投资当前总资产的最优比例（仓位） 。
下面我们对普遍情况进行讨论， 收益率 服从某种分布并且满足 ，那么如果我们每次投资选择的仓位为 的话，实际收益率变为 ，根据之前的讨论我们知道， ，根据强大数定律 ，也就是说平均收益率几乎可以肯定收敛于 ，所以最优投资方案应该满足 ：
令：
那么：
如果 的话， ， 关于 单调下降，所以 ，也就是说，在期望为负的投资中，最优选择是一分钱都不投资。
如果 的话， ，由于 是上凸函数，如果 ，说明 ，说明此时的最优选择是仓位拉满。
如果 ，那么最优选择满足
如果进行线性近似的话， ，也即 。
对于最简单的情况， 服从两点分布， 表示以概率p收益率为 ， 表示以概率 收益率为 ，其中 分别表示挣钱和亏损的情况。
那么根据之前的分析，投资有意义的充要条件为 ，在这种情况下，如果 ，此时仓位拉满。
否则，最优仓位满足 ，化简得到 ：
这就是投资中的凯利公式。
当然可以直接计算 ，如果 ，那么停止投资；如果 ，那么投资拉满；如果 ，那么每次投资总资产的 。
那么对于上文中提到的具体投资问题， 。
把凯利公式应用到文章开始的赌博问题中，可以计算出 ，同样进行蒙特卡洛方法进行数值模拟，一共模拟100000个体，分别按照0.5倍 ， 和2倍 进行下注，绘制图像。左边代表每个个体在对应时间的资产量，右边代表所有个体的平均资产关于时间的变化。
0.5倍 ：
：
2倍 ：
对比可以看到，从平均资产的角度来看 2倍 > 1倍 > 0.5倍。但是仓位的增加会导致风险的加大，看似 比 多了将近四个量级，但是这种投资对于个体而言风险过大，当我们只统计资产比较少的90%个体时，绘制这90%的人的平均资产关于时间的变化曲线，从左到右分别是0.5，1，2倍 ⬇️：
我们可以清楚的看到，对于大部分人而言， 是最优的选择：它既没有因为投资过于保守收益率过低，也没有因为投资过于激进而导致风险过大。
2019年8月24日更新：
我们再来讨论一个新的赌博问题：
一种必赢的赌博方式：一个赌徒进行一个赌博游戏，赌徒先压一定数量的押金，扔一枚完全公平的硬币，如果正面向上的话那么赌徒会赢得和下注数量一样的回报（并拿回自己下注的押金），如果正面向下的话会输掉全部押金。现在这个赌徒采取这样的策略：赌徒每次都押正面，第一次下一单位的押金，如果赢了的话重新开始，如果输了的话，下一轮开始下两单位的押金，并且如果再输的话，下一轮押四单位的押金，这样一直下去，如果输每次押金翻倍，直到赢为止。这是不是一种必胜的赌博方式。
为了搞清楚这个问题，我们需要对问题的背景进行讨论。
首先明确的一点是，如果赌徒的资金是无限的，并且可以无限下注，那么赌徒理论上必胜。并且很容易可以看到，赌徒每一次循环都能够赢得一单位的押金，但是每一轮的回报率是一个随机变量：如果在第一次赢（50%概率），收益率100%；如果在第二次赢（25%概率），投入2单位，回报1单位，收益率33.3%；如果在第三次赢（12.5%概率），投入7单位，回报一单位，收益率14.3%。并且期望收益率为： 。
但是现实生活中这样的假设只有当赌徒的资金远远大于赌场的资金，并且赌场没有权利中途停止游戏才可以，这种情况已经不能称为是公平的游戏，如果现实中出现是强者对弱者的无耻掠夺行为。
接下来我们讨论有上限的投注方式，这是因为：
- 赌徒的资金有限
- 赌场的资金有限
为了简化讨论我们假设赌场的资金无限。我们讨论两种赌博模型：
- 赌徒每一轮开始会投入自己总资金的 ，这样的话最多投注 轮；
- 赌徒每一轮开始会下一单位注，自己初始总资金为 ，如果发现翻倍下注自己的资金已经不够（但是不为0），他会选择借钱来凑齐翻倍的资金。
并且我们最先讨论的是一个贪心的赌徒：他不管是赢了还是输了，除非破产，会一直赌下去。
这时候首先我们对于一般情况进行理论分析：
赌徒在第 轮结束的资金是 ，由于这是一个公平的赌博游戏，所以 ，根据Fubini定理， 的极限 满足 ，所以根据切比雪夫不等式， 。
对于第一个赌徒，他每一轮有 的概率获得当前资金的 ，每一轮有 的概率破产，如果他一直赌的话只要输一局便会输光，所以一定会输光。
但是如果这个赌徒稍微学过一点数学，每一轮的 在变化，第 轮的 为 （我们假定 ）的话又如何呢？
首先 轮时未破产的概率为 ，如果未破产的话 。
一直赌下去未破产的概率为 ， ，如果未破产总资产的极限为 。
因此赌徒的总资产 的极限 的概率分布为：
， ， 。也就是说，赌徒可以通过初始下注的控制来实现以比较大的概率小赚一笔；或者以比较小的概率发大财。但是这种方式是非常冒险的，远非一个“必胜”的赌博方式。
对于第二种赌徒，他在未破产的情况下， ，在前 轮都赢的情况下，第 轮破产的概率是 ，所以前 轮未破产概率为： ，一直赌博下去未破产概率为 ，因为
所以 。在个人资金有限，赌场资金无限，每次都投入等量的注，不管初始投注有多小，赌下去破产的概率为1。也就是说，这种赌博方式总有一天会翻车，100%会倾家荡产。
参考资料：
- 《概率论 第二版》 应坚刚，何萍
一对夫妻有两个小孩，已知生下的第一个是男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？
一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？
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附送一道题：
你参加一个电视节目，经历闯关成功之后，现在你面前有三个门可选。其中一个门后面
是宝马，另两个是空门。现在你随便选了一个门准备打开。此时主持人故意关闭了一个
空门。现在你可以继续决定打开你之前选定的门，或者改换另一个门。
问：换还是不换？为什么？
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