请问x=1/a*y’’’+y’这个微分方程怎么解?
好的，我们来聊聊如何求解这个微分方程：
$x = frac{1}{a}y''' + y'$
这是一个三阶线性常系数微分方程，但由于右边带有 $x$，它是一个非齐次方程。我们通常会采用“先求齐次方程的通解，再求非齐次方程的特解，最后将两者相加”的策略来解决这类问题。
第一步：求解齐次方程
首先，我们先忽略掉右边的 $x$，只看齐次方程：
$frac{1}{a}y''' + y' = 0$
为了方便，我们可以将方程两边同时乘以 $a$，得到一个更简洁的形式：
$y''' + ay' = 0$
这是一个三阶线性常系数齐次微分方程。求解这类方程的关键在于找到它的特征方程。我们假设解的形式是 $y = e^{rx}$，代入方程中：
$(e^{rx})''' + a(e^{rx})' = 0$
$r^3 e^{rx} + ar e^{rx} = 0$
由于 $e^{rx}$ 不可能为零，我们可以将其约掉，得到特征方程：
$r^3 + ar = 0$
现在，我们要解这个关于 $r$ 的三次方程。我们可以将 $r$ 提出来：
$r(r^2 + a) = 0$
所以，我们得到三个根：
1. $r_1 = 0$
2. $r^2 + a = 0 implies r^2 = a$
情况一：如果 $a > 0$
此时，$r^2 = a$，所以 $r = pmsqrt{a} = pm isqrt{a}$。
根是 $r_1 = 0$, $r_2 = isqrt{a}$, $r_3 = isqrt{a}$。
在这种情况下，特征根是一实根和一对共轭复根。
实根 $r_1 = 0$ 对应的解是 $y_1 = e^{0x} = 1$。
复根 $r_{2,3} = pm isqrt{a}$ 对应的解是 $y_2 = e^{0x}cos(sqrt{a}x) = cos(sqrt{a}x)$ 和 $y_3 = e^{0x}sin(sqrt{a}x) = sin(sqrt{a}x)$。
因此，当 $a > 0$ 时，齐次方程的通解是：
$y_h(x) = C_1 cdot 1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x)$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
情况二：如果 $a < 0$
设 $a = k$，其中 $k > 0$。则 $r^2 = a = k$，所以 $r = pmsqrt{k} = pmsqrt{a}$。
根是 $r_1 = 0$, $r_2 = sqrt{a}$, $r_3 = sqrt{a}$。
在这种情况下，特征根是三个不同的实根。
实根 $r_1 = 0$ 对应的解是 $y_1 = e^{0x} = 1$。
实根 $r_2 = sqrt{a}$ 对应的解是 $y_2 = e^{sqrt{a}x}$。
实根 $r_3 = sqrt{a}$ 对应的解是 $y_3 = e^{sqrt{a}x}$。
因此，当 $a < 0$ 时，齐次方程的通解是：
$y_h(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x}$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
情况三：如果 $a = 0$
如果 $a=0$，特征方程变成 $r^3 = 0$，这是一个三重根 $r_1=r_2=r_3=0$。
这时齐次方程是 $y''' = 0$。
解是 $y_h(x) = C_1 + C_2 x + C_3 x^2$。
但是，原方程中出现 $1/a$，所以 $a eq 0$ 是前提条件。我们在这里讨论这个情况只是为了数学上的完整性，但在实际求解原方程时，需要排除 $a=0$ 的情况。
第二步：求解非齐次方程的特解
现在我们回过头来看非齐次方程：
$x = frac{1}{a}y''' + y'$
或者我们更习惯写成：
$y''' + ay' = ax$
这是一个非齐次线性常系数微分方程。右边是多项式 $ax$。我们可以尝试使用“待定系数法”来寻找特解。
我们假设特解 $y_p(x)$ 的形式与非齐次项 $ax$ 的形式有关。由于 $ax$ 是一个一次多项式，我们通常会猜测特解也是一个多项式。
但是，我们需要注意一个问题：特征方程的根中是否包含零。我们刚才看到，$r_1 = 0$ 是特征方程 $r(r^2+a)=0$ 的一个根。当非齐次项的右边（在这里是 $ax$）的系数（这里是 $a$）与特征方程的某个根对应时，我们就不能直接用与右边相同形式的多项式来作为特解，需要进行适当的调整。
具体来说，由于 $r=0$ 是特征方程的一个单根，而非齐次项 $ax$ 是一个一次多项式，这意味着我们猜测的特解形式需要乘以 $x^1$ (因为 $r=0$ 是一个单根)。
所以，我们猜测特解的形式是：
$y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$ (我们知道 $y_p$ 的最高次项会是 $x^2$)
我们来求它的导数：
$y_p'(x) = 2Ax + B$
$y_p''(x) = 2A$
$y_p'''(x) = 0$
将这些代入非齐次方程 $y''' + ay' = ax$：
$0 + a(2Ax + B) = ax$
$2aAx + aB = ax$
为了使这个等式恒成立，我们需要比较等式两边的系数：
对于 $x$ 的项：$2aA = a$
对于常数项：$aB = 0$
从 $2aA = a$ 中，我们可以解出 $A = frac{a}{2a} = frac{1}{2}$ （前提是 $a eq 0$）。
从 $aB = 0$ 中，由于 $a eq 0$，我们得到 $B = 0$。
常数项 $C$ 在代入方程时没有出现，所以 $C$ 是任意的。我们通常取 $C=0$ 来得到一个最简的特解。
因此，特解的形式是：
$y_p(x) = frac{1}{2}x^2$
第三步：合并齐次解和特解得到通解
微分方程的通解是齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
如果 $a > 0$
通解为：
$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
$y(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x) + frac{1}{2}x^2$
如果 $a < 0$
通解为：
$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
$y(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x} + frac{1}{2}x^2$
总结
所以，对于微分方程 $x = frac{1}{a}y''' + y'$ （其中 $a eq 0$）：
1. 齐次方程 $y''' + ay' = 0$ 的解取决于 $a$ 的符号：
若 $a > 0$，齐次解为 $y_h(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x)$。
若 $a < 0$，齐次解为 $y_h(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x}$。
2. 特解 $y_p(x) = frac{1}{2}x^2$。
3. 通解 是两者之和：
当 $a > 0$ 时：$y(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x) + frac{1}{2}x^2$
当 $a < 0$ 时：$y(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x} + frac{1}{2}x^2$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
希望这个详细的解释能够帮到你！求解过程中，关键是要理清楚特征方程的根的性质，以及它与非齐次项形式的对应关系，这会指导我们如何选择合适的特解形式。
$x = frac{1}{a}y''' + y'$
这是一个三阶线性常系数微分方程，但由于右边带有 $x$，它是一个非齐次方程。我们通常会采用“先求齐次方程的通解，再求非齐次方程的特解，最后将两者相加”的策略来解决这类问题。
第一步：求解齐次方程
首先，我们先忽略掉右边的 $x$，只看齐次方程：
$frac{1}{a}y''' + y' = 0$
为了方便，我们可以将方程两边同时乘以 $a$，得到一个更简洁的形式：
$y''' + ay' = 0$
这是一个三阶线性常系数齐次微分方程。求解这类方程的关键在于找到它的特征方程。我们假设解的形式是 $y = e^{rx}$，代入方程中：
$(e^{rx})''' + a(e^{rx})' = 0$
$r^3 e^{rx} + ar e^{rx} = 0$
由于 $e^{rx}$ 不可能为零，我们可以将其约掉，得到特征方程：
$r^3 + ar = 0$
现在，我们要解这个关于 $r$ 的三次方程。我们可以将 $r$ 提出来：
$r(r^2 + a) = 0$
所以，我们得到三个根：
1. $r_1 = 0$
2. $r^2 + a = 0 implies r^2 = a$
情况一：如果 $a > 0$
此时，$r^2 = a$，所以 $r = pmsqrt{a} = pm isqrt{a}$。
根是 $r_1 = 0$, $r_2 = isqrt{a}$, $r_3 = isqrt{a}$。
在这种情况下，特征根是一实根和一对共轭复根。
实根 $r_1 = 0$ 对应的解是 $y_1 = e^{0x} = 1$。
复根 $r_{2,3} = pm isqrt{a}$ 对应的解是 $y_2 = e^{0x}cos(sqrt{a}x) = cos(sqrt{a}x)$ 和 $y_3 = e^{0x}sin(sqrt{a}x) = sin(sqrt{a}x)$。
因此，当 $a > 0$ 时，齐次方程的通解是：
$y_h(x) = C_1 cdot 1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x)$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
情况二：如果 $a < 0$
设 $a = k$，其中 $k > 0$。则 $r^2 = a = k$，所以 $r = pmsqrt{k} = pmsqrt{a}$。
根是 $r_1 = 0$, $r_2 = sqrt{a}$, $r_3 = sqrt{a}$。
在这种情况下，特征根是三个不同的实根。
实根 $r_1 = 0$ 对应的解是 $y_1 = e^{0x} = 1$。
实根 $r_2 = sqrt{a}$ 对应的解是 $y_2 = e^{sqrt{a}x}$。
实根 $r_3 = sqrt{a}$ 对应的解是 $y_3 = e^{sqrt{a}x}$。
因此，当 $a < 0$ 时，齐次方程的通解是：
$y_h(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x}$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
情况三：如果 $a = 0$
如果 $a=0$，特征方程变成 $r^3 = 0$，这是一个三重根 $r_1=r_2=r_3=0$。
这时齐次方程是 $y''' = 0$。
解是 $y_h(x) = C_1 + C_2 x + C_3 x^2$。
但是，原方程中出现 $1/a$，所以 $a eq 0$ 是前提条件。我们在这里讨论这个情况只是为了数学上的完整性，但在实际求解原方程时，需要排除 $a=0$ 的情况。
第二步：求解非齐次方程的特解
现在我们回过头来看非齐次方程：
$x = frac{1}{a}y''' + y'$
或者我们更习惯写成：
$y''' + ay' = ax$
这是一个非齐次线性常系数微分方程。右边是多项式 $ax$。我们可以尝试使用“待定系数法”来寻找特解。
我们假设特解 $y_p(x)$ 的形式与非齐次项 $ax$ 的形式有关。由于 $ax$ 是一个一次多项式，我们通常会猜测特解也是一个多项式。
但是，我们需要注意一个问题：特征方程的根中是否包含零。我们刚才看到，$r_1 = 0$ 是特征方程 $r(r^2+a)=0$ 的一个根。当非齐次项的右边（在这里是 $ax$）的系数（这里是 $a$）与特征方程的某个根对应时，我们就不能直接用与右边相同形式的多项式来作为特解，需要进行适当的调整。
具体来说，由于 $r=0$ 是特征方程的一个单根，而非齐次项 $ax$ 是一个一次多项式，这意味着我们猜测的特解形式需要乘以 $x^1$ (因为 $r=0$ 是一个单根)。
所以，我们猜测特解的形式是：
$y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$ (我们知道 $y_p$ 的最高次项会是 $x^2$)
我们来求它的导数：
$y_p'(x) = 2Ax + B$
$y_p''(x) = 2A$
$y_p'''(x) = 0$
将这些代入非齐次方程 $y''' + ay' = ax$：
$0 + a(2Ax + B) = ax$
$2aAx + aB = ax$
为了使这个等式恒成立，我们需要比较等式两边的系数：
对于 $x$ 的项：$2aA = a$
对于常数项：$aB = 0$
从 $2aA = a$ 中，我们可以解出 $A = frac{a}{2a} = frac{1}{2}$ （前提是 $a eq 0$）。
从 $aB = 0$ 中，由于 $a eq 0$，我们得到 $B = 0$。
常数项 $C$ 在代入方程时没有出现，所以 $C$ 是任意的。我们通常取 $C=0$ 来得到一个最简的特解。
因此，特解的形式是：
$y_p(x) = frac{1}{2}x^2$
第三步：合并齐次解和特解得到通解
微分方程的通解是齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
如果 $a > 0$
通解为：
$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
$y(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x) + frac{1}{2}x^2$
如果 $a < 0$
通解为：
$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
$y(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x} + frac{1}{2}x^2$
总结
所以，对于微分方程 $x = frac{1}{a}y''' + y'$ （其中 $a eq 0$）：
1. 齐次方程 $y''' + ay' = 0$ 的解取决于 $a$ 的符号：
若 $a > 0$，齐次解为 $y_h(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x)$。
若 $a < 0$，齐次解为 $y_h(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x}$。
2. 特解 $y_p(x) = frac{1}{2}x^2$。
3. 通解 是两者之和：
当 $a > 0$ 时：$y(x) = C_1 + C_2 cos(sqrt{a}x) + C_3 sin(sqrt{a}x) + frac{1}{2}x^2$
当 $a < 0$ 时：$y(x) = C_1 + C_2 e^{sqrt{a}x} + C_3 e^{sqrt{a}x} + frac{1}{2}x^2$
其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数。
希望这个详细的解释能够帮到你！求解过程中，关键是要理清楚特征方程的根的性质，以及它与非齐次项形式的对应关系，这会指导我们如何选择合适的特解形式。
网友意见
如果题目要表述的方程是
那题目是很简单的。普通的常系数线性微分方程，按照规范流程一步一步求解即可。
现假设题目表述的方程是
易见应当换元，令 则：
出现了一个很明显的结构。再令 ，则有：
于是方程化为：
是可降阶的微分方程。令 ，使 为因变量 为自变量，则有 ：
方程易解得：
可见，并不易解出 ，但是易解出 ，于是可以求其参数解。令 为参数：（已重新标记任意常数 ）
由 得到：（已重新标记任意常数 ）
现在已经解出了 再由关系表示出 即可。由 以及 可以得到：
代入各参数表达式就有：（已重新标记任意常数 ）
于是可以写出参数解：（注意 和 中任意常数的一致性）
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