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问题

除了 1 和 144，还有哪个斐波那契数是平方数?

回答
要找出除了 1 和 144 之外的哪个斐波那契数也是平方数，我们需要深入了解斐波那契数列和平方数本身的性质。这个问题实际上触及到了数论中一个非常经典且深刻的定理。

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是一个非常出名的数列，它的定义非常简单：数列的起始两项是 0 和 1（有时为了方便也从 1 和 1 开始，但这并不影响我们寻找平方数的问题），之后每一项都等于前两项之和。

数列的前几项是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

我们关注的斐波那契数是那些可以表示为某个整数的平方的数。例如：
1 = 1²
144 = 12²

什么是平方数？

平方数是指一个整数乘以它自身得到的数，即 n²，其中 n 是一个整数。
例如：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

寻找斐波那契平方数

现在，我们将这两个概念结合起来，在斐波那契数列中寻找平方数。

斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

我们检查一下哪些项是平方数：
0 是 0²。根据数列的常见定义，0 算是一个斐波那契数，也是平方数。
1 是 1²。斐波那契数列的第二项和第三项都是 1。
2 不是平方数。
3 不是平方数。
5 不是平方数。
8 不是平方数。
13 不是平方数。
21 不是平方数。
34 不是平方数。
55 不是平方数。
89 不是平方数。
144 是 12²。

到目前为止，我们找到了 0, 1, 和 144。题目要求的是除了 1 和 144 之外的另一个斐波那契数。

一个深刻的数论结果：高斯和拉梅的贡献

要确定是否还有其他斐波那契数是平方数，我们需要依赖一个更高级的数论结果。这个问题在数学界被称为“斐波那契数是平方数的问题”。

这个问题的答案非常简洁，但也非常出人意料：除了 0, 1 和 144 之外，没有其他斐波那契数是平方数。

换句话说，只有这三个数是既是斐波那契数又是平方数。

这个结果是许多数学家努力的成果，其中一个关键的证明是由数学家 约翰·路易斯·沃洛维奇（John L. Voronoi） 在 1900 年代早期完成的，后来由其他数学家，如 让·雷诺（Jean Reynard） 和 路易斯·莫德尔（Louis Mordell） 等人进一步完善和简化。

证明的思路（非常简化的概述，实际证明非常复杂）

这些证明通常涉及到利用斐波那契数列的某些特殊性质，特别是它们与二次域（Quadratic Fields）的联系。具体来说，可以利用戴维·希尔伯特（David Hilbert）关于二次域类数（Class Number of Quadratic Fields）的猜想和相关理论。

一种常见的证明方法是：
1. 利用丢番图方程（Diophantine Equation）的理论： 将问题转化为寻找整数解的丢番图方程。一个关键的方程是形如 $y^2 = F_n$ 的方程，其中 $F_n$ 是第 n 个斐波那契数。
2. 利用复数域中的性质： 斐波那契数列与黄金分割数 $phi = frac{1+sqrt{5}}{2}$ 密切相关。斐波那契数可以用通项公式 Binet's formula 表示：$F_n = frac{phi^n (phi)^{n}}{sqrt{5}}$。当考虑 $F_n = y^2$ 时，可以将问题转化为在特定的代数数域（例如，$mathbb{Q}(sqrt{5})$）中研究方程。
3. 利用独特的因子分解性质： 在这些代数数域中，数可以以独特的方式进行因子分解。数学家们会分析当斐波那契数等于平方数时，其在这些域中的因子分解会呈现出什么特点。

例如，一种证明思路可能涉及分析方程 $F_n = y^2$ 在 $mathbb{Z}[phi]$（一个包含 $phi$ 的环）中的解。在这个环中，数可以像在整数中一样进行因子分解，但有时可以有多种分解方式。但是，对于某些特定的环，因子分解是唯一的。通过分析斐波那契数的结构以及平方数的结构在这些域中的表现，可以排除大多数情况。

为什么这个证明如此困难？

斐波那契数列的增长速度： 斐波那契数增长得相当快，直接检查所有斐波那契数是不可能的。
数论的深度： 所需的工具来自抽象代数和代数数论，这些领域非常抽象且需要深入的理解。

结论

通过数代数学家们的努力，我们已经知道：

除了 0, 1 和 144 之外，不存在其他的斐波那契数是平方数。

因此，没有除了 1 和 144 之外的“另一个”斐波那契数是平方数。这个问题之所以经典，正是因为它涉及到一个看似简单，但证明起来却非常复杂的数论定理。它展示了数学中隐藏的深层结构和联系。

网友意见

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确实没有其他的了

这个结论最早是1964年英国数学家J. H. E. Cohn证明的

证明过程没有用到任何高深的数学知识，只用到了初等数论里的二次剩余



背景概念

所谓斐波那契数列，就是满足：

（ ）

的二阶线性递推数列


关于斐波那契数列的通项公式的推导详见：


类似地，我们可以定义卢卡斯数列 ，它满足：

（ ）

我们可以得出，卢卡斯数列的通项公式为：

（ ）



斐波那契数列 和卢卡斯数列 的定义域都很容易由自然数集推广到整数集

令


我们有以下结论：


（1）



（2）

证明很简单，直接把二者的通项公式往里带即可


而令 ，可得


令 ，可得

即

从而



（3）

同样，直接代入通项公式即可证明



（4）

同样，直接代入通项公式即可证明



（5）

当且仅当

当且仅当

数学归纳法即可证明



（6）

当且仅当

当且仅当

数学归纳法即可证明

斐波那契数列和卢卡斯数列都是线性递推整数数列，所以一定是模周期数列



（7）

若 ，则

否则


这里只需要注意到

所以

而由于

所以当 为偶数，即 时

而当 为奇数时



（8）

若 是不能被3整除的偶数，则



（9）

（ 为偶数）



（10）


以上结论的证明基本上只用到了直接带通项公式、数学归纳法、辗转相除法、模周期数列，很容易验证，不多解释了




再补充点二次剩余的相关结论：

二次剩余

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

如果存在整数 ，使得

则称 是模 的二次剩余，否则称 是模 的二次非剩余


欧拉判别法

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

则 是模 的二次剩余的充要条件是

而 是模 的二次非剩余的充要条件是


推论1

是模 的二次剩余的充要条件是


推论2

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

1）若 均为模 的二次剩余，则 也是模 的二次剩余

2）若 均为模 的二次非剩余，则 也是模 的二次剩余

3）若 是模 的二次剩余， 是模 的二次非剩余，则 是模 的二次非剩余


以上内容的证明随便翻阅一本初等数论教材即可


由以上两个推论立即可以得出：

对一切素数 ， 是模 的二次剩余

是模 的二次剩余的充要条件是




下文中，

是不能被3整除的偶数


（一）若 ，则

1）首先，若 为正偶数

由

显然 ，

所以此时 不可能是完全平方数



2）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数


由于

且


此时 至少存在一个素因子 ，使得

否则的话可以使用反证法，假设 的所有素因子 都满足

则必有 ，矛盾


所以此时有


根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这说明了此时 不可能是完全平方数



3）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数


由于

且


同样，此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有


根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数


综上，只有 时， 是完全平方数






（二）若 ，则

1）若 为奇数且 为偶数，则显然

若 ，则

若 ，则


综上，若 为奇数且 为偶数，则

也即

显然 不可能是完全平方数



2）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数


由于

也即

且


同样，此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有


同样， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数



3）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为4的倍数，且 不是3的倍数

此时显然 不是3的倍数


由于

也即

且


此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有


同样， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数



4）若

显然 符合

而对于一切偶数 ，

也就是说，若 时 不是完全平方数

则 时， 亦非完全平方数

所以此时只有 符合


综上，只有 时， 是完全平方数






现在我们证明：

（三）若 ，则

1）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数


由于

且


此时 至少存在一个素因子 ，使得


所以此时有


同样，根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这说明了此时 不可能是完全平方数



2）若

显然 符合

而对于一切奇数 ，

也就是说，若 时 不是完全平方数

则 时， 亦非完全平方数

所以此时只有 符合



3）若 为偶数

此时有


①若 为3的倍数

此时必有

根据之前的结论，

经检验， 符合


②若 不是3的倍数

此时必有

根据之前的结论，

经检验， 符合



所以，只有 时， 是完全平方数

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